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分形论文

计算机科学与技术学院课程成绩单

课程名称：

分形图形学指导教师：

李红斌

姓名

陈治宇

性别

男

学号

200812137030

班级

计算机DB081

综合成绩

成绩等级

设计整体表现力

（占总成绩20%）

□能正确表现□基本能正确表现□能表现但不完善

（20分）（15分）（10分）

设计功能完善程度

（占总成绩10%）

□完善□基本完善□不完善

（10分）（8分）（5分）

设计结构的合理性

（占总成绩10%）

□合理□基本合理□不太合理

（10分）（8分）（5分）

对问题的答辩情况

（占总成绩40%）

□概念正确有创新□能正确回答所有问题□基本能正确回答

（40分）（35分）（30分）

□部分问题回答概念不清晰

（20分）

学生的工作态度与独立工作能力

（占总成绩10%）

□工作态度认真能独立完成任务□工作态度认真但独立性较差

（10分）（8分）

□工作态度基本认真但缺乏独立性

（5分）

论文的规范性

（占总成绩10%）

□符合规范□基本符合规范□规范性较差

（10分）（8分）（5分）

优秀：

90分~100分良好：

80分~89分中等：

70~79分及格：

60~69分不及格0分~59分

武汉科技大学计算机科学与技术学院制表

武汉科技大学计算机学院

计算机（电子）081

陈治宇

学号：

200812137030

分形几何及其各种应用

陈治宇

武汉科技大学计算机科学与技术学院计算机（电子）081

邮编：

430000

一．摘要

本论文首先介绍了分形的基础知识，各种畅想以及应用：

分形动画应用，分形音乐应用，各类分形算法，包括：

分形中Mandelbrot集和Julia集的生成算法，在生成的Mandelbrot图像中，对其中的逃逸区、混沌区和吸引区分别着上黑色、白色和灰色，如果点在白色区域即混沌区内自由游动时，就生成了Julia集的分形艺术动画。

二.关键词

分形，动画，音乐，算法

3.正文

1分形艺术介绍

1.1分形的由来

分形在英文中为fractal，是美籍法国数学家B.B.Mandelbrot用拉丁词根拼造成的，原意为“支离破碎，断裂”等。

分形是描述不规则几何图形的有力工具，具有以下基本特性。

1、自相似性，即局部与整体的相似，是局部到整体在各个方向上的等比例变换的结果；

2、自仿射性，是自相似性的一种拓展，是局部到整体在不同方向上的不等比例变换的结果；

3、无限精细结构，即在任意小尺度之下，它总有复杂且与整体相似的细节；

4、分形集无法用传统几何语言来描述，它不是某些简单方程的解集，也不是满足某些条件的点的轨迹；

5、分形集一般可以用简单的方法定义和产生，如递归、迭代；

6、无确定的标度且具有分数维数。

分形所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索,即使您不懂得其中深奥的数学哲理，也会为之感动。

1.2分形艺术的出现

FractalArt到目前为止约有20多年的历史，它第一次引起公众注意的是《科学美国人》1985年上关于Mandelbrot集的一篇文章，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构。

Mandelbrot集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构，如图1所示。

如果计算机的精度是不受限制的话，可以无限地放大图形的边界。

无论怎样放大边界的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。

用数学方法对放大区域进行着色处理，这些区域就变成一幅幅精美的艺术图案，这些艺术图案人们称之为“FractalArt”即“分形艺术”。

图1Mandelbrot集自相似的结构

分形艺术是根据非线性的科学原理，通过计算机数值计算而生成的某种具有审美情趣和科学内涵的图形或动画，并以特定方式向观众演示、播放、展览的一种视觉艺术形态。

分形艺术是科学与艺术的融合，数学与艺术审美上的统一，分形搭起了科学与艺术的桥梁。

2分形的动画应用

逃逸时间算法

对于函数

（讨论n=2的情况），c=0时，在复平面上可以分为两个区域：

一个区域使落在其中的点向0吸引子逼近，而另一个区域使落在其中的点向无穷远处逃逸；c不等于零时，吸引子是一个区域，被吸进去的点会遍历整个区间，称该区域为混沌区。

假设有一个充分大的整数M，当未逃逸区域M中的初始点a，经过小于N次迭代时就可到达未逃逸区域M的边界，甚至超出了边界，这时就认为a逃逸出去了；而如果经过N次迭代后，a的轨迹仍未到达M的边界，就认为a是A上的点。

用这样的方法描绘出A的边界图形如图2所示，这便是逃逸时间算法的基本思想。

N的选择直接影响绘图的质量，如果N过小，则只有较小的点能够逃逸出去，结果不是收敛区域的点也会被留下来，从而只能得到一个粗略的不准确的图形；反之，如果N太大，则A上的一些点也会逃逸出去，所生成的图形模糊不清。

当然，要选择适当的N，只能靠反复调试及经验累积。

Mandelbrot集的逃逸时间算法：

假设：

（1）显示区域的宽度和高度w和h

（2）复平面的范围：

实部

，虚部

（3）迭代次数n

（4）阈值t

（5）混沌区界限m（且m

for（intx=0;x

{for（inty=0;y

;

double

doublezx=0;

doublezy=0;

for（intk=0;k

{

doublere=zx*zx-zy*zy+real;

doubleim=2*zx*zy+imag;

doubleroot=re*re+im*im;

if（root>t）

{

if（k

elseSetpixel（x,y,whitecolor）;//混沌区

break;

}

zx=re;

zy=im;

}

if（k>=n）Setpixel（x,y,greycolor）;//吸引区

}

}

算法1

Julia集的逃逸时间算法：

假设：

（1）显示区域的宽度和高度w和h

（2）复平面的范围：

实部

，虚部

（3）迭代次数n

（4）阈值t

（5）初始点

（6）逃逸时的迭代次数nL

for（intx=0;x

{

for（inty=0;y

{

double

;

double

;

nL=n;

for（intk=0;k

{

doublexsqr=zx*zx;

doubleysqr=zy*zy;

if（xsqr+ysqr>t）

{

nL=k;

break;

}

zy=2*zx*zy+imag;

zx=xsqr-ysqr+real;

}

if（nL

{

对点（x,y）进行着色，该点颜色的三分量是nL的函数。

}

else

{

对点（x,y）着色，颜色值固定

}

}

算法2

对于初始点

，利用上述算法生成的Julia集图像如图4所示。

图4Julia集图像

着色算法

在计算机上作图不仅仅要作黑白图形，也要作带有颜色的彩色图形，这就是着色算法要完成的工作。

但基于数学和几何的分形图形在色彩丰富和谐方面总有一些不尽如意，黑白两色的图形当然也能表现图形结构布局但艺术感染力不强,要想得到色彩美丽的艺术图形，需要构造好的着色算法，优化程序代码，使分形艺术图形优美、逼真、自然，达到令人叹为观止的效果。

在计算机中颜色是用具有客观性的RGB值刻画的，RGB颜色模型通常用于彩色阴极射线管等彩色光栅图形显示设备中，实际上用计算机作图，只需记住RGB三个纯客观的值。

用三维数组或者向量表示任何一种颜色，设三维向量为（R，G，B），R代表red（红），G代表green（绿），B代表blue（蓝）。

这里的红、绿、蓝叫做三原色，用它们的组合可以表示任何一种颜色。

使用RGB颜色模型定义颜色是一种加色的过程。

由黑色开始，接着加入合适的基色元素得到希望的颜色。

R、G和B的取值范围都是0到255，各有256种取值。

如此看来RGB颜色模型可以表示颜色共有N=256×256×256=16,777,218多种。

比如（190，51，10），一定对应一种复合颜色，我们可以猜测此种颜色的大致模样。

若发现第一个分量R的值较大，第三个分量B的值较小，第二个分量G的值也较小，所以此颜色以R（即红色）为主，但比纯红色彩要淡。

需要注意的一点是，RGB颜色模型所覆盖的颜色域取决于显示设备荧光点的颜色特性，是与硬件相关的。

标准VGA只有16种颜色，通常的高分辨率显示也不过只有256种颜色。

也就是说绝大部分颜色是不能直接使用的，但对于通常的作图而言，16色以及256色已足够了，对于专业图像处理才用到16M色和64M色。

设窗口坐标为

的颜色值为

，其红色、绿色、蓝色三分量由下式计算：

其中，

分别为三种算法，

是由算法2生成的参数集合。

三个颜色分量算法的选取必须满足颜色渐变性的要求。

所谓颜色的渐变，指的就是相邻点的颜色看上去很平滑，使图形的视觉效果和谐融洽。

迭代分形艺术图形中的颜色也能显示迭代函数的每个点的种类及性质,即迭代到函数根所花费的时间。

该点颜色生成了之后，可以直接在屏幕上显示，颜色值也可以保存在内存的一个缓冲区中。

具体算法描述如下：

1、设置初始颜色

2、

点的颜色

如下式表示：

其中：

为颜色三分量的修正值，是迭代次数n的函数。

可取下式：

4、调用描点函数

，在该位置处画点。

5、重复2至4直到窗口中所有的点都已绘制完为止。

这样一幅精美的分形图形就生成了，生成的图像可以保存到剪贴板，也可以BMP或JPG格式保存到图形文件中存储在硬盘里。

图5Mandelbrot集图像划分为三个区域

当点在图5的混沌区域（即白色区域）内自由游动时，每一次游动生成一幅Julia集图像，当点连续游动时，且每次游动前后的相差微小，就生成了连续平滑的Julia集动画。

图6～图9是其中几帧精美的图像。

3古琴音乐中的分形几何

为了研究音乐的分形几何，首先必须把它加以量化，因此撇开音乐的社会学定义不讲，现在我们从数学上给它下一个定义：

音乐是具有不同音高（频率）的音的一种有序排列。

既然如此，那么这种有序的数学表达是什么？

随意地敲击琴键不会产生音乐，不同音的有序排列组成了旋律，这种排列是分形的吗？

如果答案是肯定的话，那么在一首音乐作品中两相邻音之间的音程i与其出现的几率F应满足下述关系：

　　F=C/iD或logF=C’-Dlogi

　　即音程i的对数与其出现几率F的对数之间存在线性关系,也就是说以logF和logi为纵横坐标作图,则各点均应在同一直线上。

其中D为该作品的分形维数（分维），C为比例系数，C’=logC。

　　许氏父子通过分析发现[8]，对于巴赫和莫扎特等古典音乐大师的作品，上述分形关系式均可确立，但对于现代无调性音乐作品，则无此种关系。

为了对我国古代音乐进行深入的理解与研究，为了对东西方音乐的异同进行比较，下面我们也将使用这一方案对我国古琴音乐进行分析。

　　首先选取《古逸丛书》中管平湖打谱的《幽兰》[9]进行分析。

对该曲中音程i及其出现几率的统计结果如下表：

　　将音程i及其出现概率F分别取对数对应作图可以看到（图1A），在区间2≤i≤11，存在分形关系：

　　F=3.80/i3.15

　　图中与分形关系有较为显著偏离的是i=7（纯五度）和i=10（小七度）的过量。

其实对于这种偏离也是不难理解的，根据和声音程在听觉上所产生的印象，音程可以分为协和音程与不协和音程两类。

两音的频率具有较小整数比的音程叫协和音程，属于这一类的有极完全协和音程的纯一度（1：

1）和纯八度（2：

1）以及完全协和音程的纯五度（3：

2）和纯四度（4：

3）。

所有这些音程听起来都很悦耳，因而在优美的乐曲中协和音程出现的几率就较大，从而导致了对分形关系的偏离。

类似的，由于不协和音程（小二度i=1，减五度i=6和大七度i=11等）在听觉上给人的印象是比较刺耳，彼此很不融合，因而作曲家在创作时总是有意识地少用，这也就导致了与分形关系的偏离。

　　图1B是巴赫《创意曲》No.1的旋律分形关系。

人们曾评论说，巴赫的作品有着数学般的精确，如果这种精确是指在其作品分形关系成立严格程度的话，那么把图1A和图1B相比较可以看出，古琴曲《幽兰》有着较巴赫《创意曲》No.1更为精确的数学。

《幽兰》曲早《创意曲》千年而作，况中国与德国又相距万里之遥，且又分属东西方两种不同的文化圈，何以二者都服从分形关系呢？

难道这只是偶然的巧合吗？

　　为了更深入地理解这一问题，我们对大量的古琴曲[9]进行了统计分析，结果表明，绝大多数的乐曲中均存在着分形关系。

特别是《阳春》和《华胥引》，它们有一个共同的特点是分形关系中的比例系数C＝1（即分形关系线延长与纵轴相交于O点），这与莫扎特的F大调《奏鸣曲》及A大调《奏鸣曲》完全一样。

一般认为，莫扎特的这两首曲子有着图画般的绚丽，而古琴曲《阳春》和《华胥引》亦是音画交融美妙无比。

那么，这种对应仅是种巧合呢还是有着尚未发现的更深刻的原因？

　　与西方古典音乐相比，古琴音乐有以下几个特点。

（1）同音重复和八度音出现的比例较大。

究其原因，固然是因为同音重复（i=0）和八度音（i=12）属于极完全协和音程，听起来融合悦耳，但更主要的原因是古琴音乐大多来源于以民歌为基础的琴歌，而民歌中同音重复的比例极大，这是一个带有普遍性的规律，古今中外，概莫能外，如在莫扎特的取材于民歌而创作的A大调《奏鸣曲》的第一乐章中，同音重复的比例亦高达27％。

（2）几乎没有半音（i=1）和三整音（i=6）。

与西方音乐不同，我国古代音乐大多采用五声调式或以五声调式为基础的六声调式与七声调式。

在五声调式中根本就没有半音和三整音，六声调式中由于清角和变宫音的加入导致半音的出现，七声调式中更由于在五声调式的小三度音程中加入了不同的“偏音”，从而导致除半音外又出现了三整音，但鉴于半音和三整音听起来比较刺耳，而且演奏起来也不易把握，故而出现频率较低。

（3）小三度（i=3）的过量和大三度（i=4）的不足。

众所周知，由于汉语语言的音韵特点对音乐旋律的深刻影响，小三度在我国民族音阶的发展过程中一直占有重要的地位，即使今天，在我国民间劳动歌曲的呼号声中，多数情况下小三度也还占据主导地位，如京韵大鼓口语旋律在行腔时就呈现典型的三度音程特征。

所以说，小三度的过量是很自然的。

大三度不足的原因同样来源于古琴曲的调式，如在五声调式中，大三度只能存在于宫音与角音之间，这样在一首乐曲中，除非是有意地采用大三度音程，否则它一定是不足的。

（4）复音程（i>12）出现的比例较大。

西方古典音乐中复音程呈现的比例均在百分之一以内，而在古琴音乐中复音程呈现的比例则在百分之几到百分之十几不等。

这种差别可能来自于东西方人的心智模式（思维方式与思维习惯）的不同。

国人一般是从整体上看待和把握事物，喜欢那种宽阔宏大的场面；而西方人通常是从细微之处认识和掌握事物，他们喜欢那种细致、严格、有确定界限的景观。

这种哲学上的认知差别反映在音乐中便造成了上述差异。

在分析中，我们还发现了一个不存在分形关系的例子，这就是著名的古曲《流水》。

其实，出现这一现象也是不难理解的，为了模仿水流的自然响声，为了表现流水的从容缓进和跌宕起伏，亦即为了表达流水的“洋洋乎”，曲作者过量地使用了小三度和纯五度等音程，从而使得其他音程显得相对不足，无法与其相匹配。

但琴曲《流水》与西方现代无调性音乐（亦无分形关系存在）是不同的，在现代无调性音乐作品中，广音程特别是某些不协和音程（如减五度）出现的几率很大，甚至超过了狭音程，但在《流水》一曲中狭音程出现的几率仍是最大的。

4结论

分形的应用众多，不论是动画，影视，还是音律中，分形已然将严禁的数学与感性的艺术充分结合而成一个新的学科，其中既有严谨又有趣味，更为未来的发展带来更为强劲的动力！

4.参考文献

[1]曾文曲等.分形理论与分形的计算机模拟[M].沈阳：

东北大学出版社，2001.7.

[2]刘华杰.分形艺术[M].长沙:

湖南科学技术出版社.1997.

[3]孙博文分形算法与程序设计北京科学出版社,2004

[4]潘金贵.分形艺术程序设计[M].南京:

南京大学出版社,1998

[5]许健.琴史初编[M].北京：

人民音乐出版社，1982.

[6]章华英.古琴音乐与东方哲学[J].中国音乐，1991（3）1.

[7]牛陇菲.古琴与钢琴[J].星海音乐学院学报，2001（4）11.

[8]史弘.手挥五弦心游太玄[J].中国音乐学，1995

（2）52.

[9]杨燕迪.实证主义及其衰落——英美二次世界大战后的音乐学发展略述.[J].中国音乐学，1990

（1）99.