高考文科数学试题全国课标1解析版.docx

高考文科数学试题全国课标1解析版.docx

《高考文科数学试题全国课标1解析版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考文科数学试题全国课标1解析版.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考文科数学试题全国课标1解析版

2013年高考文科数学试题（全国课标1）

一.选择题：

本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知集合={1,2,3,4}，=，则=

.{1,4}.{2,3}.{9,16}.{1,2}

【命题意图】本题主要考查集合的运算，是容易题.

【解析】={1,4,9,16}，故={1,4}，故选.

2.=

....

【命题意图】本题主要考查复数的运算，是容易题.

【解析】==，故选.

3.从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是

....

【命题意图】本题主要考查古典概型的计算，是容易题.

【解析】从1,2,3，4中任取两个有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}6种不同取法，其中取出的2个数之差的绝对值为2的由{1,3}，{2,4}2种，故其概率为=，故选.

4.已知栓曲线：

（）的离心率为，则的渐近线方程为

....

【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.

【解析】由题知，，即==，∴=，∴=，∴的渐近线方程为，故选.

5.已知命题：

；命题：

，则下列命题中为真命题的是

....

【命题意图】本题主要考查特称命题、全称命题真假的判定及复合命题真假判断，是容易题.

【解析】由题意知为假命题，为真命题，∴数真命题，∴为真命题，故选.

6.设首项为1，公比为的等比数列{}的前n项和为，则

.=.=.=.=

【命题意图】本题主要考查等比数列前n项和公式，是容易题.

【解析】==,故选.

7.运行如下程序框图，如果输入的，则输出s属于

.[-3,4].[-5,2].[-4,3].[-2,5]

【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题.

【解析】有题意知，当时，，当时，，

∴输出s属于[-3,4]，故选.

8.O是坐标原点，F是抛物线C：

的焦点，P为C上一点，若|PF|=，则△POF的面积为

.2...4

【命题意图】本题主要考查抛物线的定义，是容易题.

【解析】由抛物线焦半径公式得|=PF|=，∴=，=，

∴△POF的面积为==，故选.

9.函数=在的图像大致为

【命题意图】本题主要考查三角函数函数的图像与性质及利用导数研究初等函数的图像与性质，是中档题.

【解析】显然是奇函数，故排除B,当时，＜0，故排除A，

∵==，由≥0解得，又∵，∴，同理，由≤0解得，或，

∴在[－,－]上是减函数，在[－，]上是增函数，在[,]上是减函数，

∴当=时，取最小值=，最小值点靠近－，故选.

10.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，，=7，，则=

.10.9.8.5

【命题意图】本题主要考查二倍角公式、正余弦定理，是中档题.

【解析】由及△ABC是锐角三角形得=，

∵=7，，∴，即，解得或=（舍），故选.

11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

..

..

【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，是中档题.

【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为=，故选.

12.已知函数=，若||≥，则的取值范围是

...[-2,1].[-2,0]

【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法，是难题。

【解析】∵||=，∴由||≥得，且，

由可得，则≥-2，排除Ａ，Ｂ，

当=1时，易证对恒成立，故=1不适合，排除C，故选D.

二、填空题：

本大题共四小题，每小题5分。

13．已知两个单位向量，的夹角为60°，=，若=0，则=_____.

【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积，是容易题.

【解析】=====0，解得=.

14．设x，y满足约束条件，则的最大值为______.

【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法，是容易题.

【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线：

，平移直线，由题知当直线过A点时取最大值，由解得A（3,3），∴==3.

15．已知是球的直径上一点，=1:

2,⊥平面，为垂足，截球所得截面的面积为π，则球的表面积为_______.

【命题意图】本题主要考查球的截面性质及球的表面积公式，是容易题.

【解析】由=1:

2及是球的直径知，=，=，∴=，由截面圆面积为得截面圆半径为1，∴，∴=，∴球的表面积为=.

16．设当=时，函数=取得最大值，则=______.

【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题，是难题.

【解析】∵==

令=，，则==，

当=，即=时，取最大值，此时=，∴===.

三.解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）已知等差数列｛｝的前n项和满足=0，=-5.

（Ⅰ）求｛｝的通项公式；

（Ⅱ）求数列{}的前n项和.

【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式、前n项和公式及列项求和法，考查方程思想，是容易题.

【解析】（Ⅰ）由=0，=-5得，，，解得=1，=-1，∴=；

（Ⅱ）由已知=，∴==，

∴数列{}的前n项和为

===.

18（本小题满分共12分）

为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：

h）实验的观测结果如下：

服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.5

2.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4

服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.4

1.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5

（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，那种药的疗效更好？

（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，那种药的疗效更好？

【命题意图】本题主要考查利用样本平均值对总体作出估计、茎叶图的制作及利用茎叶图进行统计分析，考查数据处理能力、应用数学知识分析解决问题能力和应用意识,是简单题.

【解析】（Ⅰ）A组平均值为（0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.5+2.9+3.0+3.1+2.3+2.4）=2.3，

B组的平均值为（3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+2.5+1.2+2.7+0.5）=1.6，

∵2.3＞1.6,∴A种药的疗效更好.

（Ⅱ）作出茎叶图如右图所示，由茎叶图知，服用A药增加的睡眠时间主要集中在2小时到3小时之间，服用B药增加的睡眠时间主要集中在1小时到2小时之间，故A种药的疗效更好.

19.（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=600.

（Ⅰ）证明AB⊥A1C;

（Ⅱ）若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积

【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直的判定与性质及棱柱的体积公式，考查空间想象能力、逻辑推论证能力，是容易题.

【解析】（Ⅰ）取AB中点E，连结CE，，，

∵AB=，=，∴是正三角形，

∴⊥AB，∵CA=CB，∴CE⊥AB，∵=E，∴AB⊥面，∴AB⊥；

（Ⅱ）∵AB=AC=BC=2，∴CE=，在正中，AB=2,∴=,

∵A1C=，∴，∴⊥CE，

由（Ⅰ）知⊥AB，AB∩CE=E，∴⊥面ABC，

∴是三棱锥的高，

∴三棱锥的体积为==3.

（20）（本小题满分共12分）

已知函数=，曲线在点（0，）处切线方程为

（Ⅰ）求，的值

（Ⅱ）讨论的单调性，并求的极大值

【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值，考查运算求解能力及应用意识,是中档题.

【解析】（Ⅰ）=.

由已知得=4，=4，故，=8，从而=4，；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，

==，

令=0得，=或=-2，

∴当时，＞0，当∈（-2，）时，＜0，

∴在（-∞，-2），（，+∞）单调递增，在（-2，）上单调递减.

当=-2时，函数取得极大值，极大值为.

（21）（本小题满分12分）

已知圆:

圆:

动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线C.

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

【命题意图】

【解析】由已知得圆的圆心为（-1，0）,半径=1，圆的圆心为（1,0）,半径=3.

设动圆的圆心为（，），半径为R.

（Ⅰ）∵圆与圆外切且与圆内切，∴|PM|+|PN|===4，

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为的椭圆（左顶点除外），其方程为.

（Ⅱ）对于曲线C上任意一点（，），由于|PM|-|PN|=≤2，∴R≤2,

当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2.

∴当圆P的半径最长时，其方程为，

当的倾斜角为时，则与轴重合，可得|AB|=.

当的倾斜角不为时，由≠R知不平行轴，设与轴的交点为Q，则=，可求得Q（-4，0），∴设：

，由于圆M相切得，解得.

当=时，将代入并整理得，解得=，∴|AB|==.

当=－时，由图形的对称性可知|AB|=，

综上，|AB|=或|AB|=.

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。

注意：

只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

（22）（本小题满分10分）选修4—1：

几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。

（Ⅰ）证明：

DB=DC；

（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。

【命题意图】本题主要考查几何选讲的有关知识，是容易题.

【解析】（Ⅰ）连结DE，交BC与点G.

由弦切角定理得，∠ABF=∠BCE，∵∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE，

又∵DB⊥BE，∴DE是直径，∠DCE=，由勾股定理可得DB=DC.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠CDE=∠BDE，BD=DC，故DG是BC的中垂线，∴BG=.

设DE中点为O，连结BO，则∠BOG=，∠ABE=∠BCE=∠CBE=，

∴CF⊥BF，∴Rt△BCF的外接圆半径等于.

（23）（本小题10分）选修4—4：

坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为。

（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。

【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化，是容易题.

【解析】将消去参数，化为普通方程，

即：

，将代入得，

，

∴的极坐标方程为；

（Ⅱ）的普通方程为，

由解得或，∴与的交点的极坐标分别为（），.

（24）（本小题满分10分）选修4—5：

不等式选讲

已知函数=,=.

（Ⅰ）当=2时，求不等式＜的解集；

（Ⅱ）设＞-1,且当∈[，