小学奥数专题精讲计数.docx
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小学奥数专题精讲计数
目录
第1讲枚举法和加乘原理······················2
第2讲排列组合···························12
第3讲计数综合提高···························22
第一讲枚举法和加乘原理
知识总结归纳
一.枚举法：
（1）顺序：
按照一定的规律和顺序去分析问题的数学思想。
（2）分类：
把一个复杂问题拆分成几个简单问题的思想。
（3）树形图：
记录分类和顺序思考过程的工具。
（4）“有顺序”和“无顺序”问题：
例如把10个相同的小球分成3堆和把10个相同的小球分给甲、乙、丙三个人，这是两个不同的问题。
二.加法原理：
如果完成一件事情可以分成几类方法，每一类又包含若干种不同方法，那么将所有类中的方法数累加就是完成这件事的所有方法数．
三.加法原理的关键：
（1）分类的思想；
（2）分类的原则：
不重复不遗漏
四.乘法原理：
如果完成一件事情可以分成几个步骤，每一步又包含若干种不同方法，那么将所有步骤中的方法数连乘就是完成这件事的所有方法数．
五.乘法原理的关键：
（1）分步的思想
（2）分步的原则：
前不影响后。
前面采取什么样的步骤，不会影响到后面的方法数。
每层的分叉数必须一样多。
（3）对于染色问题、排数字问题、排队问题等较复杂的乘法原理问题，在分步的时候要优先考虑选择情况少的步骤，必须让前面步骤的结果不影响后面步骤选择的方法数。
六.标数法：
（1）标数法是加法原理和乘法原理的综合应用
（2）主要用于解决路径问题和某些图形计数问题。
枚举法
例题111个相同的小球分成第1堆、第2堆、第3堆，有多少种不同的分法？
例题211个相同的小球分成3堆，有多少种不同的分法？
例题3商店里有12种不同的签字笔，价格分别是1，2，3，4，5，
，11，12元．琪琪准备买3支不同价格的签字笔，并且希望恰好花掉15元．请问：
小悦一共有多少种不同的买法？
例题4小梦买了一些大福娃和小福娃，一共不到10个，且两种福娃的个数不一样多．请问：
两种福娃的个数可能有多少种不同的情况？
例题5一个三位数，百位比十位小，十位比个位小，个位不大于5，那么这样的三位数一共有几个？
例题6甲、乙、丙三个人传球．第一次传球是由甲开始，将球传给乙或丙，……，经过4次传球后，球正好回到甲手中．那么一共有多少种不同的传球方式？
加乘原理
例题7
（1）大雄一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机．经过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班．任意选择其中一个班次，有多少种选择方法？
（9）
（2）大雄一家人外出旅游，需要先做火车，再乘汽车，最后坐飞机．经过网上查询，途中的火车有4班，汽车有3班，飞机有2班．每种交通工具任意选择其中一个班次，有多少种选择方法？
（24）
例题8
（1）每个数位可以是1~4中的一个数字（可以重复），这样的三位数有多少个？
（64）
（2）每个数位可以是0~4中的一个数字（可以重复），这样的三位数有多少个？
（100）
（3）每个数位可以是0~4中的一个数字（可以重复），这样的三位偶数有多少个？
（60）
例题9
（1）用1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的三位数？
（60）
（2）用0、1、2、3、4可以组成多少个没有重复数字的三位数？
（48）
（3）用0、1、2、3、4可以组成多少个没有重复数字的三位奇数？
（18）
例题10“IMO”是“国际数学奥林匹克”的缩写，要求把这三个字母涂上不同的颜色，且每个字母只能涂一种颜色．现有五种不同颜色的笔，按要求能有多少种不同的涂色方法？
如果要求相邻字母不能同色，有多少种方法？
（125，80）
综合提高
例题11商店里有三类笔，铅笔、钢笔和圆珠笔．铅笔有4种颜色，钢笔有3种颜色，圆珠笔有2种颜色．
（1）要买任意一支笔，有多少种买法？
（9）
（2）要从三类笔中各买一支，有多少种买法？
（24）
（3）要买两支不同类的笔，有多少种买法？
（26）
例题12
如右图所示，要用红、黄、蓝三色给这个图形的5个区域进行染色，每个区域染一种颜色，那么共有多少种不同的染色方法？
如果相邻区域不得同色，那么共有多少种不同的染色方法？
（243，6）
例题13某省的地图如图，共有A、B、C、D、E、F、G七个区县，用5种颜色给地图染色，要求相邻区县的颜色不能相同，共有多少种不同的染色方法？
（4860）
例题14下图是一个阶梯形方格表，在方格中放入五枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有一枚棋子，这样的放法共有多少种？
（16）
例题15
（1）如图，在一个4行4列的方格表内放入4枚相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，每行也至多有1枚棋子，那么一共有多少种不同的放法？
（24）
（2）同上图，在这个4行4列的方格表内放入4枚相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，每行不作限制，那么一共有多少种不同的放法？
（256）
（3）同上图，在这个4行4列的方格表内放入4枚互不相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，每行也至多有1枚棋子，那么一共有多少种不同的放法？
（576）
（4）同上图，在这个4行4列的方格表内放入4枚互不相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，每行不作限制，那么一共有多少种不同的放法？
（6144）
标数法
例题16按右图中箭头所示的方向行走，从A点走到B点有多少条不同的路线？
（55）
例题17如右图，从A地沿网格线走到B地，规定只能朝右或朝上走．
（1）如果每次只能走一步共有多少种不同的走法？
（35）
（2）如果每次只能走一步且不能通过黑点，共有多少种不同的走法？
（17）
（3）如果每次可以走一步或两步（不能转弯），共有多少种不同的走法？
（207）
思维飞跃
例题18如图，在一个
的方格表内放入4枚相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少种不同的放法？
如果放入4枚互不相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少种不同的放法？
例题19如图，一只蚂蚁从A点出发，沿着八面体的棱行进，要求恰好经过每个顶点各一次，一共有多少种不同的走法？
作业
1.妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止．如果天数不限，可能的吃法一共有多少种？
2.用0、1、2、3、4、5可以组成_______个没有重复数字的四位数．（300）
3.把1分、2分、5分、1角的硬币各一枚排成一排，其中1分硬币不在两边，共有_______种排硬币的方法．（12）
4.
如图，把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色．那么共有________种不同的染色方法．（96）
5.
在右图的道路上按照箭头所示的方向行进，从甲地到乙地共有_______条不同的路线．（6）
6.
在5×5的方格纸中放入两枚相同的棋子，要求这两枚棋子既不同行也不同列，不考虑旋转，一共有_______种放法．（200）
7.如图，用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色．请问：
（1）如果每个小圆圈可以随意染色，一共有多少种不同的染法？
（2）如果要求关于中间那条竖线左右对称，一共有多少种不同的染法？
8.王老师家装修新房，需要2个木匠和2个电工．现有木匠3人、电工3人，另有1人既能做木匠也能做电工．要从这7人中挑选出4人完成这项工作，共有多少种不同的选法？
第二讲排列组合
知识总结归纳
一.排列的概念：
从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作
．排列数的计算公式如下：
二.组合的概念：
从n个不同的元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数，记作
．组合数的计算公式如下：
例如：
三.组合重要公式：
四.排列、组合以及和乘法原理的联系：
1.排列是乘法原理的延续，是乘法原理在特殊情况下的应用。
2.组合和排列的对应关系：
排列+除法原理=组合
五.遇到比较复杂的计数问题时，可能需要综合运用分步思想、分类思想以及排列组合公式。
解题可以按照如下步骤
1.首先这个计数问题看成某一个要完成的事情，仔细思考这个事情如何去完成，弄清是先分类还是先分步；
2.每一步或每一类再根据加乘原理或者排列组合公式计算。
有可能这些问题还需要继续拆成几个更简单的问题。
3.最后根据前面的步骤列出总的算式计算.
基础训练
例题1计算：
（1）
；
（2）
；（3）
例题2有5面不同颜色的小旗，任取3面排成一行表示一种信号，用这5面小旗一共可以表示出多少种不同的信号？
例题3用1，2，3，4，5这五个数码可以组成多少个没有重复数字的四位数？
将这些四位数从小到大排列起来，4125是第几个？
例题4计算：
（1）
；
（2）
；（3）
；（4）
．
例题5学校十佳歌手大赛的10名获奖选手中，每3人都要照一张合影．问：
需要拍多少张照片？
例题6如图所示，在一个圆周上有8个点，以这些点为顶点或端点，一共可以画出多少条线段？
多少个三角形？
多少个四边形？
例题7有13个队参加篮球比赛，比赛分两个组，第一组七个队，第二组六个队．各组先进行单循环赛（即每队都要与组内其它各队比赛一场），然后由各组的前两名共四个队再进行单循环赛决定冠亚军．问：
共需比赛多少场？
综合提高
例题8周末大扫除，老师要从第一组的10名男生和10名女生中选出5人留下打扫卫生．请问：
（1）如果老师随意选择，一共有多少种选择方法？
（2）如果老师决定选出2名男生和3名女生，一共有多少种选择方法？
（2160）
例题9
（1）用两个1，三个2可以组成多少个五位数？
（10）
（2）用两个1，三个2，4个3可以组成多少个九位数？
（1260）
（3）用两个0，三个2，4个3可以组成多少个九位数？
（980）
（4）用三个1和0、2、3、4各一个，可以组成多少个七位数？
（720）
例题10从1、3、5、7中任取两个数字，再从2、4、6、8中任取两个数字，共可组成多少个没有重复数字的四位数？
（864）
例题11从1、3、5、7中任取两个数字，再从0、2、4、6、8中任取两个数字，共可组成多少个没有重复数字的四位数？
（864）
捆绑法和插空法
例题12学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问：
（1）如果要求男生不能相邻，一共有多少种不同的站法？
（2）如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？
例题133名男生、2名女生和2名教练排成一排照相，请问：
（1）如果要求教练员站在一起，一共有多少种站法？
（2）如果要求教练员不能站在一起，那么又有多少种照法？
（3）如果要求任意两名男生都不能相互站在一起，那又有多少种照法？
思维飞跃
例题14四年级三班举行六一儿童节联欢活动．整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成．请问：
（1）如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？
（2）如果第一个和最后一个节目不能是小品，那么共有多少种不同的出场顺序？
例题15篮球队共有8人，其中有2个中锋、3个后卫和3个前锋，排成一排准备照合影：
若中锋必须彼此相邻，前锋两两不相邻，一共有多少种排法？
（2880）
例题16用1，2，3，4这四个数字组成四位数，至多允许有1个数字重复两次．例如1234，1233和2414是满足条件的，而1212，3334和3333都不满足条件．请问：
一共能组成多少个满足条件的四位数？
作业
1.用5，6，7，8，9这五个数码可以组成多少个没有重复数字的四位数？
将这些四位数从小到大排列起来，7598是第几个
2.如图所示，从端点O出发的射线共有7条，图中一共有多少个锐角？
3.在新学期的班会上，大家要从11名候选人中选出班干部．请问：
（1）选出三人组成班委会，一共有多少种选法？
（2）从剩下的候选人中，选出三人分别担任语文、数学、英语的课代表，一共有多少种选法？
4.从1、3、5、7中任取一个数字，再从0、2、4、6、8中任取两个数字，共可组成多少个没有重复数字的三位数？
（864）
5.
（1）用1个1，2个2，3个3可以组成几个六位数？
（2）用1个0，2个2，3个3可以组成几个六位数？
（3）用2个0，2个1，3个2可以组成几个七位数？
6.现有3名女生和5名男生，请问：
（1）如果要求女生不能相邻，一共有多少种不同的站法？
（2）如果要求5名男生必须站在一起，一共有多少种不同的站法？
7.8个人站队，小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？
第三讲计数综合提高
知识总结归纳
一.和分类相关的计数方法：
（1）正面分类.
（2）反面排除.
（3）容斥原理.
二.对应计数思想：
把某个看起来比较复杂的计数问题转化成一个简单的计数问题；
分类和排除
例题1如图，在半圆弧及其直径上共有9个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形？
（80）
例题2从10个人中挑出5人，求满足下列条件的选法有多少种．
（1）A和B至少有一个人入选；（196）
（2）A、B、C至少有一个人入选．（231）
例题3甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本．问：
（1）甲拿到自己作业本的拿法有多少种？
（6）
（2）至少有一人没拿到自己作业本的拿法有多少种？
（23）
例题4张华、李明等七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法：
（1）七个人排成一排；（5040）
（2）七个人排成一排，张华必须站在中间；
（720）
（3）七个人排成一排，张华、李明必须有一人站在中间；
（1440）
（4）七个人排成一排，张华、李明必须站在两边；
（240）
（5）七个人排成一排，张华、李明必须有一人站在中间，一人站在边上；
（480）
（6）七个人排成一排，张华、李明都没有站在边上；
（2400）
（7）七个人排成两排，前排三人，后排四人；
（5040）
（8）七个人排成两排，前排三人，后排四人，张华、李明不在同一排；
（2880）
（9）七个人排成两排，前排三人，后排四人，张华、李明在同一排．
例题5利用数字0、1、2、3能拼出多少个无重复数字的自然数？
例题6数字0、2、4、6、8称为偶数数码，数字1、3、5、7、9称为奇数数码．在有些四位数的各位数字中，奇数数码的个数比偶数数码的个数多，例如1370、3591等．那么这样的四位数共有多少个？
（1260）
例题7不含数字3的四位数有多少个？
（3168）
例题8把一根圆木棍分成等长的5节，每节用红、黄、蓝三中颜色的一种来涂，共有_____种不同的涂法。
（如果两根木棍可以经过翻转使得颜色顺序相同，那么认识者两根是一种涂法）
对应计数
例题9一个三位数，百位必十位大，十位比个位大，这样的三位数有多少个？
例题10在
的方格表中，取出一个如图所示的由3个小方格组成的“L”形，共有多少种不同的取法？
例题11在
的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图所示的由4个单位小正方形组成的“L”型？
例题12
（1）4×7的方格表中，共有多少个正方形？
（2）
的方格表中，共有多少个正方形？
例题13如图，这是一个长为9，宽为4的网格，每一个小格都是一个正方形．请问：
（1）从中可以数出多少个长方形？
（2）从中可以数出包含黑点的长方形有多少个？
例题14
一次射击比赛中，7个泥制的靶子如右图挂成3列．一射手按下列规则去击碎靶子：
每次任意挑选一列，然后击碎这列中尚未被击碎的靶子中最下面的一个．若每次都遵循这一原则，则击碎全部7个靶子共有多少种不同的顺序？
（210）
例题15（此题不用标数法）如右图，从A地沿网格线走到B地，规定只能朝右或朝上走．
（1）如果每次只能走一步共有多少种不同的走法？
（35）
（2）如果每次只能走一步且不能通过黑点，共有多少种不同的走法？
（17）
例题16
（1）一只青蛙沿着一条直线跳跃4次后回到起点．如果它每一次跳跃的长度都是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？
（2）如果这只青蛙在一个方格边长为1分米的方格纸上沿格线跳跃4次后回到起点，每次跳跃的长度仍是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？
作业
1.一个三位数，百位必十位小，十位比个位小，这样的三位数有多少个？
（204）
2.把一根圆木棍分成等长的4节，每节用红、黄、蓝三中颜色的一种来涂，共有_____种不同的涂法。
（如果两根木棍可以经过翻转使得颜色顺序相同，那么认识者两根是一种涂法）
3.张华、李明等五个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法：
（1）五个人排成一排，张华、李明必须有一人站在中间；（1440）
（2）五个人排成一排，张华、李明必须站在两边；（240）
（3）七个人排成一排，张华、李明必须有一人站在中间，一人站在边上；（480）
（4）五个人排成一排，张华、李明都没有站在边上；（2400）
（5）五个人排成两排，前排两人，后排三人；（5040）
（6）五个人排成两排，前排两人，后排三人，张华、李明不在同一排；（2880）
（7）七个人排成两排，前排三人，后排四人，张华、李明在同一排．
4.不含数字5的三位数有多少个？
（3168）
5.
（1）5×8的方格表中，共有多少个正方形？
（2）5×5的方格表中，共有多少个正方形？
6.如图，数一数图中一共有多少条线段？
多少个矩形？
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