二元一次方程组应用题分类.docx
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二元一次方程组应用题分类
二元一次方程组应用题分类精析
列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：
（1）审：
通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；
（2）找：
找出能够表示题意两个相等关系；
（3）列：
根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；
（4）解：
解这个方程组，求出两个未知数的值；
（5）答：
在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案．
一、倍分问题
例1、甲乙二人，若乙给甲10元，则甲所有的钱为乙的3倍，若甲给乙10元，则甲所有的钱为乙的2倍多10元，求甲乙各拥有多少钱？
解：
设甲原来有X元，乙原来有Y元。
X+10=3（Y-10）
X-10=2（Y+10）+10
1、一块矩形草坪的长比宽的2倍多10米，它的周长是132米，则宽和长分别是多少？
提示：
设宽为X米，长为Y米
Y-2X=10
2（X+Y）=132
2、一批书分给组学生，每人6本则少6本，每人5本则多5本，该组共有多少名学生，这批书共有多少本？
提示：
设有X名学生，Y本书，
6X=Y+6
5X+5=YX=11，Y=60
3、某班学生有x人，准备分成y个组开展活动，若每个组7人，则余3人；若每个组8人，则差5人.求全班的人数和所分组数。
提示：
设全班有x,所分组数为y组，则
；
4、三年级有学生246人，其中男生比女生人数的2倍少3人，求男、女生各有多少人？
提示：
设男生有X名，女生有Y名
X+Y=246
Y=2X-3
5、甲乙两条绳共长17米，如果甲绳子减去五分之一，乙绳增加1米，两条绳子相等，求甲、乙两条绳各长多少米？
提示：
设甲绳长X米，乙绳长Y米，则
X+Y=17
X-1/5X=Y+1
6、已知长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米，求黄河、长江各长多少千米？
提示：
设黄河长度为X米，长江长度为Y米，则
X-Y=836
6Y-5X=1284
7、甲乙两个商店各进洗衣机若干台，若甲店拨给乙店12台，则两店的洗衣机一样多，若乙店拨给甲店12台，则甲店的洗衣机比乙店洗衣机数的5倍还多6台，求甲、乙两店各进洗衣机多少台？
X-2=12+12
5（Y-12）+6=X+12
8、小红和小华各自购买新书若干本，已知小红买的比小华的2倍多6本，如果小红给小华9本，则小华是小红的2倍，小红和小华各买新书多少本？
提示：
题中有两个未知数------小红买的新书、小华买的新书；
题中有两个相等关系
（1）小红买的新书—2X小华买的新书=6；
（2）2X（小红买的新书—9）=（小华买的新书+9）
解：
设小红买新书X本，小华买新书Y本，根据题意得
X—2Y=6
2X（X—9）=Y+9
解得X=16，Y=5
9、把3米长的铁丝分成两段，做成一个正方形和一个长方形框，已知长方形的长是宽的2倍，长方形的长比正方形的边长长0。
3米，求两个图形的面积。
提示：
设长方形框的宽为x，则长为2x,再设正方形的边长为y米，根据题意，得2（x+2x）+4y=3
2x-y=0.3解得x=0.3,y=0.3,长方面的面积=0.18正方形框的面积=0。
09。
10、有甲、乙两条绳子，其中甲绳长的3/8与乙绳长的1/3叠合后，全长238厘米，求甲乙两绳长各是多少厘米？
提示：
设甲绳长是x厘米，乙绳长是y厘米。
则3/8x=1/3yx+（1-1/3）y=238解得x=136y=153.
11、小明春节原有压岁钱若干元，先用去一部分，剩余的钱为用去的2倍，后来又用掉1200元，最后剩下的钱为原有的三分之一，问小明原来有压岁钱多少元？
提示：
设原有X元，先用去Y元
X-Y=2Y
X-Y-1200=1/3X。
解得X=3600元。
12、某化妆晚会上，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂红色油彩，游戏时，每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人，而每个女生都看见涂蓝色的人数是涂红色人数的3／5，则晚会上男、女生各有几人？
分析：
每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的２倍少１人，这里涂蓝色油彩的人数不是题中所有男生的人数，而是除自己之外的男生人数，同理，女生看到的人数关系也应是除去自己以外的男、女生人数关系。
正解：
设晚会上男生有x人，女生有y人。
把①代入②，得y＝3/5[2（x－1）－1－1]，所以x＝12
答：
晚会上男生有12人，女生有21人。
13、某班有学生49人，一天该班一男生因事请假，当天的男生人数恰好是女生人数的一半，男生有17人，女生有32人
二、年龄问题解这类问题的基本关系是抓住两个人年龄的增长数相等。
年龄问题的主要特点是：
时间发生变化，年龄在增长，但是年龄差始终不变。
年龄问题往往是“和差”、“差倍”等问题的综合应用。
解题时，我们一定要抓住年龄差不变这个解题关键。
例1、父子的年龄差30岁，五年后父亲的年龄正好是儿子的3倍，问今年父亲和儿子各是多少岁？
解：
设今年父亲的年龄为X岁，儿子的为Y岁，
则根据
（1）父子的年龄差30岁，可列式得：
X-Y=30；
（2）五年后，父亲的年龄是X+5岁，儿子的年龄是Y+5岁；由五年后父亲的年龄正好是儿子的3倍，可列式得：
X+5=3（Y+5）（3）联立两式，得今年父亲的年龄是40岁，儿子的年龄是10岁。
X-Y=30
X+5=3（Y+5）
例2：
1998年，甲的年龄是乙的年龄的4倍。
2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍。
问甲、乙二人2000年的年龄分别是多少岁?
A．34岁，12岁B．32岁，8岁C．36岁，12岁D．34岁，10岁
【答案】D。
解析：
抓住年龄问题的关键即年龄差，1998年甲的年龄是乙的年龄的4倍，则甲乙的年龄差为3倍乙的年龄，2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍，此时甲乙的年龄差为2倍乙的年龄，根据年龄差不变可得
3×1998年乙的年龄=2×2002年乙的年龄
3×1998年乙的年龄=2×（1998年乙的年龄+4）
1998年乙的年龄=8岁
则2000年乙的年龄为10岁
1、学生问老师：
“您今年多少岁了？
”老师风趣的说：
“我像你这样大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经37岁了”试求老师和学生的年龄各是多少？
提示：
设老师为X岁，学生为Y岁，
（1）老师年龄增加的同时学生的年龄也在增加，“我像你我样大的时候，”可以得知老师是Y岁，老师由Y岁增加到X岁，增加了X-Y岁；学生由1岁增加到Y，增加了Y-1岁。
增加的年份是相等的量。
即：
X-Y=Y-1；
（2）老师由X岁到37岁时，增长的量是37-Y；学生由Y岁增加到X岁，增长的量是X-Y，二者相等。
X-Y=Y-1
37-X=X-Y解得X=25；Y=13。
2、甲乙两人在聊天，甲对乙说：
"当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。
”乙对甲说：
“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁。
”你能算出他们两人各几岁吗？
提示：
设甲乙他们的岁数分别是X、Y
（1）当我的岁数是你现在的岁时，你才4岁，由这句话得知，当时甲是Y岁，乙是4岁，甲由Y岁到X岁，增加了X-Y，乙增加了Y-4，二者是相等的；
（2）乙对甲说：
“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁。
”这句得知，乙的岁数由Y变为X，增加了X-Y，甲呢由X岁变为61岁，增加了61-X。
二者增加的量相等。
联立方程可得
X=42Y=23
3、现在父亲的年龄是儿子年龄的3倍，7年前父亲的年龄是儿子年龄的5倍，问父亲、儿子现在的年龄分别是多少岁？
提示：
设父亲和儿子的年龄分别为X和Y，现在父亲的年龄是儿子年龄的3倍，由这句话得X=3Y，“7年前父亲的年龄是儿子年龄的5倍，”由这句话得7年前父亲的年龄是X-7，儿子的年龄是Y-7，所以得到X-7=5（Y-7）解得X=42，Y=14
三、数字问题
1、56十位上的数字5表示5个10，个位上的数字6表示6个1，
那么56可写成5X10+6。
2、
（1）一个三位数百位上的数字是a，十位上的数字是b，个位上的数字是c。
请你表示出这个三位数：
设百位上的数字为x，则这个百位数可表示为：
100x+10（x+3）+（x+5）
（2）已知：
一个三位数十位上的数字比百位上的数字大3，个位上的数字比十位上的数字大2。
请你表示出这个三位数：
设百位上的数字为x，则这个三位数可表示为：
100x+10（x+3）+（x+5）
（3）若各位上的数字之和不大于11，求这个三位数。
x+（x+3）+（x+5）≤11
3、326=32×10+6=3×100+26
7321=73×100+21
1234=12×100+34
abc表示一个三位数，则abc=a×100+bc=ab×10+c
若abcd表示一个四位数，则abcd=ab×100+cd
例1：
两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数。
已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这个两位
思考：
设较大的两位数为x，较小的两位数为y，
1、在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数可表示为100X+Y
2、在较大的两位数的左边写上较小的两位数，得到一个四位数可表示为100Y+X
解：
设在较大的两位数为x，较小的两位数为y，则有
x+y=68
（100x+y）—（100y+x）=2178
解得x=45y=23
答：
这两个两位数分别是45和23
例2：
一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45；又已知百位数字的9倍比由十位和个位数字组成的两位数小3，求原来的三位数。
解：
设百位数字为x，由十位和个位数字组成的两位数为y，
则原来的三位数为100x+y，对调的三位数为10y+x，则
9x=y—3
10y+x=100x+y—45
x=4
y=39
则原来的三位数为100x+y=4×100+39=439。
另解：
设百位数字为x，十位数字y，个位数字为z，则有
9x=10y+z—3
（100x+10y+z）—（100y+10z+x）=45
得x=4
10y+z=9x+3=39
则原来的三位数是100x+10y+z=100×4+39=439
1、有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数．
分析：
本题涉及两位数的计算问题从实际问题中可的两个相等关系：
（1）个位数字—十位数字=5；
（2）新数+原数=143．根据这两个相等关系，可通过设十位数字为x，个位数字为y，列方程组求到十位数字和个位数字，然后确定两位数.
解：
设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y．根据题意，得
解这个方程组，得
所以这个两位数是4×10+9=49．
2、有一个两位数和一个一位数，如果在这个一位数后面多写一个0，则它与这个两位数的和是146，如果用这个两位数除以这个一位数，则商6余2，求这个两位数和一位数.
分析：
一位数后面多写一个0，则这个一位数扩大了10倍,如果两位数为x,一位数为y,则根据两位数的和为146可得x+10y=146;根据被除数=除数×商数+余数可得x=6y+2,由此可得到方程组.通过解方程组确定两位数和一位数.
解：
设这个两位数为x，这个一位数为y，根据题意,得
，解得
所以这个两位数为56,一位数为9.
3、．有一个两位数，其值等于十位数字与个位数字之和的4倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．
设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，
则可列方程组为
解这个方程组，得
所以这个两位数为24．
4、一个三位数和一个两位数的差为225，在三位数的左边写这个两位数，得到一个五位数，在三位数的右边写上这个两位数，也得到一个五位数，已知前面的五位数比后面的五位数大225，求这个三位数和两位数．
.
设三位数为x，两位数为y．
解得
这个三位数是250，两位数为25．
5、如下图，在3×3的方格内，填写了一些代数式和数．
（1）在图①中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出x、y的值；
（2）把满足
（1）的其它6个数填入图②的方格内．
分析：
本题是一道与表格数字排列有关的信息试题，根据各行、各列及对角线上的数字和相等，可列方程组解决．所列的方程组不惟一．
解：
（1）由已知条件可得
．
解得
．
（2）将
代入表格，所得表格如图③所示．
6、甲、乙两人做加法，甲将其中一个加数后面多写了一个0，所得的和是2342，乙将同一个加数后面少写了一个0，所得的和是65，求原来的两个加数．
原来的两个加数分别是42和230．
提示：
设这两个加数分别是x、y，其中y是两人同时看错的数，根据题意，得
7、有一个三位数，各数位上的数字之和等于14，个位上的数字比十位上的数字大4，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，所组成的新数比原数的3倍多98，求这个三位数是多少？
提示：
设百位数字是x，十位数字是y，个位数字是z，根据题意，得
这个三位数是248．
8、已知二位数，其十位数字的3倍与个位数字的和是21，它的个位与十位数字对调后，所得的新数比原数大9，请问原数是多少？
提示：
设十位数字为X，个位数字为Y，此二位数为10X+Y；
依题意得3X+Y=21
10Y+X=（10X+Y）+9
解得原数为56。
1/10倍。
解：
设被加数为x，加数为y，则x+10y=2342x+1/10y=65，解得x=42y=230。
◆规律方法一般性应用题
（和差倍问题）学校的篮球比足球数的2倍少3个，篮球数与足球数的比为3：
2，求这两种球队各是多少个？
（和差倍问题）一次篮,排球比赛,共有48个队,520名运动员参加,其中篮球队每队10名,排球队每队12名,求篮,排球各有多少队参赛？
（和差倍问题）一次篮、排球比赛，共有48个队，520名运动员参加，其中篮球队每队10名，排球队每队12名，求篮、排球各有多少队参赛？
（和差倍问题）有甲、乙两种金属，甲金属的16分之一和乙金属的33分之一重量相等，而乙金属的55分之一比甲金属的40分之一重7克，求两种金属各重多少克？
（和差倍问题）某厂第二车间的人数比第一车间的人数的五分之四少30人.如果从第一车间调10人到第二车间，那么第二车间的人数就是第一车间的四分之三.问这两个车间各有多少人？
（和差倍问题）今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.
（和差倍问题）小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来两个加数分别是多少？
（和差倍问题、行程问题）一条公路，第一天修了全程的8分之一多5米；第二天修了全程的5分之一少14米，还剩63米，求这条公路有多长？
（和差倍问题、行程问题）某老翁将一根长草绳剪成前、中、后三段，中段长等于前段长加后段长，后段长等于前段长加中段长的一半，现只知道前段长5m，则该草绳的中段，后段各长多少米？
（和差倍问题、金融问题）共青团中央部门发起了“保护母亲河”行动，某校九年级两个班的115名学生积极参与，已知九一班有三分之一的学生捐了10元，九二班有五分之二的学生每人捐了十元，两班其余的学生每人捐了5元，两班的捐款总额为785元，问两班各有多少名学生?
（和差倍问题）某检测站要在规定时间内检测一批仪器，原计划每天检测30台这种仪器，则在规定时间内只能检测完总数的七分之三；现在每天实际检测40台，结果不但比原计划提前了一天完成任务，还可以多检测25台.问规定时间是多少天？
这批仪器共多少台？
（和差倍问题）游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。
如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？
问题：
⑴问题中的已知量是什么？
待求量是什么？
⑵有哪些相等关系（即等量关系）？
（行程问题）一条船顺流航行，每小时行20千米；逆流航行每小时行16千米。
那么这条轮船在静水中每小时行千米？
（行程问题）甲以5km/h的速度进行有氧体育锻炼，2h后，乙骑自行车从同地出发沿同一条路追赶甲。
根据他们两人的约定，乙最快不早于1h追上甲，最慢不晚于1h15min追上甲，则乙骑车的速度应当控制在什么范围？
（行程问题）从甲地到乙地的路有一段上坡、一段平路与一段3千米长的下坡，如果保持上坡每小时走3千米，
平路每小时走4千米，下坡每小时走5千米，那么从甲到乙地需90分，从乙地到甲地需102分。
甲地到乙地全程
是多少？
（行程问题）某班同学去18千米的北山郊游。
只有一辆汽车，需分两组，甲组先乘车、乙组步行。
车行至A处，甲组下车步行，汽车返回接乙组，最后两组同时到达北山站。
已知车速度是60千米/时，步行速度是4千米/时，求A点距北山的距离。
（行程问题）甲乙两人分别从甲、乙两地同时相向出发，在甲超过中点50米处甲、乙两人第一次相遇，甲、乙到达乙、甲两地后立即反身往回走，结果甲、乙两人在距甲地100米处第二次相遇，求甲、乙两地的路程。
（行程问题）甲,乙两人分别从甲,乙两地同时相向出发,在甲超过中点50米处甲,乙两人第一次相遇,甲,乙到达乙,甲两地后立即返身往回走,结果甲,乙两人在距甲地100米处第二次相遇,求甲,乙两地的路程.
（行程问题）两列火车同时从相距910千米的两地相向出发,10小时后相遇,如果第一列车比第1二列车早出发4小时20分,那么在第二列火车出发8小时后相遇,求两列火车的速度.
（行程问题）某班同学去18千米的北山郊游.只有一辆汽车,需分两组,甲组先乘车,乙组步行.车行至A处,甲组下车步行,汽车返回接乙组,最后两组同时达到北山站.已知汽车速度是60千米/时,步行速度是4千米/时,求A点距北山站的距离.
（行程问题）通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走15千米，则可提前24分钟到达某地；如果每小时走12千米，则要迟到15分钟。
求通讯员到达某地的路程是多少千米？
和原定的时间为多少小时？
（分配问题）一级学生去饭堂开会,如果每4人共坐一张长凳,则有28人没有位置坐,如果6人共坐一张长凳,求初一级学生人数及长凳数.
（分配调运）运往灾区的两批货物，第一批共480吨，用8节火车车厢和20辆汽车正好装完；第二批共运524吨，用10节火车车厢和6辆汽车正好装完，求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨？
（分配问题）若干学生住宿，若每间住4人则余20人，若每间住8人，则有一间不空也不满，问宿舍几间,学生多少人？
（分配问题）将若干练习本分给若干名同学，如果每人分４本，那么还余２０本；如果每人分８本，那么最后一名同学分到的不足８本，求学生人数和练习本数。
（分配问题）课外阅读课上，老师将43本书分给各小组，每组8本，还有剩余；每组9本却又不够。
问有几个小组？
（分配问题）小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：
“把你珠子的一半给我，我就有10颗珠子”.小刚却说：
“只要把你的
给我，我就有10颗”，如果设小刚的弹珠数为
颗，小龙的弹珠数为
颗，问各有多少颗弹珠？
（分配问题）小明与他的爸爸一起做投篮球游戏.两人商定规则为：
小明投中1个得3分，小明爸爸投中1个得1分.结果两人一共投中了20个，一计算，发现两人的得分恰好相等.你能告诉我，他们两人各投中几个吗？
（分配问题）运往灾区的两批货物，第一批共480吨，用8节火车车厢和20辆汽车正好装完；第二批共运524吨，用10节火车车厢和6辆汽车正好装完，求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨？
（分配问题）一级学生去饭堂开会，如果每4人共坐一张长凳，则有28人没有位置坐，如果6人共坐一张长凳，求初一级学生人数及长凳数．
（分配问题）用白铁皮做罐头盒。
每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。
现有150张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以刚好配套？
（分配问题）某车间原计划30天生产零件165个。
在前8天，共生产出52个零件，由于工期调整，要求提前5天超额完成任务，问以后平均每天至少要生产多少个零件？
（分配问题）某篮球队的一个主力队员在一次比赛中２２投１４中得２８分，除了３个三分球外，他还投中的二分
球及罚球分别多少个？
（分配问题）一群女生住若干间宿舍，每间住４人，剩９人无房住；每间住６人，有间宿舍住不满，可能有多少间宿舍，多少学生？
（分配工程问题）现要加工400个机器零件，若甲先做1天，然后两人再共做2天，则还有60个未完成；若两人齐心合作3天，则可超产20个.问甲、乙两人每天各做多少个零件？
分析：
工作时间×工作效率=工作量
（分配调运问题）一船队运送一批货物，如果每艘船装50吨，还剩下25吨装不完；如果每艘船再多装5吨，还有35吨空位．求这个船队共有多少艘船，共有货物多少吨？
（分配调运问题）某运输公司有大小两种货车,2辆大车和3辆小车可运货15.5吨,5辆大车和6辆小车可运货35吨,客户王某有货52吨,要求一次性用数量相等的大小货车运出,问需用大,小货车各多少辆?
（分配工程问题）甲、乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时甲先花了1小时修理工具，因此甲每小时比以前多加工10件，结果在后一段时间内，甲比乙多加工了10件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？
（分配几何问题）用如图一中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图二中竖式和横式的两种无盖纸盒。
现在仓库里1500张正方形纸板和1001张长方形纸板，问两种纸盒各做多少只，恰好使库存的纸板用完？
学习了二元一次方程组的解法后，我们将面临与二元一次方程组有关的实际问题的挑战.
列二元一次方程组解决实际问题和列一元一次方程解应用题的步骤一样，要经历读题—审题（找相等关系）—设元—列方程（组）—解方程（组）—检验－作答这样几步，只是数量关系稍微复杂一些.
解题的关键仍然是审好题，找准题中的相等关系.下面通过一些与“二元一次方程组有关的典型例题的分析，帮助同学们找到一点解决实际问题的一般思路和方法.
一、“鸡兔同笼”问题例1.一队敌兵一队狗，两队并成一队走.
人头狗头七十六，却有二百条腿走.请你用心算一算，多少敌兵多少狗？
分析与解答：
“鸡兔同笼”问题是一种古老又典型的数学趣题，在这种数学问题中常出现两种不同的动物.
这两种动物都只有一个头，主要区别在于腿的条数不一样，解答此类问题要紧紧抓住问题当中头和腿的总数来寻找相等关系列方程（组）.我们知道一个人2条腿，一只狗4条腿，由题目提供的人和狗的总个数为76，腿的总条数为200，易找到相等关系.可设有x个敌兵，y条狗，可得方程组：
X=52
y=24
X＋y=76
2X＋4y=200
解方程组得：
所以有敌兵52个，狗24条.
二、“配套”问题例2.一张方桌有一张桌面和四根桌腿组成，已知1立方米木料可以做桌面50个或桌腿300个，现有5立方米木料，能做方桌多少张？
X＋y=5
4×50X=300y
分析与解答：
解决“配套”问题的关键是首先弄清“怎样配套”，从而找到配套的各元素之间的数量关系，为列方程（组）找好相等关系.
由“一张方桌有一张桌面和四根桌腿组成”，可知要想配套，桌腿的总数应是桌面总数的4倍.
因此，应设x立方米的木料做桌面，y立方米的木料做桌腿，可列方程组：
X=3
y=2
解方程组得：
所以要用3立方米的木料做桌面，能做方桌3×50=150张.
三、“数字”问题例
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