概率论第3章作业题解与知识点讲解归纳.docx
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概率论第3章作业题解与知识点讲解归纳
概率论第3章作业题解与知识点讲解归纳
一、第三章习题详解:
3.1设二维随机向量（,）XY的分布函数为:
1222,0,0,（,）0,
xyxyxyFxy----⎧--+≥≥=⎨⎩其他求}{12,35PXY<≤<≤.
解:
因为257（2,5）1222F---=--+,6512221）5,1（---+--=F
5322221）3,2（---+--=F,4312221）3,1（---+--=F
所以）3,1（）3,2（）5,1（）5,2（）53,21（FFFFYXP+--=≤<≤<
765473322222128
----=--+==
3.2盒装有3个黑球,2个白球.现从任取4个球,用X表示取到的黑球的个数,用Y表示取到的白球的个数,求（X,Y）的概率分布.
解:
因为X+Y=4,所以（X,Y）的可能取值为（2,2）,（3,1）
且0）1,2（===YXP,6.053）2,2（45
2223=====CCCYXP4.052）1,3（45
1233=====CCCYXP,0）2,3（===YXP故（X,Y）
3.3将一枚均匀的硬币抛掷3次,用X表示在3次出现正面的次数,用Y表示3次出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值,求（X,Y）的概率分布.
解:
因为|32||）3（|-=--=XXXY,又X的可能取值为0,1,2,3
所以（X,Y）的可能取值为（0,3）,（1,1）,（2,1）,（3,3）
且81）2
1（）3,0（3====YXP,8
3）21（）21（）1,1（2113====CYXP83）21（）21（）1,2（1223====CYXP,81）21（）3,3（3====YXP
故（X,Y）的概率分布为
3.4设二维随机向量（,）XY的概率密度函数为:
（6）,01,02,
（,）0,
axyxyfxy--≤≤≤≤⎧=⎨
⎩其他
（1）确定常数a;
（2）求}{
0.5,1.5
PXY≤≤
（3）求{（,）}PXYD∈,这里D是由0,0,1xyxy==+=这三条直线所围成的三角形区域.
解:
（1）因为
dxdyyxadxdyyxf⎰
⎰
⎰⎰
--=+∞∞-+∞
∞
-102
）6（）,（
dxxxadxyxa⎰⎰---=---=10221
02
02
]）4（）6[（2]）6（21[
adxxa9）5（21
0=-=⎰
由
1）,（=⎰⎰
+∞∞-+∞
∞
-dxdyyxf,得9a=1,故a=1/9.
（2）dxdyyxYXP⎰⎰
--=
≤≤5.00
5
.10
）6（9
1
）5.1,5.0（dxxdxyyx⎰⎰--=--=5.005.005
.10
2]8
9
）6（23[91]2
1）6（[91
12
5）687（5
.00=-=⎰dxx（3）110
1
{（,）}（,）（6）9
x
D
PXYDfxydxdydxxydy-∈=
=--⎰⎰
⎰⎰
27
8）1211（181]2
1）6（[91102
1010
2=--=
--=⎰⎰-dxxxdxyyxx
3.5设二维随机向量（,）XY的概率密度函数为:
（2）2,
0,0,
（,）0,
xyexyfxy-+⎧>>=⎨
⎩其他
（1）求分布函数（,）Fxy;
（2）求}{
PYX≤
解:
（1）求分布函数（,）Fxy;当0,0xy>>,
（2）
220
（,）（,）22
（1）
（1）y
x
y
x
x
y
uvu
vxyFxyfuvdudve
dudveduedvee-+-----∞-∞
====--⎰
⎰
⎰
⎰
⎰⎰
其他情形,由于（,）fxy=0,显然有（,）Fxy=0。
综合起来,有
2
（1）
（1）,
0,0,（,）0,
xyeexyFxy--⎧-->>=⎨
⎩其他
（2）求}{
PYX≤
（2）20
330
{}2211033
xyyxy
y
y
yPXYdyedxedyedx
edye+∞+∞+∞+∞
-+--+∞--<==+∞==-=
⎰
⎰⎰
⎰⎰
3.6向一个无限平面靶射击,设命点（,）XY的概率密度函数为
222
1
（,）,,,
（1）
fxyxyxyπ=
-∞<<+∞++求命点与靶心（坐标原点）的距离不超过a的概率.
解:
drrr
ddxdyyxaYXPa
a
yx⎰⎰⎰⎰
+=++=
≤+≤+ππθπ20
2
22
222
22）1（）
1（1
）（2
2
2
2
2
2021111]11[2112aaara
+=
+-=+-⋅⋅=ππ
3.7设二维随机向量（,）XY的概率分布如下表所示,求X和Y的边缘概率分布.
解:
因为75.035.025.015.0）1（=++==XP
25.002.018.005.0）3（=++==XP
所以,X的边缘分布为
因为20.005.015.0）0（=+==YP
43.018.025.0）2（=+==YP37.002.035.0）5（=+==YP
所以,Y
3.8设二维随机向量（,）XY的概率密度函数为
23,
02,01,（,）2
0,
xyxyfxy⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他
求边缘概率密度（）,（）XYfxfy.解:
因为,当20≤≤x时,22123）,（）（1
31
02x
xydyxydyyxfxfX====
⎰⎰
∞
+∞
-;其他情形,
显然（）0.Xfx=所以,X的边缘分布密度为
⎩
⎨
⎧≤≤=其他02
02/）（xxxfX又因为,当10≤≤y时,22
222
234
3
23）,（）（yyxdxxydxyxfyfY====
⎰
⎰
∞
+∞
-
其他情形,显然（）0.Yfy=所以,Y的边缘分布密度为
⎩⎨
⎧≤≤=其他
1
03）（2
yyyfY
3.9设二维随机向量（,）XY的概率密度函数为
4.8
（2）,01,0,
（,）0,
yxxyxfxy-≤≤≤≤⎧=⎨
⎩其他求边缘概率密度（）,（）XYfxfy.
解,积分区域显然为三角形区域,当01x≤≤时,0yx≤≤,因此
220
（）（,）4.8
（2）2.4
（2）2.4
（2）x
xXfxfxydyyxdyxy
xx+∞
-∞
==-=-=-⎰
⎰;
其他情形,显然（）0.Xfx=所以,X的边缘分布密度为
22.4
（2）01
（）0Xxxxfx⎧-≤≤=⎨
⎩
其他同理,当01y≤≤时,1,yx≤≤因此
11
22（）（,）4.8
（2）2.4（4）2.4（34）Yy
y
fyfxydxyxdxyxxyyy+∞
-∞
==-=-=-+⎰
⎰
其他情形,显然（）0.Yfy=所以,Y的边缘分布密度为
22.4（34）01
（）0Yyyyyfy⎧-+≤≤=⎨
⎩
其他
3.10设二维随机向量（,）XY的概率密度函数为
2,
（,）0,
cxyxfxy⎧≤≤=⎨
⎩其他
（1）确定常数c的值.
（2）求边缘概率密度（）,（）XYfxfy.
解:
（1）因为
dycdxdxdyyxfx
x
⎰⎰⎰⎰
=+∞∞-+∞
∞
-10
2）,（
16
）32（）（1
0321
02
==-=-=⎰cxxcdxxxc
所以c=6.
（2）因为,当10≤≤x时,）（6）,（）（22xxdycdyyxfxfx
x
X-===⎰⎰
+∞
∞
-
所以,X的边缘分布密度为
⎩
⎨
⎧≤≤-=其他01
0）（6）（2xxxxfX又因为,当10≤≤y时,）（66）,（）（yydxdxyxfyfy
y
Y-===⎰⎰
+∞
∞
-
所以,Y的边缘分布密度为
⎩
⎨⎧≤≤-=其他01
0）（6）（yyyyfY
3.11求习题3.7的条件概率分布.解:
由T3.7
（1）当X=15175.015.0）1|0（==
==XYP31
75.025.0）1|2（====XYP15
7
75.035.0）1|2（====XYP
即
（2）当X=3时,Y的条件分布为5125.005.0）3|0（==
==XYP2518
25.018.0）3|2（====XYP25
2
25.002.0）1|2（====XYP
即
（3）当Y=0时,X4320.015.0）0|1（==
==YXP4
1
20.005.0）0|3（====YXP即
（4）当Y=2时,X的条件分布为
581.043.025.0）2|1（==
==YXP419.043
.018
.0）2|3（====YXP即
（5）当Y=5时,X
946.037.035.0）5|1（==
==YXP054.037
.002
.0）5|3（====YXP即
3.12设X在区间（0,1）上随机地取值,当观察到X=x（0解:
因为⎩⎨⎧<<=其他0101）（xxfX,⎪⎩⎪
⎨⎧<<-=其他
111）|（|yxx
xyfXY
所以（X,Y）的联合密度为
⎪⎩⎪
⎨⎧<<<<-=⋅=其他
1
1011
）|（）（）,（|yxxx
xyfxfyxfXYX
于是y
ydxxdxyxfyfy
Y-=--=-==
⎰
⎰
+∞
∞
-11
ln
）1ln（11）,（）（0
）10（<⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他
1011ln
）（yy
yfY
3.13设二维随机向量（,）XY的概率密度函数为
2,01,02,
（,）3
0,
xy
xxyfxy⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他求条件概率密度（）,X
Yfxy（）,Y
Xfyx以及11
{}22
PYX<
=.解:
因为,当10≤≤x时,xxdyxyxdyyxfxfX3
22）3（）,（）（2
2
02+=+
==
⎰⎰+∞
∞-又当20≤≤y时,6
31）3（）,（）（102
ydxxyxdxyxfyfY+=+
==⎰⎰+∞∞-所以,在Y=y的条件下X的条件概率密度为
⎪
⎩
⎪
⎨⎧≤≤++==其他
010226）（）,（）|（2|xy
xy
xyfyxfyxfYYX
在X=x的条件下Y的条件概率密度为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤++==其他
202
63）（）,（）|（|yxy
xxfyxfxyfXXY
dyydyyfXYPXY⎰⎰+===<
210
21
0|5
23）2
1
|（）21|21（40
7
401203）10103（
2
102
=
+=+=yy
3.14问习题3.7的X与Y是否相互独立?
解:
由T3.7
{1}PX==0.75,{2}0.43PY==,而{1,2}0.25PXY===,显然{1}PX={2}PY⨯=≠{1,2}0.25PXY===,从而X与Y不相互独立.
3.15设二维随机向量（,）XY
的概率分布如下表所示,求X和Y的边缘概率分布.
问,ab取何值时,X与Y相互独立?
解:
因为311819161）1（=++=
=XP,aYP+==9
1）2（要X和Y相互独立,则）2（）1（）2,1（=====YPXPYXP即
）91（3191a+=,得9
2
9131=-=a由
（1）
（2）
1PXPX=+==,得12
（2）1
（1）133
PXPX==-==-=即3231=++ba,得9
13132=--=ab
3.16问习题3.8和习题3.9的X与Y是否相互独立?
解:
由习题3.8,二维随机向量（,）XY的概率密度函数为
23,
02,01,（,）2
0,
xyxyfxy⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他
X的边缘分布密度为⎩⎨
⎧≤≤=其他0
2
02/）（xxxfX,Y的边缘分布密度为
⎩⎨
⎧≤≤=其他
1
03）（2
yyyfY,显然有（,）（）（）XYfxyfxfy=,X与Y相互独立.
由习题3.9,维随机向量（,）XY的概率密度函数为
4.8
（2）,01,0,
（,）0,yxxyxfxy-≤≤≤≤⎧=⎨
⎩其他,X的边缘分布密度为22.4
（2）01
（）0Xxxxfx⎧-≤≤=⎨
⎩
其他,Y的边缘分布密度为22.4（34）01
（）0Yyyyyfy⎧-+≤≤=⎨
⎩
其他,显然有（,）（）（）XYfxyfxfy≠,X与Y不独立.
3.17设二维随机向量（,）XY的概率密度函数为
21
0,0,
（1）（,）0,xxe
xyyfxy-⎧<<⎪+=⎨⎪⎩
其他,问X与Y是否相互独立?
解:
因为dyyxedyyxfxfx
X⎰⎰
+∞
-+∞
∞
-+==
02
）
1（1
）,（）（）0（）11
（0
>=+-=-+∞
-xxeyxex
x
dxyxedxyxfyfx
Y⎰⎰+∞
-+∞∞
-+==0
2
）
1（1
）,（）（）0（）1
（1）（）1
（1）（）1（1
2
020
2
>+=
+-+=
-+=
+∞
---+∞
⎰
yyexeyedxyxxx
对于x>0,y>0,都有）（）（）,（yfxfyxfYX=,所以,X与Y是相互独立的.
3.18设二维随机向量（,）XY的分布函数为
（）1,0,0,
（,）0
xyxyeeexyFxy---+⎧--+≥≥=⎨
⎩其他讨论,XY的独立性.
解:
因为）0
（1）,（lim）（≥-==-+∞
→xe
yxFxFx
yX
）0
（1）,（lim）（≥-==-+∞
→ye
yxFyFy
xY
由于
）0,0（）
（1）1）（1（）（）（）（≥≥=+--=--=+-----yxyxFeeeeeyFxFyxyxyxYX
所以,X与Y是相互独立的。
3.19设X与Y是两个相互独立的随机变量,并且均服从区间（0,1）上的均匀分布,求X+Y的概率密度函数.
解:
由于X与Y均服从区间（0,1）上的均匀分布,故X与Y的边缘密度函数分别为:
101（）0Xxfx≤≤⎧=⎨⎩其他,101
（）0Yyfy≤≤⎧=⎨
⎩其他
记ZXY=+,由于X与Y是两个相互独立的随机变量,根据书72页（3.7.3）式,Z的概
率密度函数可以写为
（）（）（）ZXYfzfxfzxdx+∞-∞
=-⎰
当01z≤<时,若0xz<<,则0
（）1z
Zfzdxz==⎰;若0x<或xz≥,被积函数为0,此
时显然有（）0Zfz=.
当12z≤<时,若11zx-<<,则1
1
（）12Zzfzdxz-==-⎰
若1xz<-或1x≥,被积函
数为0,此时显然有（）0Zfz=;
z的其他情形,显然有（）（）（）ZXYfzfxfzxdx+∞-∞
=-⎰
=0.综合起来,有
01,（）2,120,Zzzfzzz≤<⎛
=-≤<⎝
其他
此题也可以用先求分布函数然后再求导的方法来解,需要注意的一点是,当12z≤<时,积
分区域要分成两个部分.
3.20设X与Y是两个相互独立的随机变量,概率密度函数分别为
2
1,0,（）20,0x
Xexfxx-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩31,
0,（）3
0,0
yYeyfyy-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩
求XY+的概率密度函数.
解:
记ZXY=+,由于X与Y是两个相互独立的随机变量,根据书72页（3.7.3）式,
Z的概率密度函数可以写为（）（）（）ZXYfzfxfzxdx+∞-∞
=-⎰
于是有
136
23600110,0
（1）0（）66000zxxzzxzZeedxxzxeedxzeezfz---+∞---⎧⎧⎧>>>⎪
⎪⎪->===⎨⎨⎨
⎪⎪⎪⎩⎩⎩
⎰⎰其他其他其他3.21设二维随机向量（,）XY的概率密度函数为
（2）,01,01,
（,）0,
xyxyfxy--≤≤≤≤⎧=⎨
⎩其他求ZXY=+的概率密度函数.
解:
根据书72页（3.7.1）式,Z的概率密度函数可以写为
（）（,）Zfzfxzxdx+∞-∞
=-⎰
当01z≤<时,若0xz<<,
则00
（）
（2）（2（））
（2）
（2）zz
z
Zfzxydxxzxdxzxzz=
--=---=-=-⎰
⎰,
若0x<或xz≥,被积函数为0,此时显然有（）0Zfz=;当12z≤<时,若11zx-<<,则111
21
1
1
（）
（2）（2（））
（2）
（2）Zzzzfzxydxxzxdxzx
z---=
--=---=-=-⎰
⎰
若1xz<-或1x≥,被积函数为0,此时显然有（）0Zfz=;
z的其他情形,显然有（）0Zfz=.综合起来,有
2
（2）,01,（）
（2）,120,Zzzzfzzz-≤<⎛
=-≤<⎝
其他
3.22设随机变量~[0,1],XUY服从参数为1的指数分布,并且X与Y相互独立,求
max{,}XY的概率密度函数.
解:
由于~[0,1],XU所以分布函数为
0,0,（）,
011,1.
XxFxxxx<⎛
=≤<>⎝
由于Y服从参数为1的指数分布,所以分布函数为
1,0
（）0,
0,yYeyFyy-⎧-≥=⎨<⎩
X与Y相互独立,故max{,}XY的分布函数为
max0,
0,（）（）（）
（1）,01,
（1）,1,zXYzzFzFzFzzezez--<⎧⎪
==-≤≤⎨⎪->⎩
对分布函数求导以后得max{,}XY的密度函数
maxmax
0,
0,（）（）1
（1）,01,,1,zzzfzFzezzez--<⎧⎪
'==--≤≤⎨⎪>⎩
3.23设随机变量~[0,1],~[0,2]XUYU,并且X与Y相互独立,求min{,}XY的概率密度函数.
解:
由于~[0,1],XU所以分布函数为
0,0,（）,
011,1.
XxFxxxx<⎛
=≤<>⎝
由于~[0,2]YU,所以分布函数为
0,0,1
（）,
0121,1.
YyFyyyy<⎛=≤<>⎝
X与Y相互独立,故max{,}XY的分布函数为
min0,
0,1（）1[1（）][1（）]（3）,01,21,1,
XYzFzFzFzzzzz<⎧⎪⎪
=---=-≤≤⎨⎪>⎪⎩
对分布函数求导以后得max{,}XY的密度函数
minmin
1.5,01,
（）（）0,
zzfzFz-<<⎧'==⎨⎩其他
3.24设随机变量12,,
nXXX相互独立,并且都服从正态分布2（,）Nμσ,求
12（,,,）nXXX的概率密度函数.
解:
由于12,,
nXXX相互独立,根据P76公式（3.8.4）,易知
22
2
121212~（,）nnnZXXXNμμμσσσ=++++++++,于是12（,,
）nXXX的
概率密度函数为:
2
1
212（）212122
（,,
）（）（）（）
（2）n
iinxnXXXnnn
e
fxxxfxfxfxμσπσ=--∑==
其,,1,2,,.ixin-∞<<+∞=
3.25对某种电子装置的输出测量了5次,得到观察值12345,,,,XXXXX.设它们是相互独
立的随机变量,且有相同的概率密度函数2
8,
0（）4
0,0,
xxexfxx-⎧⎪≥=⎨⎪<⎩,求
12345max{,,,,}ZXXXXX=的分布函数.
解:
由题意,（1,2,
）iXin=的分布函数为:
2
8
1,0（）0,
0ixXiexFxx-
⎧⎪-≥=⎨⎪<⎩
又由于12345,,,,XXXXX,是相互独立的随机变量,根据书77页（3.8.6）式,
12345max{,,,,}ZXXXXX=的分布函数为:
2
81,0
（）0,
0zZezFzz-⎧
⎪-≥=⎨⎪<⎩
3.26设电子元件的寿命X（单位:
小时）的概率密度函数为
0.00150.0015,
0（）0,
0,
xexfxx-⎧≥=⎨
<⎩
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