新人教版八年级数学上册全等三角形的判定HL学案.docx

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新人教版八年级数学上册全等三角形的判定HL学案

新人教版八年级数学上册全等三角形的判定（HL）学案

一、学习目标

掌握直角三角形全等的判定方法：

“斜边、直角边”；

经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；

在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理地思考并进行简单的推理．

二、知识回顾

1．判定两个三角形全等的方法有SSS、SAS、ASA、AAS．

2．如图，Rt△ABC中，直角边是BC、AC，斜边是AB．

3．如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF全等，根据ASA．

三、新知讲解

1．斜边、直角边定理（HL）

文字描述：

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．

符号语言：

在Rt△ABC与Rt△DEF中，

∠ABC=∠DEF=90°，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．

图示：

2．探究三角形全等的思路

（1）已知两边

（2）已知一边一角

（3）已知两角

四、典例探究

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1．利用HL证全等

【例1】（2013秋•合浦县期末）如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：

Rt△ABF≌Rt△DCE．

总结：

1．判定直角三角形全等共有五种方法：

“SSS”“ASA”“AAS”和“HL”；一般先考虑利用“HL”定理，再考虑利用一般三角形全等的判定方法；

2．“HL”定理是直角三角形所特有的判定方法，对于一般的三角形不成立；

3．判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已有“两个直角相等”的条件，只需再找两个条件，但所找条件中必须有一组边对应相等．

练1．（202X秋•东莞市校级期中）如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　　）

A．AC=A′C′，BC=B′C′B．∠A=∠A′，AB=A′B′

C．AC=A′C′，AB=A′B′D．∠B=∠B′，BC=B′C′

练2．（202X秋•曹县期末）如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是　　．

2．利用HL证全等，再证边角相等

【例2】如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD．求证：

CB=CD．

总结：

证明角或线段相等可以从证明角或线段所在的三角形全等入手.在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对顶角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等关系．

练3．（2010春•常州期末）如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC=7，AD=EB，DE=EC，则AB=　　．

练4．已知如图，∠A=90°，∠D=90°，且AE=DE，求证：

∠ACB=∠DBC．

3．利用HL解决实际问题

【例3】（2008春•招远市期末）如图，A、B、C、D是四个村庄，B、D、C三村在一条东西走向公路的沿线上，且D村到B村、C村的距离相等；村庄A与C，A与D间也有公路相连，且公路AD是南北走向；只有村庄A、B之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AC=3千米，AE=1.2千米，BF=0.7千米．试求建造的斜拉桥至少有多少千米.

总结：

对于实际问题，要善于转化为数学问题，充分运用题目条件、图形条件，寻找三角形全等的条件，从而证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质求对应边长或对应角的大小．

练5．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的距离间的关系是（　　）

A．BD＞CDB．BD＜CDC．BD=CDD．不能确定

五、课后小测

一、选择题

1．（202X秋•隆化县校级期中）下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（　　）

A．两条直角边对应相等

B．两个锐角对应相等

C．一条直角边和它所对的锐角对应相等

D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等

2．（202X春•揭西县校级月考）如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（　　）

A．HLB．AASC．SSSD．ASA

3．（2013秋•镇江校级期中）已知：

如图所示，△ABC与△ABD中，∠C=∠D=90°，要使△ABC≌△ABD（HL）成立，还需要加的条件是（　　）

A．∠BAC=∠BADB．BC=BD或AC=AD

C．∠ABC=∠ABDD．AB为公共边

4．（202X秋•江津区期中）如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（　　）

A．40°B．50°C．60°D．75°

二、填空题

5．（2013秋•亭湖区校级期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加条件　　．

6．（2011秋•莆田期中）如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2=　　度．

7．（2013秋•平定县期中）如图所示，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，滑梯BC与地面夹角∠ABC=35°，则滑梯EF与地面夹角∠DFE的度数是　　．

三、解答题

8．（2002•呼和浩特）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．

（1）求证：

AE=CD；

（2）若AC=12cm，求BD的长．

9．（2013秋•溧水县校级月考）如图，这是建筑物上的人字架，已知：

AB=AC，AD⊥BC，则BD与CD相等吗？

为什么？

10．（2012春•武侯区期末）小明用三角板按如图所示的方法画角平分线，在∠AOB的两边分别取OC=OD，再分别以C、D为垂足，用三角板作OA、OB的垂线，交点为P，作射线OP，则OP就是∠AOB的角平分线，你认为小明的做法有道理吗？

请你给出合理的解释．

典例探究答案：

【例1】【解析】由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．

证明：

∵BE=CF，

∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE.

∵∠A=∠D=90°，

∴△ABF与△DCE都为直角三角形，

在Rt△ABF和Rt△DCE中，

，

∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．

点评：

此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由BE=CF通过等量代换得到BF=CE．

练1．【解析】根据直角三角形全等的判定方法（HL）即可直接得出答案．

解：

∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，

如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′，

Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，

故选C．

点评：

此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．

练2．【解析】先求出∠ABC=∠DBE=90°，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可．

解：

AC=DE，

理由是：

∵AB⊥DC，

∴∠ABC=∠DBE=90°，

在Rt△ABC和Rt△DBE中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．

故答案为：

AC=DE．

点评：

本题考查了全等三角形的判定定理，主要考查学生的推理能力，注意：

判定两直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．

【例2】【解析】根据已知条件，利用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ADC，根据全等三角形的对应边相等即可得到CB=CD．

证明：

∵AB⊥BC，AD⊥DC，

∴∠B=∠D=90°．

在Rt△ABC和Rt△ADC中，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC．

∴CB=CD．

点评：

此题主要考查学生对全等三角形的判定方法“HL”的理解及运用，常用的判定方法有“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”．

练3．【解析】可判定△ADE≌△BCE，从而得出AE=BC，则AB=AD+BC．

解：

∵MN∥PQ，AB⊥PQ，

∴AB⊥MN，

∴∠DAE=∠EBC=90°，

在Rt△ADE和Rt△BCE中，

，

∴△ADE≌△BEC（HL），

∴AE=BC，

∵AD+BC=7，

∴AB=AE+BE=AD+BC=7．

故答案为7．

点评：

本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质是基础知识比较简单．

练4．【解析】由图片和已知，可得△ABE≌△DCE，则BE=CE，然后再证明Rt△ABE≌Rt△DCE，即可得证．

证明：

∵∠A=∠D=90°，AE=DE（已知），

∠AEB=∠DEC（对顶角相等），

∴△ABE≌△DCE（ASA），

∴AB=DC，

在Rt△ABE和Rt△DCE中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△DCE，

∴∠ACB=∠DBC．

点评：

本题主要考查全等三角形全等的判定，注意需证明两次全等．

【例3】【解析】根据BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，AD=AD，得出Rt△ADB≌Rt△ADC，进而得出AB=AC=3，即可得出斜拉桥长度．

解：

由题意，知BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，AD=AD，

则Rt△ADB≌Rt△ADC（SAS），

所以AB=AC=3千米，

故斜拉桥至少有3-1.2-0.7=1.1（千米）．

点评：

此题主要考查了直角三角形全等的判定以及性质，根据已知得出Rt△ADB≌Rt△ADC是解决问题的关键．

练5．【解析】根据“两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上”可以判断AB=AC，又AD=AD，AD⊥BC，所以Rt△ABD≌Rt△ACD，所以BD=CD．

解：

∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

由AB=AC，AD=AD，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），

∴BD=CD．

故选C．

点评：

本题考查了全等三角形的判定及性质的应用；充分运用题目条件，图形条件，寻找三角形全等的条件．本题关键是证明Rt△ABD≌Rt△ACD．

课后小测答案：

一、选择题

1．【解析】A、两条直角边对应相等，可利用全等三角形的判定定理SAS来判定两直角三角形全等，故本选项正确；

B、两个锐角对应相等，再由两个直角三角形的两个直角相等，AAA没有边的参与，所以不能判定两个直角三角形全等；故本选项错误；

C、一条直角边和它所对的锐角对应相等，可利用全等三角形的判定定理ASA来判定两个直角三角形全等；故本选项正确；

D、一个锐角和锐角所对的直角边对应相等，可以利用全等三角形的判定定理ASA或AAS来判定两个直角三角形全等；故本选项正确；

故选B．

2．【解析】∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠AEO=∠AFO=90°，

又∵OE=OF，AO为公共边，∴△AEO≌△AFO．

故选A．

3．【解析】需要添加的条件为BC=BD或AC=AD，理由为：

若添加的条件为BC=BD，

在Rt△ABC与Rt△ABD中，

∵

，

∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；

若添加的条件为AC=AD，

在Rt△ABC与Rt△ABD中，

∵

，

∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．

故选B．

4．【解析】∵∠B=∠D=90°，

在Rt△ABC和Rt△ADC中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），

∴∠2=∠ACB=90°﹣∠1=50°．

故选B．

二、填空题

5．【解析】还需添加条件AB=AC，

∵AD⊥BC于D，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

在Rt△ABD和Rt△ACD中，

，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），

故答案为：

AB=AC．

6．【解析】在直角△ABC与直角△ADC中，BC=DC，AC=AC，

∴△ABC≌△ADC，

∴∠2=∠ACB，

在△ABC中，∠ACB=180°﹣∠B﹣∠1=50°，

∴∠2=50°．

故填50°

7．【解析】在Rt△ABC和Rt△DEF中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），

∴∠DEF=∠ABC=35°，

∴∠DFE=90°﹣35°=55°．

故答案为：

55°．

三、解答题

8．【解析】

（1）证明：

∵DB⊥BC，CF⊥AE，

∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．

∴∠D=∠AEC．

又∵∠DBC=∠ECA=90°，

且BC=CA，

在△DBC和△ECA中，

∵

∴△DBC≌△ECA（AAS）．

∴AE=CD．

（2）解：

由

（1）得AE=CD，AC=BC，

在Rt△CDB和Rt△AEC中，

，

∴Rt△CDB≌Rt△AEC（HL），

∴BD=CE，

∵AE是BC边上的中线，

∴BD=EC=

BC=

AC，且AC=12cm．

∴BD=6cm．

9．【解析】BD=CD，

理由：

∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°（垂直定义），

在Rt△ABD与Rt△ACD中，

，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），

∴BD=CD（全等三角形的对应边相等）．

10．【解析】小明的做法有道理．

理由如下：

在Rt△OPC和Rt△OPD中，

，

∴Rt△OPC≌Rt△OPD（HL），

∴∠AOP=∠BOP，

∴OP就是∠AOB的角平分线．