数字信号处理习题及答案docx.docx

数字信号处理习题及答案docx.docx

《数字信号处理习题及答案docx.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数字信号处理习题及答案docx.docx（34页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

数字信号处理习题及答案docx

绪论

1.AlD8bit5V

OoooooooOV

Oooooo012omV

ooooooio4omV

oooilioi29mV

第一章时域离散时间信号与系统

1.

①写出图示序列的表达式

1*

X（n）

i

*1

*

»1

eI

O

I

3*11

答：

x（n）=δ（n1）2δ（n）δ（n-1）-2δ（n-2）1.5δ（n-3）

②用（n）表示y（n）={2,7,19,28,29,15}

Xrt）■2δ（n+2）÷lδ{π+1）+19δ（n）

28（?

（rt-l）+29^（«-2）+15^（«-3）

2.

卫=16

①求下列周期

（1）sin（§n）

（2）sin（n）

5

1

（3）cos（n）

5

非周期信号

π

（4）Sin（n）-sin（

8

5n）

jV=80

Itn）≡SLnn）

iTT

X（R=SinI-1^+⅛]

4

=Sinr-M+2?

^,

4

TV=S

②判断下面的序列是否是周期的

若是周期的,

确定其周期。

（1）x（n）

λ‘3

=Acos-∏

A是常数

j（8n—皿

（2）x（n）=e

解：

（1）

因为

ω=7π

2冗

所以一

ω

14

—,这是有理数，因此是周期序列，周期

3

T=14。

1_

因为

3=8,所以一=16π这是无理数，因此是非周期序列。

③序列x（n）=Acos（nwo•「）是周期序列的条件是2∏∕w°是有理数。

1.^14」¥亠**

1,2+14丄214

L15τ7j40,2.6.12,0

序列｛2，3，2，1｝与序列｛2，3，5，2，1｝相加为__｛4，6，7，3，1｝__,相乘为｛4，9，10,2｝。

-I）={L2.∖4}

移位I_.

翻转：

①已知x（n）波形，画出x（-n）的波形图。

，2}

求y（n）=x（n）*h（n）

答案：

x（n）*h（n）={0,

Λ（^2→tMSs囂‰gD

1X1

-2

⅛1hw）-{5iX2,0}

IX3+2X2

-7

5,J12}

1X5+2X3+4X2

Λ（bw）≡{5,3*2}

2X5+4X3+3X2

=2«

¼2-m>=（^3,2}

4X5+3X3

=29

A（‰ffi）-{0,5iX2}

3X5

=15

SteP2:

#^

3：

Hl⅛

'Wl和解得y（n）={2,7,19,28,29,15}

③2、已知XI=δ（n）■3δ（n

-1）2δ（n-2）,x2

=u（n）「u（n「3）,求x（n）=x1（n）

*X2（n）

答案：

x（n）={1,4,6,5,2}

3,4,7,4

2

②已知x（n）={1,2,4,3},h（n）={2,3,5},

x（m）={1,2,^3},h（m）={2,3,5},则h（-m）={5,3,2}（Step1:

翻转）

.r（n）=

4.如果输入信号为

jn∣J—3≤Jf≤3

Wnft,求下述系统的输出信号。

S）y（Λ）=X«）

（h）y（n）=t（λ?

-I）

（c>XM）=Xn+1）

（d）r（n）=∣[x（n+l）+Λb（rt）+x（w-1））

（e）;（M）=InaX{x（«+l）tX（U）,.v（^-l）}

（/）>W=X；_jr（k）=X（XZ）+.r（τ7-1）+Jr（N一2）+…解：

首先写出输入信号的取样值

jφ"={∙u0,3,2*I,0,1,2*3,Ot…}

T

（a）该系统叫做恒等系统。

（b）y（n）=x（n*l）={L30,3,2,L0?

1,2,3jO,L}（C）y（n）=x（n+J）=；L,0,3,2,1、Q1,Z玄QLl

（d）y（0）=[x（-]）+x（0⅞+x

（1）]/3=（1+0+1）/3=2/3

y（n）=}L.0,Ia2,1.⅜sIa¾£LQLJ

（e）y（n）=l⅛£3*3,2tI”Z入兔3’QL}

（l）y（n）={LtOt入5b6f⅛7,9*122Lj

5.①设某系统用差分方程y（n）=ay（n—1）+x（n）描述，输入x（n）=δn）。

若初始条件y（-1）=0,求输出序列y（n）。

解：

由初始条件y（_1）=0及差分方程y（n）=ax（n-1）x（n）得

n=0时,y（0）=ay（-1）δ（0）=1

n=1时，y

（1）=ay（0）δ

（1）=a

n=2时,y

（2）=ay

（1）δ

（2）=a2

S

n=n时,y（n）=an

y（n）=anι（n）

若初始条件改为y（-l）=l,求y（n）

初始条件y（-1）=1,方程y（n）=ax（n-1）x（n）

n=0时，y（0）=ay（_1）δ（0）=1a

n=1时，y

（1）=ay（0）δ

（1）=（1a）a

n=2时，y

（2）=ay

（1）δ

（2）=（1a）a2

≡

n=n时,y（n）=（1a）an

y（n）=（1a）anu（n）

②设差分方程如下，求输出序列y（n）。

y（n）=ay（n「1）x（n）,x（n）=δ（n）,y（n）=0,n0

解：

y（n-1）=a'（y（n）-δ（n））

n=1时,y（0）=a°（y

（1）-δ

（1））=0

n=0时,y（-1）=a*（y（O）-δ（0））a，

n=-1时,y（^2）=a（y（_1）-δ（-1））=-ay（n）二-an,n：

：

0

③设LTl系统由下面差分方程描述：

y（n）=1y（n

1

-1）x（n）x（n-1）。

设系统是因果的,

利用递推法求系统的单位脉冲响应。

解：

令χ（n）=δ（则h（n）=1h（n-1）δ（n）

1δ（n-1）

2

n=0时,

h（0）=

列（-1）

n=1时,

h

（1）=

1

2h（0）-

n=2时，

h

（2）=

1

2h

（1）

n=3时，

h（3）=

1

-h

（2）

2

.n1

'1V

所以，

h（n）=

-u（n

I2丿

1

—1）δ（n）

1

2

（1\

1

δ

（1）2δ（O）

δ（0）2δ（一1）=

y（n}-+—.讥H）H—X（TJ-1）

请用基本组件，以框图的形式表示该系统。

6.离散时间系统

解：

422

。

7•①①判断下列系统是线性还是非线性系统。

（a）y（n）=nu（n）;（b）y（n）=x（n2ys（C）Xfl）=Jr（/?

）（√）y（n）=Au（Ti）-∖B;（e）Xrt）=Cxtrf）

解：

（a）系统为线性系统。

（b）系统为线性系统。

（C）系统是非线性的。

比（«）=£（W）,必（沖）=E（W）

IL-（»）=TftzrV（M）+（H）I=[ij..r（丹）+ZTX（“）]

=αjcl2（H）+2a1a2x1（j⅛y（対）+aXoT）

y.（n）■αY1（M）+a>y2（h）=αjς（«）+a2x↑何必（町莪％何

（d）系统没有通过线性性检验。

Vt（j?

）=ArlM）+B.>∖（∕?

）=AXW）+B

X（M）=Γ[i⅞x1（∕j）+a2x2（∕j）]

=∕l[<¾x∣（H）+a2x.（>?

）]+B

=.v1（w）+Λazx2（n）+B

j√w）=alyl（/?

）+a.y2（∕?

）=J<7rη（fl）+』企Tl（对+（%+a.）3

?

系统没有通过线性性检验的原因并不是因为系统是非线性的（实际上，系统的输入输出表达式是线性的），而

是因为有个常数B。

因此，输出不仅取决于输入还取决于常数B。

所以，当时B≠0,系统不是松驰的，如

果B=O,则系统是松驰的，也满足线性检验。

（e）系统是非线性的。

②证明HMW叙却玲是线性系统。

另仞=斗（妙si<书?

?

耳]j⅛（⅛=j⅞（w）aX-≥卄号）

7⅛q（对∙hfi加”）]=[咎<⅛>+学（檜]s⅛<—w÷-）

砒（⅛-h¾⅛（j0=[φ⅛的+¾¾0∑J∣屯专+〒）

证：

珂中我用+wΛ⅛0⅛∣=pO√）+<¾巧（科）所CL此乘统是线性系⅛⅛∙

②证明y（n）=nx（n）系统是移变系统。

证：

TT戒nτ⅞N=ra⅛7τ¾）曲一％）=（M-λ¾MH->⅞）y（n-n^）MT[λX>7t⅛）]所％此系统不是时不变系统。

同理t可证明y（r^=或力Sirf闵忙!

■#）所代表的系统不是时不变系统*

③①判断下述系统是因果的还是非因果的。

（b）

（C）

何

（/）

（a）j,（∕7）=.φι）-Jr（H-1）M"=£；—•讹）,M=⅛7.V1（h）

IS）=Jr（B）+3χ（∏+4）γ（j?

）=）

γ（H）=x（2H）

Ig）Xn）=v（-7?

）

②下列哪一个单位抽样响应所表示的系统不是因果系统?

（D）

A.δ（n）B.h（n）=u（n）

C.h（n）=u（n）-u（n-1）D.h（n）=u（n）-u（n+1）

④

考虑用输入输出方程描述的非线性系统

y（n）=V2（n-1）+λ（∕∕）i如果有界输入信号时x5）=g（"）,这里「是常数,另外，假定y（-l）=O,则输出序列是

F（O）=CJj（I）=Cm2）=S）=宀很明显，当l<1"<÷τ时，系统的输出是无界的，因此，系统是BlBO非稳定系统。

5以下序列是LTl系统的单位序列响应h（n）,判断系统的因果性和稳定性。

（1）δ（n4）

（2）0.3nu（_n-1）

答案

（1）非因果、稳定

（2）非因果、不稳定。

6判断题：

一个系统是因果系统的充要条件是，单位序列响应h（n）是因果序列。

（错）

JrfHI=4O

8•①考虑下面特殊的有限时宽序列。

把序列分解成冲激序列加权和的形式。

解：

IP2i'

2■

②将序列x（n）用一组幅度加权和延迟的冲激序列的和来表示。

3

x（n）=x（-1）δ（n1）x（0）δ（n）x

（1）δ（n-1）x

（2）δ（n-2）x（3）δ（n_3）=.∖x（k）δ（n-k）

③若x（n）=2"0兰n兰4用单位序列及其移位加权和表示

卫其他

x（n）=（n）2（n-1）4（n-2）8（n-3）16（n-4）。

h（n∖={∣21-Iir（*j⅛=JI,>1I!

9.①一个LTI系统的单位冲激响应和输入信号分别为'求系统对输入的响

应。

解：

第一步，求n≥0时的响应yW

・第「步，求«<0时的响应yW

«=0Λ（-*）={-hL⅝lLv0（⅛）≡x（A）⅛<-⅛）

当=—1时

叫⑹…,®铲4…}

j（-l）=X√⅛）⅛（-l'⅛>V-I（k）≡λ（⅛>（-1-k）

y（0）-工τ（⅛）⅛（-⅛）-送v^（⅛）-4

¼-l-*）={-liLZI）

★■39卡■・4Q

v1（⅛）={-3Or0.IJ0「・}

Λ=1A（l-t）={-lhlj24}if⅝（⅛）≡x（⅛）Λ（l-⅛）

耳⑹={…O[439∙∙∙}

X-I）=∑Kι（t）=l

»«

同理：

y

Ml）=Xv（⅛）⅛（l-⅛）=Vv1（⅛）=8

寸■—RZ■—IZO

同理：

系统的总响应：

yW=8,X3）=3,y（4）=-2iy（5）=-⅛j（6）=0^

JVo二{…,CλQ14s⅛&3,一2-IQtα-■）

x（l?

）=If（H）

。

求系统对于x（n）的响应

Mn）=dlw（nla

②一个松弛线性时不变系统

y（n）。

解：

用式中的卷积公式来求解

y（^}=Ytt（⅛）⅛（m-k）

=》x（π-k）h（k）

Vf（A）=x（-i）⅛（i）Vl（⅛）=x（l-⅛）⅛（⅛）t…

显然对于心Q输出是

Ia）二1+卫■十b十…+—（1—t7r^^'}（IrU）

另一方面，对于k

r）-——

MfH'1—Λ

力（丼）=CInU^）。

请确定该系统的单位阶跃响应。

④设线性时不变系统的单位脉冲响应h（n）和输入x（n）分别有以下几种情况，分别求输出y（n）。

（1）

解：

h（n）=R4（n）,x（n）=R5（n迥

（2）h（n）=2Rι（n）,x（n）=δι）-δN-2迥

（1）{1，2，3，4,4，3，2，1}

（2）{2，2，0，0，-2,-2}

⑤设系统的单位脉冲响应h（n）=u（n）,,求对于任意输入序列x（n）的输出y（n），并检验系统的因果性和稳定性

10.①考虑一个LTl,该系统的冲激响应为V沖-打Wr,确定a的取值范围，使得系统稳定。

解：

首先，系统是因果的

∑H=Σ∣4=1÷H÷W÷-

t=QJt=O

ΣI4=

⅛=0

l∕α-∣α∣）,∣6T∣<1

OCia≥1

因此，系统稳定的条件是∣a∣<1。

否则，系统是不稳定。

实际上，h（n）必须随n趋于无穷呈指数衰减到0，系统才是稳定的。

h（n）=^^Λ≥Q

②考虑冲激响应为κ"的线性时不变系统，若该系统稳定，则a和b的取值范围为多少？

解：

显然系统是非因果的，

XX-J

∑∣M=∑ι^r÷∑^r

令^=1∕∣⅛∣

卩<\

—0（1十/?

+十•…）二

心-Hfj=r-χ

所以，系统稳定的条件是∣a∣<1且∣b∣>1

1.①设x（n）=R√n）,求x（n）的傅里叶变换。

∞.N二1_e^

解：

X（j）='、•R√n）e4n=aejn=ej

nn=O1—e

e®/2（e3/2—ejW2）_七sin（讪/2）

ejE2（2_e亠⑹2）θSin（⑷/2）

所以/⑴=才严=4L!

>（字严

12.数字信号是指—时间幅度都离散的的信号。

判断：

数字信号处理的主要对象是数字信号，且是采用数值运算的方法达到处理目的的。

（对）

判断：

单位阶跃序列与矩形序列的关系是RN（n）=u（n-N）-u（n）。

（错）

======================第二章Z变换与DTFT=======================

2序列x（n）=：

δ（n-2）的傅里叶变换为e~l2,o

3设系统的单位脉冲响应h（n）=anu（n）,0

完成下面各题：

（1）求出系统输出序列y（n）；

（2）分别求出x（n）、h（n）和y（n）的傅里叶变换。

0

解：

（1）y（n）

（2）X（ejω）=

=h（n）x（n）=anu（n）[δ（n）δ（n「2）]=anu（n）2an'u（n「2）

2δ（n-2）]e-Lωn=12ej2ω

H（ejω）H

OO

、a

n-•

njωn

u（n）e

Oo

Ln丄ωn

八aej

n=O

1

-ae」ω

Y（ejω）H

H（ejω）

X（ejω）

12ej2ω

-ae~Lω

④1、已知X（ejω）

1

0,

|ωI：

：

:

ω0

ω0：

：

|ω|

求X（ejw）的傅里叶反变换x（n）

1

解:

x（n）

ω0

ejωndω

Sinω0n

πn

例、⅛x（n）=ff√n}.⅛x（∏）lUW⅛8为周期进行周期砥拓*得到周期序列-V（∏）.周期为％求DFS[i（∕l）]

2.

3.①

9i>⅛x{π）=R4（^）*将x（和）以中8为周期ISfi1周期延拓・得

到周期序列壬5）,周期为&求FT[x（n）]

fisizzι⅛flj.Sln-k

解：

已知X（t）=e

8

ω--k

4丿

sin（πΛ∕8）

得：

Y（ZflJ）—2Jsin（π⅛∕22

4&--Z

例4、令去G=COS（IrOn）J且弐为有理数，束FT"S）]%

解：

J（；7）=CoS（IVoM）=+e

iX_

FT[RF]=2探工δ（ω~ωQ一2附）

r=≡αc

X

/,FT[x（n）]=Jr工—2λt）+3（血+α⅜—2存）]

F≡-3D

4.

①x（n）=u（n）,求其Z变换。

5.

解:

I-Z-L

收敛域为：

OVlZl≤∞

这是无穷等比级数，公比是q

1-az^l

本例，极点为Z=a。

收敛域为∣z∣<∣a。

y（n）

n-1

-au（_n_1）的Z变换为1∕（1-az）

6.①已知X（Z）=（I-az~1）~1,|z|>a,求其逆Z变换x（n）。

（留数法）

黑㈤二亠

2珂J

尸⑵二宀严

ι-azI

解：

n≥0寸，F（Z）在C内只有1个极点：

Z仁a；n<0时，F（Z）在C内有2个极点：

z1=a,z2=0（高阶）；

•则虑0时，Zff

X（H）=Rcs[F（zξa]=（2—α）—

Z

④（考原题！

!

!

!

!

!

!

!

!

!

）已知X（Z）

2

Z

T

（4-Z）（Z）

4

4,求Z反变换。

•丹<0时*田线IAJ⅛l⅛阶极点T山于F（Z）的分母阶次比分了阶次岛二阶以由于国线外无极点，

IimX（Z）--1,即X（Z）的收敛域包含：

：

处,解：

z-

且x（n）是右边序列，故x（n）是因果序列。

所以当n<0时，x（n）=0。

只需考虑n≥0寸的情况。

F（Z）=X（Z）ZnJ=-

（4

Zn1

1

-Z）（Z-Z）

如图所示，取收敛域的一个围线

c,可知

当n≥0寸，C内有两个一阶极点

Z=1/4,z=4,

所以

1

4-Z）（Z

4

1

+Re$zn“/（4-z）（z-；）]1

4r

x（n）=ReSZnI/（

x（n）二

1.■n.n2'

1154-4,n-0

⑤已知X（Z）

（4-Z）（Z

■；：

■IZ：

：

:

4,求Z反变换。

解：

F（Z）=X（Z）ZnJ

1

（4-Z）（Z-4）

如图所示，取收敛域的一个围线c,

分两种情况讨论：

x（n）=ReSZn羊/（4

1

Z）（Z-4）]

（1）n≥—1时，C内只有一个一阶极点z=1∕4

=[zn1（z一；）/（4_Z）（Z一!

）]1

44z=4

（1/4）n1

4-1/4

1

或记作：

x（n）n1）

15

C内有极点：

z=1∕4（—阶）,Z=O（高阶）；

F（Z）的分母多项式比分子多项式的最高次数高

2阶以上,

x（n）

=-ReS[Zn1/（4-Z）（Z-I）]Z^

4n'1

4-1/4

丄∙4n2,n一1

15

而在C外仅有z=4（一阶）这个极点，且

（2）当n<-1时,

1上

或记作：

x（n）=一•4nu（_n_2）

因此x（n）

丄4亠,

15

15

4』4nd2

或记作：

x（n）u（n•1）u（-n-2）

1515

H（Z）,0

7.①已知•，分析其因果性和稳定性。

解H（Z）的极点为Z=a,Z=a—1°

（1）收敛域为a—1<|z|≤∞对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。

（2）收敛域为0≤Z∣

对应的系统是非因果且不稳定系统。

（3）收敛域为a<∣z∣

对应一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。

1

②时域离散线性时不变系统的系统函数为H（z）=,a,b为常数。

若要求系统稳定，则a的取值

（Z-a）（z-b）

域为|a|≠1_和b的取值域为Ibl≠1。

取值域为,o≤ai<1_和b的取值域为g≤bl<1

A.该系统无法通过选择适当的收敛域使该系统因果稳定

B.收敛域为∣z∣<0.5时，系统因果稳定

C.收敛域为0∙5<∣z∣<0.9时，系统因果稳定

D.收敛域为∣z∣>0.9时，系统因果稳定

响特性。

•••极点为z=b,零点为z=0

②已知H（Z）=1—Z，试定性画出系统的幅频特性。

极点:

H（Z）的极点为z=0,这是一个N阶极点，它不影响系统的幅频响应。

零点：

零点有N个，由分子多项式的根决定。

Jl=O

.2π

H（Z）

1

H（Z）

——1

1-

0.9z

画出幅度特性图；

高通、带通、

带阻）。

IIZX1

Z

I_I（—

H（Z）

1-0.9zZ-0.9

③已知某数字滤波器的系统函数为：

（1）画出零极点分布图

（2）利用几何确定法分析幅度特性,

（3）试判断滤波器的类型（低通、解:

（1）将系统函数写成下式：

系统的零点为z=0,极点为z=0.9,零点在Z平面的原点，零极点分布图为:

（2）不影响频率特性，而惟一的极点在实轴的0.9处，幅度特性图为:

幅频特性

（3）滤波器的通带中心在ω=0处，这是一个低通滤波器。

⅞1

ti（n）=D,U（W）=

k.∙H

8•下列关系正确的为（