山东省威海荣成市届高三数学上学期期中试题.docx
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山东省威海荣成市届高三数学上学期期中试题
山东省威海荣成市2020届高三数学上学期期中试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，共150分．
第Ⅰ卷（选择题共52分）
注意事项：
每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
一、选择题：
本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项是符合题目要求，第11～13题有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
1.已知集合，，则的子集共有
A.个B.个C.个D.个
2.已知命题：
，，若为假命题，则实数的取值范围是
A.B.C.D.
3.已知向量，，若，则
A.B.C.D.
4.点从出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达点，则点的坐标
A.B.C.D.
5.已知函数对任意，都有，且，则
A.B.C.D.
6.设为第二象限角，若，则
A.B.C.D.
7.已知函数，若正实数满足，则的最小值为
A.B.C.D.
8.物理学规定音量大小的单位是分贝（），对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算：
（其中是人耳能听到声音的最低声波强度）.我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于与之间，则声音的声波强度是声音的声波强度的
A.倍B.倍C.倍D.倍
9.已知函数，，若恰有个零点，则实数的取值范围是
A.B.C.D.
10.已知函数定义域为，且满足下列三个条件：
①任意，都有；②；③为偶函数，则
A.B.
C.D.
11.下列命题正确的是
A.若角（），则
B.任意的向量，若，则
C.已知数列的前项和（为常数），则为等差数列的充要条件是
D.函数的定义域为，若对任意，都有，则函数的图像关于直线对称
12.设是各项均为正数的数列，以，为直角边长的直角三角形面积记为，则为等比数列的充分条件是
A.是等比数列
B.，，,，或，，，，是等比数列
C.，，,，和，，，，均是等比数列
D.，，,，和，，，，均是等比数列，且公比相同
13.已知函数的最小正周期为，且其图像向左平移个单位得到函数的图像，则
A.B.在有且仅有个解
C.在单调递增D.在有且仅有个极值点
第Ⅱ卷（非选择题共98分）
注意事项：
请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．在试题卷上答题无效．
二、填空题：
本大题共4小题，每小题4分，共16分．
14.在等差数列中，若，，则_________.
15._________.
16.已知函数在单调递增，则实数的取值范围_________.
E
F
D
B
C
A
17.《九章算术》第九章“勾股”问题二十：
今有邑方（正方形小城）不知大小，各中开门.出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何（小城的边长）.根据描述如图所示，其中点代表北门，处是木，点代表南门（，分别是所在边中点），则邑方边长为_________步.
三、解答题：
本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
Q
P
B
A
C
18.（12分）如图，在山脚测得山顶的仰角为，从处沿斜坡向上走米到达处，在处测得山顶的仰角为，且斜坡的倾斜角.
求证：
山高.
19.（12分）已知各项均为正数的数列前项和为，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
20.（14分）在中，角所对的边分别为，为钝角，且.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若，求边.
21.（14分）某水产养殖公司在一片海域上进行海洋牧场生态养殖，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成.已知圆的半径为千米，到的距离为千米.现规划在此海域内修建两个生态养殖区域，养殖区域为矩形，养殖区域为，且均在圆弧上，均在线段上，设.
（Ⅰ）用分别表示矩形和的面积，并确定的范围；
（Ⅱ）根据海域环境和养殖条件，养殖公司决定在内养殖鱼类，在内养殖贝类，且养殖鱼类与贝类单位面积的年产值比为.求当为何值时，能使年总产值最大.
A
B
C
D
Q
M
O
P
第
21
题
图
22.（15分）将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：
其中，，，且表中的第一列数构成等差数列，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数.表中每一行正中间的项构成的数列记为.
（I）求的前项和；
（II）记集合，若的元素个数为，求实数的取值范围.
23.（本小题满分15分）
已知函数.
（I）讨论的单调性；
（II）若有两个零点，且.证明：
（i）；
（ii）.
高三数学参考答案
一、选择题：
第1～10题：
BABCD，ACCDB
11.BC；12.AD；13.ABD
二、填空题：
14.；15.；16.；17.
三、解答题：
Q
P
B
A
C
18.（12分）
由题意可知，，，
-------------2分
分别在，中，
，，
所以，-------------4分
又,
-------------6分
在中，由正弦定理可得，，-------------8分
即，
，-------------10分
在中，
.-------------12分
19.（12分）解：
（Ι）因为，
所以变形为
，-------------2分
，
，
所以为等差数列，-------------4分
，-------------5分
当，，-------------7分
当时也满足，
综上.-------------8分
（Ⅱ）
，-------------10分
.-------------12分
20.（14分）
解：
（Ι）因为，
由正弦定理得，①.-------------1分
因为，
所以,-------------3分
代入①式得，
；
化简得，，
因为，故，-------------4分
又，-------------5分
所以
因为为钝角，所以为锐角，所以为钝角，-------------6分
因为在单调递减，
所以，即.-------------7分
（Ⅱ）由正弦定理可知，，，-------------8分
因为，得,-------------9分
所以，
整理得，-------------11分
-------------12分
，
为锐角，所以,-------------13分
由余弦定理可知，.-------------14分
21.（14分）
解：
（Ⅰ）设矩形和的面积分别为，
由题意可得，
矩形的边长分别为，，-------------2分
所以，-------------3分
等腰三角形的底与高分别为，，-------------4分
所以，-------------5分
N
A
B
C
D
Q
M
O
P
过作交圆弧于点，连接，
设（），
易得-------------6分
因为均在线段上，所以，
所以，
即---------------7分
（Ⅱ）因为鱼类与贝类单位面积的年产值比为，所以设鱼类与贝类单位面积的年产值分别为，
则年总产值为
------8分
设，且，-------------9分
，-------------10分
，得，因为，所以，-------------11分
当，，，在单调递增；
当，，，在单调递减.----------13分
所以，能使年总产值最大.-------------14分
22.（15分）
解：
（Ⅰ）第一列构成的等差数列公差为，-------------1分
所以第行的第项为，-------------2分
由此可知第行的第项，又为第行的第项，
所以每行的公比.-------------3分
由题意可知，第行共有项，且为第行的中间项，
所以为第行的第项，得.-------------5分
…①
①式各项乘以得，
…②-------------6分
①-②式得，
-------------8分
（Ⅱ）设，
-------------9分
所以，当时，-------------11分
，
即，当时，，-------------12分
因为集合的元素个数为，
所以，-------------14分
即，.-------------15分
23.（15分）
解：
（Ⅰ）-------------1分
当时，，所以在单调递减；-------------2分
当时，
，，所以在单调递减；
，，所以在单调递增.-------------3分
（Ⅱ）证明：
（i）当时，在单调递减，
至多一个零点，-------------4分
所以要使有两个零点，
一定有且，
，
解得，-------------5分
，即
又，可知，-------------6分
又因为，，
所以.-------------7分
（ii）因为，，
要证，即证，-------------8分
因为在单调递减，
即证，又，
即证，-------------9分
-------------10分
因为，得，-------------11分
所以
-------------12分
令，，
，
所以在单调递增，-------------13分
又，所以，
，-------------14分
所以，，
综上可知，.-------------15分
法二：
，所以，，所以，
要证，即证，即证，即证，
即证，即证，即证，，令，，，在单调递减，，即证，
即证，，即证，，，所以在递增，而，所以，即
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