专题训练直角三角形斜边上中线.docx

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专题训练直角三角形斜边上中线

《直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半》

专题训练

直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点．它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。

一、直角三角形斜边上中线的性质

性质：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

定理的证明

证明：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

二、性质的证明

1、证明线段相等

例1、如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D点，使

，点E、F分别为边BC、AC的中点。

（1）求证：

DF=BE；

（2）过点A作AG∥BC，交DF于G。

求证：

AG=DG。

2、证明角相等

例2、已知，如图5，在△ABC中，∠BAC>90°，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：

∠FED=∠FDE。

例3、已知：

如图6，在△ABC中，AD是高，CE是中线。

DC=BE，DG⊥CE，G为垂足。

求证：

（1）G是CE的中点；

（2）∠B=2∠BCE。

3、证明线段的倍分及和差关系

例4、如图7，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连AE。

求证：

（1）∠AEC=∠C；

（2）求证：

BD=2AC。

例5、如图8，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，E、F分别是AB、CD的中点。

求证：

。

4、证明线段垂直

例6、如图9，在四边形ABCD中，AC⊥BC，BD⊥AD，且AC=BD，M、N分别是AB、DC边上的中点。

求证：

MN⊥DC。

5、证明特殊的几何图形

例7、如图10，将Rt△ACB沿直角边AC所在直线翻折180°得到Rt△ACE，点D与点F分别是斜边AB、AE的中点，连CD、CF，则四边形ADCF为菱形．请给予证明．

强化训练

1、如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC于D,E、F、G分别是AC、AB、BC的中点。

求证：

四边形OEFG是等腰梯形。

2、如图所示，BD、CE是三角形ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点

求证：

MN⊥DE

3、已知梯形ABCD中，∠B+∠C＝90o，EF是两底中点的连线，试说明AB－AD＝2EF

4、如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90o，点M、N分别是BD、AC的中点。

MN、AC的位置关系如何？

证明你的猜想。

5、过矩形ABCD对对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交AB、DC于E、F，点G为AE的中点，若∠AOG＝30o

求证：

3OG=DC

6、如图所示；过矩形ABCD的顶点A作一直线，交BC的延长线于点E，F是AE的中点，连接FC、FD。

求证：

∠FDA=∠FCB