高中数学必修5常考题型等比数列.docx

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高中数学必修5常考题型等比数列

高中数学必修5常考题型：

等比数列

等比数列

【知识梳理】

1．等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．

2．如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a，b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±.

3．等比数列{an}的首项为a1，公比为q（q≠0），则通项公式为：

an＝a1qn－1.

【常考题型】

题型一、等比数列的判断与证明

【例1】　已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．

[解]　依题意an＝2＋（n－1）×（－1）＝3－n，

于是bn＝3－n.

而＝＝－1＝2.

∴数列{bn}是公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2n－3.

【类题通法】

证明数列是等比数列常用的方法

（1）定义法：

＝q（q为常数且q≠0）或＝q（q为常数且q≠0，n≥2）⇔{an}为等比数列．

（2）等比中项法：

a＝an·an＋2（an≠0，n∈N*）⇔{an}为等比数列．

（3）通项公式法：

an＝a1qn－1（其中a1，q为非零常数，n∈N*）⇔{an}为等比数列．

【对点训练】

1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，求证：

数列{an}是等比数列．

证明：

∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1.

∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝（2－an＋1）－（2－an）＝an－an＋1.

∴an＋1＝an.

又∵S1＝2－a1，

∴a1＝1≠0.

又由an＋1＝an知an≠0，

∴＝.

∴{an}是等比数列.

题型二、等比数列的通项公式

【例2】　在等比数列{an}中，

（1）a4＝2，a7＝8，求an；

（2）a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.

[解]　

（1）因为所以

由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，

于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2.

（2）法一：

因为

由得q＝，从而a1＝32.

又an＝1，所以32×n－1＝1，

即26－n＝20，所以n＝6.

法二：

因为a3＋a6＝q（a2＋a5），所以q＝.

由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32.

由an＝a1qn－1＝1，得n＝6.

【类题通法】

与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公式，an＝a1·qn－1（a1q≠0）中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量．求解时，要注意应用q≠0验证求得的结果．

【对点训练】

2．

（1）若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是（　　）

A．405　　　　　　　　　B．－405

C．135D．－135

（2）已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2（an＋an＋2）＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.

解析：

（1）选A　∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝＝－3，

∴a5＝405.

（2）根据条件求出首项a1和公比q，再求通项公式．由2（an＋an＋2）＝5an＋1⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝2或，由a＝a10＝a1q9>0⇒a1>0，又数列{an}递增，所以q＝2.

a＝a10>0⇒（a1q4）2＝a1q9⇒a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.

答案：

（1）A　

（2）2n

题型三、等比中项

【例3】　设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于（　　）

A．2B.4

C．6D．8

[解析]　∵an＝（n＋8）d，又∵a＝a1·a2k，

∴[（k＋8）d]2＝9d·（2k＋8）d，解得k＝－2（舍去），

k＝4.

[答案]　B

【类题通法】

等比中项的应用主要有两点：

①计算，与其它性质综合应用．可以简化计算、提高速度和准确度．②用来判断或证明等比数列．

【对点训练】

3．已知1既是a2与b2的等比中项，又是与的等差中项，则的值是（　　）

A．1或B.1或－

C．1或D．1或－

解析：

选D　由题意得，a2b2＝（ab）2＝1，＋＝2，

∴或

因此的值为1或－.

【练习反馈】

1．等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，则公比q等于（　　）

A.　　　　　　　B.

C．2D．8

解析：

选B　∵{an}为等比数列，∴a4＋a6＝（a1＋a3）q3，

∴q3＝，∴q＝.

2．已知等差数列{an}的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（　　）

A．9B.3

C．－3D．－9

解析：

选D　a1＝a2－3，a3＝a2＋3，a4＝a2＋3×2＝a2＋6，

由于a1，a3，a4成等比数列，

则a＝a1a4，

所以（a2＋3）2＝（a2－3）（a2＋6），解得a2＝－9.

3．在数列{an}中，a1＝2，且对任意正整数n,3an＋1－an＝0，则an＝________.

解析：

∵3an＋1－an＝0，

∴＝，

因此{an}是以为公比的等比数列，

又a1＝2，所以an＝2×n－1.

答案：

2×n－1

4．已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________.

解析：

由题意得2q2－2q＝4，解得q＝2或q＝－1.又{an}单调递增，得q＞1，∴q＝2.

答案：

2

5．

（1）已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an.

（2）若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n.

（3）若等比数列{an}中an＋4＝a4，求公比q.

解：

（1）由已知得

得，

∵an＞0，∴

∴an＝128×n－1＝28－n.

（2）由an＝a1·qn－1，

得＝n－1，

即n－1＝3，得n＝4.

（3）∵an＋4＝a4q（n＋4）－4＝a4qn，

又an＋4＝a4，∴qn＝1，

∴当n为偶数时，q＝±1；当n为奇数时，q＝1.