全国卷2高考理科数学试题精品.docx

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全国卷2高考理科数学试题精品

2005年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3到10页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

参考公式：

如果事件互斥,那么球的表面积公式

如果事件相互独立,那么其中表示球的半径

球的体积公式

如果事件在一次试验中发生的概率是,那么

次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径

第Ⅰ卷

一、选择题:

本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.函数的最小正周期是

A.B.C.D.2

2.正方体中,分别是的中点.那么正方体的过的截面图形是

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

3.函数的反函数是

A.B.

C.d.

4.已知函数在内是减函数，则

A.B.C.D.

5.设,若为实数,则

A.B.

C.D.

6.已知双曲线的焦点为,点在双曲线上且轴,则到直线的距离为

A.B.C.D.

7.锐角三角形的内角满足,则有

A.B.

C.D.

8.已知点.设的平分线与相交于,那么有,其中等于

A.2B.C.-3D.

9.已知集合,,则为

A.B.

C.D.

10.点在平面上作匀速直线运动,速度向量（即点的运动方向与相同,且每秒移动的距离为个单位）.设开始时点的坐标为,则5秒后点的坐标为

A.（-2，4）B.（-30，25）C.（10，-5）D.（5，-10）

11.如果为各项都大于零的等差数列,公差,则

A.B.

C.D.

12.将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为

A.B.C.D.

第Ⅱ卷

注意事项:

1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.

3.本卷共10小题,共90分.

二、填空题:

本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.

13.圆心为（1，2）且与直线相切的圆的方程为________.

14.设为第四象限的角,若,则______________.

15.在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有__________个.

16.下面是关于三棱锥的四个命题:

①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.

②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.

③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.

④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.

其中,真命题的编号是______________.（写出所有真命题的编号）

三、解答题:

本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

设函数,求使的取值范围.

18.（本小题满分12分）

已知是各项均为正数的等差数列,成等差数列.又

⑴证明:

为等比数列;

⑵如果无穷等比数列各项的和,求数列的首项和公差.

（注:

无穷数列各项的和即当时数列前项和的极限）

19.（本小题满分12分）

甲、乙两队进行一场排球比赛,根据以往经验,单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制：

即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令为本场比赛的局数，求的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）

20.（本小题满分12分）

如图,四棱锥中,底面为矩形,底面.,分别为的中点.

（1）求证:

;

（2）设,求与平面所成的角的大小.

21.（本小题满分14分）

四点都在椭圆上,为椭圆在轴正半轴上的焦点.已知与共线,与共线,且.求四边形的面积的最小值和最大值.

22.（本小题满分12分）

已知,函数.

（1）当为何值时,取得最小值?

证明你的结论;

（2）设在[-1，1]上是单调函数,求的取值范围.

参考答案

1-6:

CDBBCC7-12:

ACACBC

（2）分析：

本题主要考查学生对截面图形的空间想象，以及用所学知识进行作图的能力，通过画图，可以得到这个截面与正方体的六个面都相交，所以截面为六边形，故选D.

（12）解析一：

由题意，四个半径为1的小球的球心,恰好构成一个棱长为2的正四面体，并且各面与正四面体的容器的各对应面的距离都为1

如图一所示显然设分别为的中点，

图一

在棱长为2的正四面体中，

∴　，且.

作，则，

由于,

∴

∴　

故选C

解析二：

由题意，四个半径为1的小球的球心,恰好构成一个棱长为2的正四面体，并且各面与正四面体的容器的各对应面的距离都为1　如图二所示,　正四面体与有共同的外接球球心的相似正四面体，其相似比为：

所以

所以

图二

解析三：

由题意，四个半径为1的小球的球心,恰好构成一个棱长为2的正四面体，并且各面与正四面体的容器的各对应面的距离都为1　如图二所示,正四面体与有共同的外接球球心的相似正四面体，从而有

又,所以

由于,

所以

13.；14.；15.192；16.①，④

（13）分析：

本题就是考查点到直线的距离公式，所求圆的半径就是圆心（1,2）到直线5x－12y－7=0的距离：

，再根据后面要学习的圆的标准方程，就容易得到圆的方程：

（16）分析：

②显然不对，比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥．③底面是等边三角形，侧面的面积都相等，说明顶点到底面三边的距离（斜高）相等，根据射影长的关系，可以得到顶点在底面的射影（垂足）到底面三边所在直线的距离也相等。

由于在底面所在的平面内，到底面三边所在直线的距离相等的点有4个：

内心（本题的中心）1个、旁心3个。

因此不能保证三棱锥是正三棱锥．

17.本小题主要考查指数函数的性质、不等式性质和解法，考查分析问题的能力和运算能力

解：

∵f（x）=2|x+1|－|x－1|≥2=,即|x+1|－|x－1|≥

当x≤－1时，原不等式化为：

－2≥（舍）；

当－1

2x≥∴x≥

∴此时，≤x≤1

当x>1时,原不等式化为：

2≥,

此时,x>1

故原不等式的解集为：

18.本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力

⑴证明：

设{an}中首项为a1，公差为d.

∵lga1,lga2,lga4成等差数列∴2lga2=lga1·lga4∴a22=a1·a4.

即（a1+d）2=a1（a1+3d）∴d=0或d=a1

当d=0时,an=a1,bn=,∴，∴为等比数列；

当d=a1时,an=na1,bn=，∴，∴为等比数列

综上可知为等比数列

⑵∵无穷等比数列{bn}各项的和

∴|q|<1,由⑴知，q=,d=a1.bn=

∴,∴a1=3

∴

19.本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力

解：

ξ的所有取值为3,4,5

P（ξ=3）=；

P（ξ=4）=；

P（ξ=5）=

∴ξ的分布列为：

ξ

3

4

5

P

0.28

0.3744

0.3456

∴Eξ=3×0.28+4×0.3744+5×0.3456=0.84+1.4976+1.728=4.0656

20.本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识、及思维能力和空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力

解：

方法一：

⑴取PA中点G,连结FG,DG

⑵设AC,BD交于O，连结FO.

设BC=a,则AB=a,∴PA=a,DG=a=EF,∴PB=2a,AF=a.

设C到平面AEF的距离为h.

∵VC－AEF=VF－ACE,∴

即∴

∴AC与平面AEF所成角的正弦值为.

即AC与平面AEF所成角为

方法二：

以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系，

（1）证明：

设，其中，则，

，

又，

（2）解：

由得，

可得

，

则异面直线AC，PB所成的角为，

，

又，AF为平面AEF内两条相交直线，

，

AC与平面AEF所成的角为，

即AC与平面AEF所成的角为

21.本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件、两点间的距离、不等式的性质等基本知识及综合分析能力

解：

∵.即.

当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时，另一条直线必垂直于y轴.

不妨设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴.

∵F（0,1）∴MN的方程为：

y=1，PQ的方程为：

x=0分别代入椭圆中得：

|MN|=,|PQ|=2

∴S四边形PMQN=|MN|·|PQ|=××2=2

当MN,PQ都不与坐标轴垂直时，设MN的方程为y=kx+1（k≠0），代入椭圆中得

（k2+2）x2+2kx－1=0,

∴x1+x2=,x1·x2=

∴

同理可得：

∴S四边形PMQN=|MN|·|PQ|==

（当且仅当即时，取等号）.

又S四边形PMQN=，∴此时,S四边形PMQN

综上可知：

（S四边形PMQN）max=2,（S四边形PMQN）min=

22.本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力

解：

⑴令=0即[x2－2（a－1）x－2a]ex=0∴x2－2（a－1）x－2a=0

∵△=[2（a－1）]2+8a=4（a2+1）>0∴x1=,x2=

又∵当x∈（－∞,）时，>0；

当x∈（,）时，<0；

当x∈（,+∞）时，>0

∴x1,x2分别为f（x）的极大值与极小值点.

又∵；当时.

而f（）=<0.

∴当x=时，f（x）取得最小值

⑵f（x）在[－1,1]上单调，则≥0（或≤0）在[－1,1]上恒成立

而=[x2－2（a－1）x－2a]ex,令g（x）=x2－2（a－1）x－2a=[x－（a－1）]2－（a2+1）.

∴≥0（或≤0）即g（x）≥0（或≤0）

当g（x）≥0在[－1,1]上恒成立时，有

①当－1≤a－1≤1即0≤a≤2时,g（x）min=g（a－1）=－（a2+1）≥0（舍）；

②当a－1>1即a≥2时,g（x）min=g

（1）=3－4a≥0∴a≤（舍）.

当g（x）≤0在[－1,1]上恒成立时，有

①当－1≤a－1≤0即0≤a≤1时,g（x）max=g

（1）=3－4a≤0,∴≤a≤1；

②当0

③当12时,g（x）max=g（－1）=－1≤0,∴a>2

故a∈[,+∞）