苏教版七年级数学有理数修订篇.docx

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苏教版七年级数学有理数修订篇

苏教版七年级数学《有理数》

1.1正数和负数

负数：

以前学过的0以外的数前面加上负号“－”的数叫做负数。

正数：

以前学过的０以外的数叫做正数。

０既不是正数也不是负数，０是正数与负数的分界。

在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义

注：

-a不一定是负数，+a也不一定是正数；

1.2.1有理数：

凡能写成

形式的数，都是有理数。

（1）正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.

（2）有理数的分类:

①

②

注意：

1）0不是正数，也不是负数；

2）?

不是有理数；无限不循环小数不是有理数。

无限循环小数是有理数；

3）小数也归为分数。

4）自然数?

0和正整数；

5）a＞0?

a是正数；a＜0?

a是负数；

6）a≥0?

a是正数或0?

a是非负数；

7）a≤0?

a是负数或0?

a是非正数.

1.2.2数轴：

规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

数轴的作用：

所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。

注意事项：

⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。

⑵同一根数轴，单位长度不能改变。

一般地，设a是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

1.2.3．相反数：

只有符号不同的两个数叫做相反数。

注意：

（1）一般地，a和-a互为相反数，特别地，0的相反数还是0；

（2）a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；

（3）相反数的和为0?

a+b=0?

a、b互为相反数.

一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点左右，表示-a和a，我们说这两点关于原点对称

1.2.4.绝对值：

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

（1）一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

注：

绝对值的意义是数轴上表示某数的点到原点的距离。

（2）绝对值可表示为：

或

；

（3）绝对值的问题经常分类讨论；

；

；

（4）|a|是重要的非负数，即|a|≥0；注意：

|a|·|b|=|a·b|,

.

（5）有理数比大小：

①正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数和0。

②两个负数，绝对值大的反而小。

③正数的绝对值越大，这个数越大；

④大数-小数＞0，小数-大数＜0；

⑤在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，所以左边的数永远小于右边的数。

即数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大

补充：

倒数：

乘积为1的两个数互为倒数；

注

（1）0没有倒数；若a≠0，那么

的倒数是

；

（2）倒数是本身的数是±1；

（3）若ab=1?

a、b互为倒数；若ab=-1?

a、b互为负倒数.

1.3.1有理数加法法则：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）绝对值不相等的饿异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0。

（3）一个数与0相加，仍得这个数.

有理数加法的运算律：

（1）加法的交换律：

两个数相加，交换加数的位置，和不变。

a+b=b+a

（2）加法的结合律：

三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

（a+b）+c=a+（b+c）.

补充：

去括号法则：

（1）括号前是“＋”，把括号和括号前的“＋”去掉，括号里各项都不改变符号。

（2）括号前是“－”，把括号和括号前的“－”去掉，括号里各项都改变符号。

（3）括号外的因数是正数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。

1.3.2有理数减法法则：

（有理数的减法可以转化为加法来进行）

减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.

1.4.1有理数乘法法则：

（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；

（2）任何数同零相乘都得零；

（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。

（4）乘积是1的两个数互为倒数。

有理数乘法的运算律：

（1）乘法的交换律：

两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

ab＝ba

（2）乘法的结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

（ab）c＝a（bc）

（3）乘法的分配律：

一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。

a（b＋c）＝ab＋ac

1.4.2有理数除法法则：

除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

a÷b＝a·

（b≠0）

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0。

因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算。

乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

注：

零不能做除数，

.

1.5.1有理数乘方的法则：

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在an中，a叫做底数，叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂。

（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

（3）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；

注意：

当n为正奇数时:

（-a）n=-an或（a-b）n=-（b-a）n,当n为正偶数时:

（-a）n=an或（a-b）n=（b-a）n.

有理数混合运算的运算顺序：

⑴先乘方，再乘除，最后加减；

⑵同极运算，从左到右进行；

⑶如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行

（4）a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=0?

a=0,b=0；

（5）据规律

底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位.

1.5.2科学记数法：

把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.

注：

用科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是n－1。

1.5.3近似数和有效数字

接近实际数目，但与实际数目还有差别的数叫做近似数。

精确度：

一个近似数四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位。

从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。

对于用科学记数法表示的数a×10n，规定它的有效数字就是a中的有效数字。

补充：

（1）混合运算法则：

先乘方，后乘除，最后加减；

注意：

怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.

（2）特殊值法：

是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.

知识点1.负数代表相反意义的量

例：

（1）下列有正数和负数表示相反意义的量，其中正确的是（）

A.一天凌晨的气温是—50C，中午比凌晨上升100C，所以中午的气温是+100C

B.如果生产成本增加12%，记作+12%，那么—12%表示生产成本降低12%

C.如果+5.2米表示比海平面高5.2米，那么—6米表示比海平面低—6米

D.如果收入增加10元记作+10元，那么—8表示支出减少8元

（2）某粮店出售三种品牌的面粉，袋上分别标有质量为（50±0.1）kg、（50±0.2）kg、（50±0.3）kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差.

知识点2.有理数的定义

例：

把下列各数填在相应的大括号内

-7，3.5，

3.3333,0，

，+29,1.362109…,-1.15，-0.1010010001…

非负数集合{}；

整数集合{}；

负分数集合{}；

有理数集合{}。

知识点3.数轴与相反数

1.

（1）数轴上到-2点的距离是3的点是

（2）在数轴上表示数

的点到原点的距离为3，则

2.-3的相反数是，3-π的相反数是

3.a与b互为相反数，c与d互为倒数，a+b-cd=

4.比较大小

5.

（1）有理数a对应点在数轴上的位置如下图所示，则a，-a，1的大小关系是

。

（2）有理数a、b在数轴上的对应的位置如图所示：

则（）

A．a+b＜0B．a+b＞0;C．a－b=0D．a－b＞0

知识点4.绝对值

1.若∣a∣=-a，则a，若∣a∣=a，则a

若a为有理数，且

=1，则a0，若a∠0，则

=

2.∣3-π∣=

若用A、B、C分别表示有理数a，b，c，O为原点，如下图所示：

化简

=。

3.绝对值为2的数是，绝对值小于6的所有整数是

4.若∣x∣=3，∣-y∣=3，则x+y=

5.若∣a∣=3,∣b∣=5,且ab>0，则∣a+b∣=

若|X|=2，则X=______,若|X—3|=0，则X=______，|X—3|=6，则X=______

若∣a∣=∣b∣，则a与b，即。

6.∣a+2∣+∣b-3∣=0，a+b=

知识点5.加减运算

1.加减混合运算：

先去括号，再把同号的相加，最后异号两数相加

例：

38+（－22）+（+62）+（－78）（－8）+（－10）+2+（－1）

0.5+（－

）－（－2.75）+

（+4.3）－（－4）+（－2.3）－（+4）

知识点6：

有理数乘除运算法则

乘法运算法则

a：

只要有一个因数为0，则积为0。

b：

几个不为零的数相乘，积的符号由负数的个数决定，当负数的个数为奇数，则积为负，当负数的个数为偶数，则积为正。

例1、计算：

（1）

（2）

除法是乘法的逆运算

1、有理数乘法法则：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．

任何数与零相乘都得零。

2、有理数除法法则

（1）：

除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数；

0除以任何一个不等于0的数都等于0

有理数除法法则

（2）：

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

例3、

（1）（-1155）÷[（-11）×（+3）×（-5）];

（2）375÷

;

（3）

.（4）

;

知识点7：

有理数的乘方

1．有理数乘方运算法则：

当a＞0时，an＞0（n是正整数）；当a<0时，

；

当a=0时，an=0（n是正整数）

例题一计算：

（

-

）×52÷|-

|+（-

）0+（0.25）2003×42003

知识点8：

有理数混合运算

1.

2.

÷

4.有理数混合运算提高

题一

（1）若

，化简

（2）若

，化简

题二：

设

，且

，试化简