北京市东城区高三文科数学期末试题及答案.docx

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北京市东城区高三文科数学期末试题及答案

东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测

高三数学参考答案及评分标准（文科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C

（2）C（3）D（4）A

（5）B（6）B（7）C（8）D

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）（10）

（11）（12）

（13）（14）

注：

两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：

（Ⅰ）设数列的公差为，由题意知，即，

由，解得.

所以，即,.………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以.

又，，

由已知可得，即，

整理得，.

解得（舍去）或.

故.………………………………13分

（16）（共13分）

解：

（Ⅰ）由表格可知，的周期，

所以.

又由，且，所以.

所以.………………………………6分

（Ⅱ）

.

由，所以当时，有最大值；

当时，有最小值.………………………………13分

（17）（共13分）

解：

（Ⅰ）由题可知，第组的频数为人，第组的频率为.

即①处的数据为，②处的数据为.………………………………3分

（Ⅱ）因为第，，组共有名学生,所以利用分层抽样,在名学生中抽取名学生,每组分别为:

第组:

人；第组:

人；第组:

人.

所以第，，组分别抽取人，人，人.………………………………6分

（Ⅲ）设第组的位同学为，，，第组的位同学为，，第组的位同学为，

则从位同学中抽两位同学有种可能，分别为:

，，，，，，，，，，，，，，.

其中第组的两位同学至少有一位同学被选中的有:

，，，，，，，，种可能.

所以第组的两位同学至少有一位同学被选中的概率.………………………13分

（18）（共13分）

证明：

（Ⅰ）因为平面，平面，

所以.

又因为，,

所以平面.

又因为平面，

所以平面平面.………………………………7分

（Ⅱ）在线段上存在一点,且，使平面.

设为线段上一点,且.

过点作交于，则.

因为平面,平面，

所以.

又，

所以.

因为，所以.

所以四边形是平行四边形.

所以.

又因为平面，平面，

所以平面.………………………………13分

（19）（共14分）

解：

（Ⅰ）当时，，.

当时，，又，

所以曲线在点处的切线方程为.………………………………4分

（Ⅱ）由，得.

当时，，此时在上单调递增.

当时，，当时，，

所以当时，曲线与轴有且只有一个交点；…………………8分

当时，令，得.

与在区间上的情况如下：

极大值

若曲线与轴有且只有一个交点，

则有，即.解得.

综上所述，当或时，曲线与轴有且只有一个交点.…………………12分

（Ⅲ）曲线与曲线最多有个交点.…………………14分

（20）（共14分）

解：

（Ⅰ）由椭圆过点，则.

又，

故.

所以椭圆的方程为.………………………………4分

（Ⅱ）①若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是，

由解得或

故，.………………………………8分

②为定值，且.

设直线的方程为.

由消，得.

当，即时，直线与椭圆交于两点.

设.,则，.

又，，

故.

又，，

所以

.

故.………………………………14