10．两圆的性质：
（1）两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．
（2）相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．
11．圆中有关计算：
圆的面积公式：
，周长C＝2πR．
圆心角为n°、半径为R的弧长．
圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积．
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2π，全面积为．
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为π，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．
【经典例题精讲】
例1如图23-2，已知为⊙O直径，C为上一点，⊥于D，∠的平分线交⊙O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变？
分析：
要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律．
解：
连结，
P点为中点．
小结：
此题运用垂径定理进行推断．
例2下列命题正确的是（）
A．相等的圆周角对的弧相等
B．等弧所对的弦相等
C．三点确定一个圆
D．平分弦的直径垂直于弦．
解：
A．在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确．
B．等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确．
C．三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆．
D．平分弦（不是直径）的直径垂直于此弦．
故选B．
例3四边形内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D．
分析：
圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等．
解：
设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x．
x＋2x＋3x＋2x＝360°，
x＝45°．
∴∠D＝90°．
小结：
此题可变形为：
四边形外切于⊙O，周长为20，且︰︰＝1︰2︰3，求的长．
例4为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：
将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径．若测得＝5，则铁环的半径是．
分析：
测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过P点作直线⊥，再用三角板画一个顶点为A、一边为、大小为60°的角，这个角的另一边与的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解．
解：
．
小结：
应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型．
例5已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦＝16，求两圆的圆心距．
解：
分两种情况讨论：
（1）若位于的两侧（如图23-8），设与交于C，连结，则垂直平分，∴．
又∵＝16
∴＝8．
在中，．
在中，．
故．
（2）若位于的同侧（如图23-9），设的延长线与交于C，连结．
∵垂直平分，
∴．
又∵＝16，
∴＝8．
在中，．
在中，．
故．
注意：
在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题．
三、相关定理：
1.相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）
说明：
几何语言：
若弦、交于点P，则··（相交弦定理）
例1．已知P为⊙O内一点，，⊙O半径为，过P任作一弦，设，，则关于的函数关系式为 。
解：
由相交弦定理得，即，其中
2.切割线定理
推论：
如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
说明：
几何语言：
若是直径，垂直于点P，则^2·
例2．已知切⊙O于T，为割线，交于D，为直径，若4，3，求长。
解：
设，，由相交弦定理得：
即 ，（舍）
由切割线定理， 由勾股定理，
∴ ∴
∴
四、辅助线总结
1.圆中常见的辅助线
1）．作半径，利用同圆或等圆的半径相等．
2）．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明．
3）．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算．
4）．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角．
5）．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角．
6）．遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角．
7）．遇到切线，作过切点的半径，构造直角．
8）．欲证直线为圆的切线时，分两种情况：
（1）若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；
（2）不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径．
9）．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点．
10）．遇到三角形的内心，常作：
（1）内心到三边的垂线；
（2）连结内心和三角形的顶点．
11）．遇相交两圆，常作：
（1）公共弦；
（2）连心线．
12）．遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线．
13）．求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边．
2、圆中较特殊的辅助线
1）．过圆外一点或圆上一点作圆的切线．
2）．将割线、相交弦补充完整．
3）．作辅助圆．
例1如图23-10，是⊙O的直径，弦⊥，垂足为E，如果＝10，＝8，那么的长为（）
A．2B．3
C．4D．5
分析：
连结，由是⊙O的直径，弦⊥知＝．设＝x，则在△中，，即，则，（舍去）．
答案：
A．
例2如图23-11，为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如果∠＝55°，那么∠等于（）
A．35°B．90°
C．110°D．120°
分析：
由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道∠＝2∠＝2×55°＝110°．答案：
C．
例3如果圆柱的底面半径为4，母线长为5，那么侧面积等于（）
A．B．C．D．
分析：
圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长；另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即．答案：
B．
例4如图23-12，在半径为4的⊙O中，、是两条直径，M为的中点，延长交⊙O于E，且>，连结、，．
求：
的长．
简析：
（1）由是⊙O的直径，知⊥，于是．设＝x，则·＝x（7－x），即．所以．而>，即＝4．
例5如图23-13，是⊙O的直径，切⊙O于点B，交⊙O于点C，分别交、于E、D，交⊙O于F、G，且、恰好是关于x的方程（其中m为实数）的两根．
（1）求证：
＝；
（2）若，求∠A的度数．
简析：
（1）由、是关于x的方程的两根，得，则m＝－2．所以，原方程为．得．故＝．
（2）由相交弦定理，得，即．而切⊙O于点B，为⊙O的直径，得∠＝∠＝90°．又易证∠＝∠，所以△∽△，△∽△，则，，所以，所以．在△中，，故∠A＝60°．
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