高考文科数学考纲解读与题型示例11空间中的平行与垂直.docx
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高考文科数学考纲解读与题型示例11空间中的平行与垂直
2018年高考文科数学考纲解读与题型示例（11）空间中的平行与垂直
【2018年高考考纲解读】
高考对本内容的考查主要有：
（1）主要考查空间概念，空间想象能力，点线面位置关系判断，表面积与体积计算等，A级要求
（2）主要考查线线、线面、面面平行与垂直的证明，B级要求
【重点、难点剖析】
1．直线、平面平行的判定及其性质
（1）线面平行的判定定理：
a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.
（2）线面平行的性质定理：
a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.
（3）面面平行的判定定理：
a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.
（4）面面平行的性质定理：
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
2．平行关系的转化
两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图．
3．直线、平面垂直的判定及其性质
（1）线面垂直的判定定理：
m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.
（2）线面垂直的性质定理：
a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
（3）面面垂直的判定定理：
a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.
（4）面面垂直的性质定理：
α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
4．垂直关系的转化
与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图．
在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：
两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面，当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化.
【题型示例】
题型一 空间几何体的结构及其三视图
例1.【2017课标
，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【变式探究】（2015·北京，7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）
A.1B.
C.
D.2
解析 四棱锥的直观图如图所示，PC⊥平面ABCD，PC＝1，底面四边形ABCD为正方形且边长为1，最长棱长PA＝
＝
.
答案 C
【变式探究】（2015·重庆，5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.
＋2πB.
C.
D.
解析 该几何体由一个圆柱和一个从轴截面截开的“半圆锥”组成，其体积为V＝π×12×2＋
×
π×12×1＝2π＋
＝
.
答案 B
题型二 空间几何体的表面积
例2.【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
【答案】
【变式探究】（2015·新课标全国Ⅰ，11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝（ ）
A.1B.2
C.4D.8
解析 由题意知，2r·2r＋
·2πr·2r＋
πr2＋
πr2＋
·4πr2＝4r2＋5πr2＝16＋20π，∴r＝2.
答案 B
【变式探究】（2015·新课标全国Ⅱ，10）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点.若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）
A.36πB.64πC.144πD.256π
答案 C
3.（2015·安徽，9）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
A.1＋
B.1＋2
C.2＋
D.2
解析 由几何体的三视图可知空间几何体的直观图如图所示.
∴其表面积S表＝2×
×2×1＋2×
×（
）2＝2＋
，故选C.
答案 C
题型三 几何体的体积
例3.【2017山东，文13】由一个长方体和两个
圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为.
【答案】
【变式探究】【2017江苏，6】如图,在圆柱
内有一个球
该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱
的体积为
球
的体积为
则
的值是▲.
【答案】
【解析】设球半径为
，则
．故答案为
．
【变式探究】（2016·全国卷Ⅲ）如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
（1）证明：
MN∥平面PAB；
（2）求四面体N-BCM的体积．
如图，取BC的中点E，连接AE.
由AB＝AC＝3
得AE⊥BC，AE＝
＝
.
由AM∥BC得M到BC的距离为
，
故S△BCM＝
×4×
＝2
.
所以四面体NBCM的体积
VNBCM＝
·S△BCM·
＝
.
【变式探究】（2015·新课标全国Ⅰ，6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：
“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：
积及为米几何？
”其意思为：
“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？
”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）
A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛
答案 B
【变式探究】（2015·山东，9）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
A.
B.
C.2
πD.4
π
解析 如图，设等腰直角三角形为△ABC，∠C＝90°，AC＝CB＝2，则AB＝2
.
设D为AB中点，则BD＝AD＝CD＝
.
∴所围成的几何体为两个圆锥的组合体，其体积V＝2×
×π×（
）2×
＝
.
答案 B
【变式探究】（2015·新课标全国Ⅱ，19）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
题型四空间中的平行与垂直
例4、（2017·全国卷Ⅱ）如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝
AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.
（1）证明：
直线BC∥平面PAD；
（2）若△PCD的面积为2
，求四棱锥PABCD的体积．
（1）证明：
在底面ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝90°.
所以BC∥AD，（1分）
【举一反三】【2017山东，文18】（本小题满分12分）由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E
平面ABCD,
（Ⅰ）证明：
∥平面B1CD1;
（Ⅱ）设M是OD的中点,证明：
平面A1EM
平面B1CD1.
【答案】①证明见解析.②证明见解析.
【解析】证明：
（2）因为
E,M分别为AD和OD的中点，
所以
又
面
，
所以
因为
所以
又A1E,EM
所以
平面
平面
，
所以平面
平面
【变式探究】（2016·北京卷）如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.（导学号55410121）
（1）求证：
DC⊥平面PAC；
（2）求证：
平面PAB⊥平面PAC；
（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？
说明理由．
【变式探究】（2015·湖南，18）如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点.
（1）证明：
平面AEF⊥平面B1BCC1；
（2）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥FAEC的体积.
（1）证明
∵△ABC为正三角形，E为BC中点，
∴AE⊥BC，
∴又B1B⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，
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