高考数学总复习系列.docx

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高考数学总复习系列高考数学总复习系列2011年高考数学总复习系列高中数学选修2-2第一章导数及其应用无论哪个省市的考题中可以看出，一定会重视对导数的考察，所以同学一定将导数学细学精！

基础知识【理解去记】1极限定义：

（1）若数列un满足，对任意给定的正数，总存在正数m，当nm且nN时，恒有|un-A|f（a）且f（c）=m，则c（a,b），且f（c）为最大值，故，综上得证。

二、基础例题【必会】1极限的求法。

例1求下列极限：

（1）；

（2）；（3）；（4）解

（1）=；

（2）当a1时，当0a1时，当a=1时，（3）因为而所以（4）例2求下列极限：

（1）（1+x）（1+x2）（1+）（1+）（|x|0且）。

解

（1）3cos（3x+1）.

（2）（3）（4）（5）5用导数讨论函数的单调性。

例6设a0，求函数f（x）=-ln（x+a）（x（0,+）的单调区间。

解，因为x0,a0，所以x2+（2a-4）x+a20；x2+（2a-4）x+a+1时，对所有x0，有x2+（2a-4）x+a20，即（x）0,f（x）在（0,+）上单调递增；

（2）当a=1时，对x1,有x2+（2a-4）x+a20，即，所以f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+）内递增，又f（x）在x=1处连续，因此f（x）在（0,+）内递增；（3）当0a0，解得x2-a+，因此，f（x）在（0,2-a-）内单调递增，在（2-a+,+）内也单调递增，而当2-a-x2-a+时，x2+（2a-4）x+a22x.证明设f（x）=sinx+tanx-2x，则=cosx+sec2x-2，当时，（因为0cosxf（0）=0，即sinx+tanx2x.7.利用导数讨论极值。

例8设f（x）=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2处都取得极值，试求a与b的值，并指出这时f（x）在x1与x2处是取得极大值还是极小值。

解因为f（x）在（0,+）上连续，可导，又f（x）在x1=1，x2=2处取得极值，所以，又+2bx+1，所以解得所以.所以当x（0,1）时，所以f（x）在（0,1上递减；当x（1,2）时，所以f（x）在1，2上递增；当x（2,+）时，所以f（x）在2，+）上递减。

综上可知f（x）在x1=1处取得极小值，在x2=2处取得极大值。

例9设x0,y0,1，试求函数f（x,y）=（2y-1）sinx+（1-y）sin（1-y）x的最小值。

解首先，当x0,y0,1时，f（x,y）=（2y-1）sinx+（1-y）sin（1-y）x=（1-y）2x=（1-y）2x，令g（x）=,当时，因为cosx0,tanxx，所以；当时，因为cosx0,tanx0，所以；又因为g（x）在（0,）上连续，所以g（x）在（0,）上单调递减。

又因为0（1-y）xxg（x），即，又因为，所以当x（0,）,y（0,1）时，f（x,y）0.其次，当x=0时，f（x,y）=0；当x=时，f（x,y）=（1-y）sin（1-y）0.当y=1时，f（x,y）=-sinx+sinx=0；当y=1时，f（x,y）=sinx0.综上，当且仅当x=0或y=0或x=且y=1时，f（x,y）取最小值0。

三、趋近高考【必懂】这些高考题取自2009-2010年各个热门省市，同学一定重视，在此基础上，我会对这些高考题作以删减，以便同学在最短时间内理解明白！

1.（2009全国卷理）已知直线y=x+1与曲线相切，则的值为（）A.1B.2C.-1D.-2答案B解:

设切点，则,又.故答案选B2.（2009安徽卷理）已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是（）A.B.C.D.答案A解析由得几何，即，切线方程，即选A3.（2009江西卷文）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于（）A或B或C或D或答案A解析设过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，所以选.4.（2009辽宁卷理）若满足2x+=5,满足2x+2（x1）=5,+（）A.B.3C.D.4答案C解析由题意所以,即2令2x172t,代入上式得72t2log2（2t2）22log2（t1）52t2log2（t1）与式比较得tx2于是2x172x25.（2009天津卷理）设函数则（）A在区间内均有零点。

B在区间内均无零点。

C在区间内有零点，在区间内无零点。

D在区间内无零点，在区间内有零点。

解析：

由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择D。

6.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是.解析由题意该函数的定义域，由。

因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。

解法（分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得7.（2009陕西卷理）设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为.答案-28（2010.全国1文）设，当时，恒成立，求实数的取值范围【解析】：

，由得，即或；由得即，所以函数单调增区间是，；函数的单调减区间是。

由恒成立，大于的最大值。

当时，

（1）当时，为增函数，所以；

（2）当时，为减函数，所以；（3）当时，为增函数，所以；因为，从而第二章推理与证明本章只需重视综合法、分析法、反证法的特点。

及数学归纳法的掌握！

一、基础知识【理解去记】综合法：

“执因导果”分析法“执果导因”反证法:

倒着推【不常考】归纳法：

由一些特殊事例推出一般结论的推理方法特点：

特殊一般.不完全归纳法:

根据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法完全归纳法:

把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法数学归纳法:

对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：

先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.数学归纳法的基本思想：

即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立.（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，命题都成立.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

证明：

当取第一个值结论正确；假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确由，可知，命题对于从开始的所有正整数都正确.数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：

递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.用数学归纳法证题时，两步缺一不可；证题时要注意两凑：

一凑归纳假设，二凑目标.二、基础例题【必会】用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明：

时，点评：

用数学归纳法证明，一是要切实理解原理，二是严格按步骤进行，格式要规范，从n=k到n=k+1时一定要用归纳假设，否则不合理。

用数学归纳法证明不等式例2.证明点评：

用数学归纳法证明不等式，推导n=k+1也成立时，证明不等式的常用方法，如比较法、分析法、综合法均要灵活运用，在证明的过程中，常常利用不等式的传递性对式子放缩建立关系。

同时在数学归纳法证明不等式里应特别注意从n=k到n=k+1过程中项数的变化量，容易出错。

用数学归纳法证明整除问题例3.用数学归纳法证明：

能被9整除。

点评：

用数学归纳法证明整除问题时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩下的式子也能被某式（或数）整除，拼凑式关键。

第三章数系的扩充与复数一、基础知识【理解去记】1复数的定义：

设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。

便产生形如a+bi（a,bR）的数，称为复数。

所有复数构成的集合称复数集。

通常用C来表示。

2复数的几种形式。

对任意复数z=a+bi（a,bR），a称实部记作Re（z）,b称虚部记作Im（z）.z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将（a,b）作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。

因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将（a,b）作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。

因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设xOZ=,|OZ|=r，则a=rcos,b=rsin,所以z=r（cos+isin），这种形式叫做三角形式。

若z=r（cos+isin），则称为z的辐角。

若02，则称为z的辐角主值，记作=Arg（z）.r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用ei表示cos+isin，则z=rei，称为复数的指数形式。

3共轭与模，若z=a+bi，（a,bR）,则a-bi称为z的共轭复数。

模与共轭的性质有：

（1）；

（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）|z1|-|z2|z1z2|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则。

4复数的运算法则：

（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；

（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1（cos1+isin1）,z2=r2（cos2+isin2），则z1z2=r1r2cos（1+2）+isin（1+2）；若cos（1-2）+isin（1-2），用指数形式记为z1z2=r1r2ei（1+2）,5.【部分省市考】棣莫弗定理：

r（cos+isin）n=rn（cosn+isinn）.6.开方：

若r（cos+isin），则，k=0,1,2,n-1。

7单位根：

若wn=1，则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z1=，则全部单位根可表示为1,.单位根的基本性质有（这里记，k=1,2,n-1）：

（1）对任意整数k，若k=nq+r,qZ,0rn-1，有Znq+r=Zr；

（2）对任意整数m，当n2时，有=特别1+Z1+Z2+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-2+x+1=（x-Z1）（x-Z2）（x-Zn-1）=（x-Z1）（x-）（x-）.8.复数相等的充要条件：

（1）两个复数实部和虚部分别对应相等；

（2）两个复数的模和辐角主值分别相等9复数z是实数的充要条件是z=;z是纯虚数的充要条件是：

z+=0（且z0）.10.代数基本定理：

在复数范围内，一元n次方程至少有一个根。

11实系数方程虚根成对定理：

实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi（b0）是方程的一个根，则=a-bi也是一个根。

12若a,b,cR,a0，则关于x的方程ax2+bx+c=0，当=b2-4ac0时方程的根为二、基础例题【必会】1模的应用。

例1求证：

当nN+时，方程（z+1）2n+（z-1）2n=0只有纯虚根。

证明若z是方程的根，则（z+1）2n=-（z-1）2n，所以|（z+1）2n|=|-（z-1）2n|,即|z+1|2=|z-1|2,即（z+1）（+1）=（z-1）（-1），化简得z+=0，又z=0不是方程的根，所以z是纯虚数。

例2设f（z）=z2+az+b,a,b为复数，对一切|z|=1，有|f（z）|=1，求a,b的值。

解因为4=（1+a+b）+（1-a+b