高中数学必修248.docx

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高中数学必修248

§1　算法的基本思想

学习目标　1.通过几个具体问题的求解过程，体会算法的基本思想（重点）.2.了解算法的含义和特征（重点）.3.会用自然语言描述简单的具体问题的算法（重、难点）.

预习教材P75－83完成下列问题：

知识点1　算法的含义及特征

1.算法的概念

在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作的或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些步骤称为解决这些问题的算法.

2.算法的特征

（1）有限性：

一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限的操作之后停止，不能是无限的.

（2）确定性：

算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当模棱两可.

（3）顺序性与正确性：

算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后续步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.

（4）不唯一性：

求解某一问题的解法不一定是唯一的，对于同一个问题可以有不同的算法.

（5）普遍性：

很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.

3.算法与计算机

计算机解决任何问题都要依赖于算法.只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题.

【预习评价

　下列关于算法的说法（正确的打√，错误的打×）

（1）求解某一类问题的算法是唯一的（　　）

（2）算法必须在有限步操作之后停止（　　）

（3）算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊（　　）

（4）算法执行后一定产生确定的结果（　　）

提示　由于算法具有有限性、确定性等特点，因而

（2）（3）（4）正确，而解决某类问题的算法不一定唯一，从而

（1）错.

答案　

（1）×　

（2）√　（3）√　（4）√

知识点2　算法的设计

1.设计算法的目的

设计算法的目的实际上是寻求一类问题的算法，它可以通过计算机来完成.设计算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤，然后用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，从而达到让计算机执行的目的.

2.设计算法的要求

（1）写出的算法必须能解决一类问题.

（2）要使算法尽量简单、步骤尽量少.

（3）要保证算法步骤有效，且计算机能够执行.

【预习评价】

写出一个算法，求任意给出的a，b，c，d这4个数的平均数.

提示　第一步，输入a，b，c，d这4个数的值.

第二步，计算S＝a＋b＋c＋d.

第三步，计算V＝

.

第四步，输出V的值.

题型一　算法的概念

【例1】　　下列说法中是算法的有________（填序号）.

①从上海到拉萨旅游，先坐飞机，再坐客车；

②解一元一次不等式的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1；

③求以A（1，1），B（－1，－2）两点为端点的线段AB的中垂线方程，可先求出AB中点坐标，再求kAB及中垂线的斜率，最后用点斜式方程求得线段AB的中垂线方程；

④求1×2×3×4的值，先计算1×2＝2，再计算2×3＝6，6×4＝24，得最终结果为24；

⑤

x＞2x＋4.

解析　①说明了从上海到拉萨的行程安排.

②给出了解一元一次不等式这类问题的解法.

③给出了求线段的中垂线的方法及步骤.

④给出了求1×2×3×4的值的过程并得出结果.

故①②③④都是算法.

答案　①②③④

规律方法　算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或某一类问题，在用算法解决问题时，体现了特殊与一般的数学思想.

【训练1】　算法的有穷性是指（　　）

A.算法必须包含输出

B.算法中的每个步骤都是可执行的

C.算法的步骤必须有限且在执行有限步操作后结束

D.以上说法都不正确

解析　算法的有穷性是指算法应包括有限的操作步骤，并在有限步内结束.不能步骤无穷，执行时也不能不结束执行步骤.故选C.

答案　C

题型二　算法的设计

【例2】　所谓正整数p为素数是指：

p的所有约数只有1和p.例如，35不是素数，因为35的约数除了1和35外，还有5与7；29是素数，因为29的约数就只有1和29.试设计一个能够判断一个任意正整数n（n＞1）是否为素数的算法.

解　算法如下：

第一步，给出任意一个正整数n（n＞1）.

第二步，若n＝2，则输出“2是素数”，判断结束.

第三步，令m＝1.

第四步，将m的值增加1，仍用m表示.

第五步，如果m≥n，则输出“n是素数”，判断结束.

第六步，判断m能否整除n，

①如果能整除，则输出“n不是素数”，判断结束；

②如果不能整除，则转第四步.

规律方法　设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：

（1）认真分析问题，找出解决该问题的一般数学方法；

（2）借助有关变量或参数对算法加以表述；

（3）将解决问题的过程划分为若干步骤；

（4）用简练的语言将这个步骤表示出来.

【训练2】　判断一个大于2的整数是否为质数的算法步骤如何设计？

解　第一步，给定大于2的整数n.

第二步，令i＝2.

第三步，用i除n，得到余数r.

第四步，判断“r＝0”是否成立.若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示.

第五步，判断“i>n－1”是否成立.若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第三步.

【探究1】　一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元，你能用天平（无砝码）将假银元找出来吗？

解　方法一　算法如下.

第一步，任取2枚银元分别放在天平的两边，若天平左、右不平衡，则轻的一枚就是假银元，若天平平衡，则进行第二步.

第二步，取下右边的银元放在一边，然后把剩下的7枚银元依次放在右边进行称量，直到天平不平衡，偏轻的那一枚就是假银元.

方法二　算法如下.

第一步，把9枚银元平均分成3组，每组3枚.

第二步，先将其中两组放在天平的两边，若天平不平衡，则假银元就在轻的那一组；否则假银元在未称量的那一组.

第三步，取出含假银元的那一组，从中任取2枚银元放在天平左、右两边称量，若天平不平衡，则假银元在轻的那一边；若天平平衡，则未称量的那一枚是假银元.

【探究2】　在银行的自动柜员机上取款，要经过插卡、输入密码、操作、取钱、拔卡一系列的过程，请设计一个算法完成这件事.

解　第一步，将银行卡插入自动柜员机.

第二步，输入银行卡的密码.

第三步，选择“取款”，并输入所取钱数.

第四步，从出款口取钱.

第五步，取出银行卡.

【探究3】　“韩信点兵”问题：

韩信是汉高祖手下的大将，他英勇善战，谋略超群，为汉朝的建立立下了不朽功勋.据说他在一次点兵的时候，为保住军事秘密，不让敌人知道自己部队的军事实力，采用下述点兵方法：

①先令士兵从1～3报数，结果最后一个士兵报2；②又令士兵从1～5报数，结果最后一个士兵报3；③又令士兵从1～7报数，结果最后一个士兵报4.这样韩信很快算出自己部队里士兵的总数.请设计一个算法，求出士兵至少有多少人.

解　第一步，首先确定最小的满足除以3余2的正整数：

2；

第二步，依次加3就得到所有除以3余2的正整数：

2，5，8，11，14，17，20，…

第三步，在上列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：

8.

第四步，然后在自然数内，在8的基础上依次加上15的倍数，得到8，23，38，53，….

第五步，在上列数中确定最小的满足除以7余4的正整数应为53.

规律方法　对于查找、变量代换、文字处理等非数值型计算问题，设计算法时，首先建立过程模型，然后根据过程设计步骤，完成算法.

课堂达标

1.下列四种自然语言叙述中，能称为算法的是（　　）

A.在家里一般是妈妈做饭

B.做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤

C.在野外做饭叫野炊

D.做饭必须要有米

解析　算法是做一件事情或解决一个问题的程序或步骤，故选B.

答案　B

2.在用二分法求方程零点的算法中，下列说法正确的是（　　）

A.这个算法可以求所有的零点

B.这个算法可以求任何方程的零点

C.这个算法能求所有零点的近似解

D.这个算法可以求变号零点近似解

解析　二分法的理论依据是函数的零点存在定理.它解决的是求变号零点的问题，并不能求所有零点的近似值.

答案　D

3.已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：

①计算c＝

；

②输入直角三角形两直角边长a，b的值；

③输出斜边长c的值.

其中正确的顺序是________.

解析　算法的步骤是有先后顺序的，第一步是输入，最后一步是输出，中间的步骤是赋值、计算.

答案　②①③

4.下面是解决一个问题的算法：

第一步：

输入x.

第二步：

若x≥4，转到第三步；否则转到第四步.

第三步：

输出2x－1.

第四步：

输出x2－2x＋3.

当输入x的值为________时，输出的数值最小值为________.

解析　所给算法解决的问题是求分段函数f（x）＝

的函数值问题，当x≥4时，f（x）＝2x－1≥2×4－1＝7；

当x＜4时，f（x）＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2≥2，所以f（x）min＝2，此时x＝1.即输入x的值为1时，输出的数值最小，最小值为2.

答案　1　2

5.写出解方程x2－2x－3＝0的两种以上的算法.

解　方法一　第一步：

将方程左边因式分解，得（x－3）（x＋1）＝0；①

第二步：

由①得x－3＝0，②

或x＋1＝0；③

第三步：

解②得x＝3，解③得x＝－1.

方法二　第一步：

移项，得x2－2x＝3；①

第二步：

①两边同加1并配方，得（x－1）2＝4；②

第三步：

②式两边开方，得x－1＝±2；③

第四步：

解③得x＝3或x＝－1.

方法三　第一步：

计算方程的判别式判断其符号

Δ＝22＋4×3＝16＞0；

第二步：

将a＝1，b＝－2，c＝－3，代入求根公式

x＝

，得x1＝3，x2＝－1.

课堂小结

1.算法的特点：

有限性、确定性、顺序性与正确性、不唯一性、普遍性.

2.算法设计的要求：

（1）写出的算法必须能够解决一类问题，并且能够重复使用.

（2）要使算法尽量简单，步骤尽量少.

（3）要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，在有限步后能得到结果.

基础过关

1.下列可以看成算法的是（　　）

A.学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题

B.今天餐厅的饭真好吃

C.这道数学题难做

D.方程2x2－x＋1＝0无实数根

解析　A是学习数学的一个步骤，所以是算法.

答案　A

2.我们已学过的算法有求解一元二次方程的求根公式，加减消元法求二元一次方程组的解，二分法求函数的零点等，对算法的描述有：

①对一类问题都有效；

②算法可执行的步骤必须是有限的；

③算法可以一步一步地进行，每一步都有确切的含义；

④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果.

以上算法的描述正确的有（　　）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

解析　由算法的概念可知①②③④都正确，因而选D.

答案　D

3.下列各式中T的值不能用算法求解的是（　　）

A.T＝12＋22＋32＋42＋…＋1002

B.T＝

＋

＋

＋

＋…＋

C.T＝1＋2＋3＋4＋5＋…

D.T＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100

解析　根据算法的有限性知C不能用算法求解.

答案　C

4.如图所示，汉诺塔问题是指有3根杆子A，B，C，杆子上有若干碟子，把所有的碟子从B杆移动到A杆上，每次只能移动一个碟子，大的碟子不能叠在小的碟子上面.把B杆上的3个碟子全部移动到A杆上，最少需要移动的次数是________.

解析　直接进行分析，将最小的碟子命名为①，中间的碟子命名为②，最大的碟子命名为③，进行如下移动：

①→A，②→C，①→C，③→A，①→B，②→A，①→A，此时按要求全部放好，移动7次.

答案　7

5.给出下列算法：

第一步，输入x的值.

第二步，当x＞4时，计算y＝x＋2；否则执行下一步.

第三步，计算y＝

.

第四步，输出y.

当输入x＝0时，输出y＝________.

解析　0＜4，执行第三步，y＝

＝2.

答案　2

6.写出求1×2×3×4×5×6的一个算法.

解　第一步，计算1×2，得到2.

第二步，将第一步的运算结果2乘3，得到6.

第三步，将第二步的运算结果6乘4，得到24.

第四步，将第三步的运算结果24乘5，得到120.

第五步，将第四步的运算结果120乘6，得到720.

第六步，输出运算结果.

7.鸡兔同笼问题：

鸡和兔各若干只，数腿共100条，数头共30只，试设计一个算法，求出鸡和兔各有多少只.

解　第一步，设有x只鸡，y只兔，列方程组

第二步，②÷2＋①×（－1），得y＝20.

第三步，把y＝20代入x＝30－y，得x＝10.

第四步，得到方程组的解

第五步，输出结果，鸡10只，兔20只.

能力提升

8.一个算法步骤如下：

第一步，S取值0，i取值1.

第二步，若i≤9，则执行第三步；否则，执行第六步.

第三步，计算S＋i并结果代替S.

第四步，用i＋2的值代替i.

第五步，转去执行第二步.

第六步，输出S.

运行以上算法，则输出的结果S等于（　　）

A.16B.25

C.36D.以上均不对

解析　解本题关键是读懂算法，本题中的算法功能是求S＝1＋3＋5＋7＋9＝25.

答案　B

9.对于算法：

第一步，输入n.

第二步，判断n是否等于2，若n＝2，则n满足条件；若n＞2，则执行第三步.

第三步，依次从2到（n－1）检验能不能被n整除，若不能被n整除，则执行第四步；若能整除n，则结束算法.

第四步，输出n.

满足条件的n是（　　）

A.质数B.奇数

C.偶数D.约数

解析　此题首先要理解质数，只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数.2是最小的质数，这个算法通过对2到（n－1）一一验证，看是否有其他约数，来判断其是否为质数.

答案　A

10.下面给出了解决问题的算法：

第一步：

输入x.

第二步：

若x≤1，则y＝2x－1，否则y＝x2＋3.

第三步：

输出y.

（1）这个算法解决的问题是________；

（2）当输入的x值为________时，输入值与输出值相等.

答案　

（1）求分段函数y＝

的函数值　

（2）1

11.请说出下面算法要解决的问题________.

第一步，输入三个数，并分别用a、b、c表示；

第二步，比较a与b的大小，如果a

第三步，比较a与c的大小，如果a

第四步，比较b与c的大小，如果b

第五步，输出a、b、c.

解析　第一步是给a、b、c赋值.

第二步运行后a>b.

第三步运行后a>c.

第四步运行后b>c，∴a>b>c.

第五步运行后，显示a、b、c的值，且从大到小排列.

答案　输入三个数a，b，c，并按从大到小顺序输出

12.一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，该船最多可容纳一个人和两只动物.没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃羚羊.此人如何才能将动物平安转移过河？

请设计一个算法.

解　具体算法步骤如下：

1.人带两只狼过河，并自己返回.

2.人带一只狼过河，并自己返回.

3.人带两只羚羊过河，并带两只狼返回.

4.人带一只羚羊过河，并自己返回.

5.人带两只狼过河.

13.（选做题）用二分法设计一个求方程x2－2＝0的近似正根的算法，精度为0.05.

解　1.因为f

（1）＝－1，f

（2）＝2，f

（1）·f

（2）＜0，则区间[1，2]为有解区间，精度2－1＝1＞0.05；

2.取[1，2]的中点1.5；

3.计算f（1.5）＝0.25；

4.由于f

（1）·f（1.5）＜0，可得新的有解区间[1，1.5]，精度1.5－1＝0.5＞0.05；

5.取[1，1.5]的中点1.25；

6.计算f（1.25）＝－0.4375；

7.由于f（1.25）·f（1.5）＜0，可得新的有解区间[1.25，1.5]，精度1.5－1.25＝0.25＞0.05；

…当得到新的有解区间[1.40625，1.4375]时，由于|1.4375－1.40625|＝0.03125＜0.05，该区间精度已满足要求，所以取区间[1.40625，1.4375]的任一数值，都可以作为方程的一个近似值.