高三一轮复习万有引力定律及其应用.docx

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高三一轮复习万有引力定律及其应用

高三一轮复习-万有引力定律及其应用

第五章　万有引力定律

第一单元　万有引力定律及其应用

基础知识

一.开普勒运动定律

（1）开普勒第一定律：

所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上．

（2）开普勒第二定律：

对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等．

（3）开普勒第三定律：

所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等．

二.万有引力定律

（1）内容：

宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比．

（2）公式：

F＝G,其中，称为为有引力恒量。

（3）适用条件：

严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体,r是两球心间的距离．

注意：

万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量G的物理意义是：

G在数值上等于质量均为1千克的两个质点相距1米时相互作用的万有引力．

三、万有引力和重力

重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大．通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即m2g＝G,g=GM/r2常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g随物体离地面高度的增大而减小，即gh=GM/（r+h）2，比较得gh=（）2·g

在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和m2g刚好在一条直线上，则有

F＝F向＋m2g，

所以m2g=F一F向＝G－m2Rω自2

因地球目转角速度很小G»m2Rω自2,所以m2g=G

假设地球自转加快，即ω自变大，由m2g＝G－m2Rω自2知物体的重力将变小，当G=m2Rω自2时，m2g=0，此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度ω自＝，比现在地球自转角速度要大得多.

四.天体表面重力加速度问题

设天体表面重力加速度为g,天体半径为R，由mg=得g=,由此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为

五．天体质量和密度的计算

原理：

天体对它的卫星（或行星）的引力就是卫星绕天体做匀速圆周运动的向心力．

G=mr，由此可得：

M=；ρ

，

则

所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力

说明　

（1）有部分同学认为，如果先设法求出挖去球穴后的重心位置，然后把剩余部分的质量集中于这个重心上，应用万有引力公式求解．这是不正确的．万有引力存在于宇宙间任何两个物体之间，但计算万有引力的简单公式却只能适用于两个质点或均匀球体，挖去球穴后的剩余部分已不再是均匀球了，不能直接使用这个公式计算引力．

（2）如果题中的球穴挖在大球的正中央，根据同样道理可得剩余部分对球外质点m的引力

上式表明，一个均质球壳对球外质点的引力跟把球壳的质量（7M/8）集中于球心时对质点的引力一样．

【例2】某物体在地面上受到的重力为160N，将它放置在卫星中，在卫星以加速度a＝½g随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为90N时，求此时卫星距地球表面有多远？

（地球半径R＝6.4×103km,g取10m/s2）

解析：

设此时火箭上升到离地球表面的高度为h，火箭上物体受到的支持力为N,物体受到的重力为mg/，据牛顿第二定律．N－mg/=ma……①

在h高处mg/＝……②在地球表面处mg=……③

把②③代入①得∴=1.92×104km.

说明:

在本问题中，牢记基本思路,一是万有引力提供向心力，二是重力约等于万有引力．

【例3】有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。

已知该单摆在海平面处的周期是T0。

当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T。

求该气球此时离海平面的高度h。

把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体。

解析：

根据单摆周期公式：

其中l是单摆长度，g0和g分别是两地点的重力加速度。

根据万有引力公式得其中G是引力常数，M是地球质量。

由以上各式解得

【例4】登月火箭关闭发动机在离月球表面112km的空中沿圆形轨道运动，周期是120.5min,月球的半径是1740km,根据这组数据计算月球的质量和平均密度．

解析：

设月球半径为R，月球质量为M，月球密度为ρ，登月火箭轨道离月球表面为h，运动周期为T，火箭质量为m，由GMm/r2=m4π2r/T2得M=4π2r3/（GT2），ρ=M/V，其中V=4π2R3/3，则F向=mω2r=m4π2（R+h）/T2，F引=GMm/（R+h）2，火箭沿轨道运行时有F引=F向，即GMm/（R+h）2=m4π2（R+h）/T2

故M=4π2（R+h）3/（GT2）2=7.2×1022kg,ρ=3M/4πR3=3.26×103kg/m3

【例5】已知火星上大气压是地球的1/200．火星直径约为球直径的一半，地球平均密度ρ地=5.5×103kg/m3，火星平均密度ρ火=4×103kg/m3．试求火星上大气质量与地球大气质量之比．

分析　包围天体的大气被吸向天体的力．就是作用在整个天体表面（把它看成平面时）的大气压力．利用万有引力算出火星上和地球上的重力加速度之比，即可算出它们的大气质量之比．

解　设火星和地球上的大气质量、重力加速度分别为m火、g火、m地、g地，火星和地球上的大气压分别为据万有引力公式，火星和地球上的重力加速度分别为

综合上述三式得

【例6】一个宇航员在半径为R的星球上以初速度v0竖直上抛一物体，经ts后物体落回宇航员手中．为了使沿星球表面抛出的物体不再落回星球表面，抛出时的速度至少为多少？

解析：

物体抛出后，受恒定的星球引力作用，做匀减速运动，遵循着在地面上竖直上抛时的同样规律．设星球对物体产生的“重力加速度”为gx，则由竖直上抛运动的公式得为使物体抛出后不再落回星球表面，应使它所受到的星球引力正好等于物体所需的向心力，即成为卫星发射了出去。

，这个速度即是这个星球上发射卫星的第一宇宙速度。

【例7】在“勇气”号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。

假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计大气阻力。

已知火星的一个卫星的圆轨道半径为r，周期为T。

火星可视为半径为r0的均匀球体。

分析：

第一次落到火星表面弹起在竖直方向相当于竖直上抛，在最高点由于只有水平速度故将做平抛运动，第二次落到火星表面时速度应按平抛处理。

无论是竖直上抛还是平抛的计算，均要知道火星表面的重力加速度g/。

利用火星的一个卫星的相关数据可以求出g/。

解：

设火星的一个卫星质量为m，任一物体的质量为m/，在火星表面的重力加速度为g/，火星的质量为M。

任一物体在火星表面有:

……①火星的卫星应满足：

……②

第一次落到火星表面弹起在竖直方向满足：

v12＝2g/h……③

第二次落到火星表面时速度应按平抛处理：

……④

由以上4式可解得

2、讨论天体运动规律的基本思路

基本方法：

把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。

【例8】2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经980的经线在同一平面内．若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似为东经980和北纬α＝400，已知地球半径R、地球自转周期T,地球表面重力加速度g（视为常数）和光速c，试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）．

解析：

设m为卫星质量，M为地球质量，r为卫星到地球中心的距离，ω为卫星绕地心转动的角速度．由万有引力定律和牛顿定律有，式中G为万有引力恒量，因同步卫星绕地心转动的角速度ω与地球自转的角速度相等，有ω=2π/T；因，得GM=gR2．

设嘉峪关到同步卫星的距离为L，如图所示，由余弦定律得：

所求的时间为t＝L/c．

由以上各式得

【例9】在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。

它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。

如果双星间距为L，质量分别为M1和M2，试计算：

（1）双星的轨道半径；

（2）双星的运行周期；（3）双星的线速度。

解析：

因为双星受到同样大小的万有引力作用，且保持距离不变，绕同一圆心做匀速圆周运动，所以具有周期、频率和角速度均相同；而轨道半径、线速度不同的特点。

（1）根据万有引力定律

可得：

（2）同理，还有

所以，周期为

（3）根据线速度公式，

【例10】兴趣小组成员共同协作，完成了下面的两个实验：

①当飞船停留在距X星球一定高度的P点时，正对着X星球发射一个激光脉冲，经时间t1后收到反射回来的信号，此时观察X星球的视角为θ，如图所示．②当飞船在X星球表面着陆后，把一个弹射器固定在星球表面上，竖直向上弹射一个小球，经测定小球从弹射到落回的时间为t2.

已知用上述弹射器在地球上做同样实验时，小球在空中运动的时间为t，又已知地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，光速为c，地球和X星球的自转以及它们对物体的大气阻力均可不计，试根据以上信息，求：

（1）X星球的半径R；

（2）X星球的质量M；（3）X星球的第一宇宙速度v；

（4）在X星球发射的卫星的最小周期T.

解析：

（1）由题设中图示可知：

（R＋½ct1）sinθ＝R，∴R=

（2）在X星球上以v0竖直上抛t2＝，在地球上以v0竖直上抛：

t＝，，又由，

（3）mg'＝

（4）当v达第一宇宙速度时，有最小周期T.

【例11】天体运动的演变猜想。

在研究宇宙发展演变的理论中，有一种说法叫做“宇宙膨胀说”，认为引力常量在慢慢减小。

根据这种理论，试分析现在太阳系中地球的公转轨道平径、周期、速率与很久很久以前相比变化的情况。

【解析】地球在半径为R的圆形轨道上以速率v运动的过程中，引力常数G减小了一个微小量，万有

引力公式。

由于太阳质量M,地球质量m,r均未改变，万有引力F引必然随之减小，并小于公转轨道上该点所需的向心力（速度不能突变）。

由于惯性，地球将做离心运动，即向外偏离太阳，半径r增大。

地球在远离太阳的过程中，在太阳引力的作用下引起速率v减小，运转周期增大。

由此可以判断，在很久很久以前，太阳系中地球的公转轨道半径比现在小，周期比现在小，速率比现在大。

由引力常量G在慢慢减小的前提可以分析出太阳系中地球的公转轨道半径在慢慢变大，表明宇宙在不断地膨胀。

试题展示

1．已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天.利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为

A.0.2B.2C.20D.200

答案：

B

解析：

设太阳质量M，地球质量m，月球质量m0，日地间距离为R，月地间距离为r，日月之间距离近似等于R，地球绕太阳的周期为T约为360天，月球绕地球的周期为t=27天。

对地球绕着太阳转动，由万有引力定律：

G=m，同理对月球绕着地球转动：

G=m0，则太阳质量与地球质量之比为M:

m=；太阳对月球的万有引力F=G，地球对月球的万有引力f=G，故F:

f=，带入太阳与地球质量比，计算出比值约为2，B对。

2．1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600km的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展。

假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行。

已知地球半径为6.4×106m，利用地球同步卫星与地球表