最新北京市海淀区清华附中学年八年级上期中数学试题.docx

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最新北京市海淀区清华附中学年八年级上期中数学试题

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北京市海淀区清华附中2018-2019学年八年级（上）期中数学试题

试卷副标题

考试范围：

xxx；考试时间：

100分钟；命题人：

xxx

题号

一

二

三

总分

得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人

得分

一、单选题

1．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（　　）

A.

B.

C.

D.

2．下列运算正确的是（　　）

A．（2a2）3＝6a6B．2a2+4a2＝6a4

C．a3•a2＝a5D．（a+2b）2＝a2+4b2

3．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是（　　）

A．点AB．点BC．点CD．点D

4．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为（　　）

A．14B．18C．20D．26

5．下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　）

A．12xy2＝3xy•4yB．（x+1）（x+2）＝x2﹣2x﹣3

C．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）

6．用一条长为16cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（　　）

A．4cmB．6cmC．4cm或6cmD．4cm或8cm

7．若

，则

的值为（）

A.3B.6C.9D.12

8．已知如图：

△ABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，则∠EDF＝（　　）

A．2∠AB．90°﹣2∠AC．90°﹣∠AD．90°﹣

∠A

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

评卷人

得分

二、填空题

9．计算（﹣3a2b）3的结果是_____．

10．在边长为1的正方形网格中，如图所示，△ABC中，AB＝AC，若点A的坐标为（0，﹣2），点B的坐标为（1，1），则点C的坐标为_____．

11．若关于x的二次三项式x2+（m+1）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为_____．

12．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为_____．

13．如果（2x+m）（x﹣5）展开后的结果中不含x的一次项，那么m＝_____．

14．如图，若∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于_____．

15．设x﹣

＝1，则x2+

＝_____．

16．如图，

，点P为

内一点，

.点M、N分别在

上，则

周长的最小值为________.

17．若实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣4）＝5，则x2+y2＝　　．

18．等腰三角形两腰上的高所在直线相交所成的锐角为80°，则顶角的度数为　　．

19．（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）（28+1）+1＝　　．

评卷人

得分

三、解答题

20．计算：

（1）（x4y+6x3y2﹣x2y3）÷3x2y

（2）（x+2）（x﹣2）﹣（x+

）2

（3）（x+2y﹣3）（x+2y+3）

21．因式分解：

（1）x2﹣5x﹣6

（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）

（3）y2﹣x2+6x﹣9

（4）（a2+4b2）2﹣16a2b2

22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度数．

23．已知x+y＝8，xy＝12，求：

①x2y+xy2；

②x2﹣xy+y2；

③x﹣y的值．

24．已知x2+x﹣1＝0，求2x3﹣x2﹣5x+7的值．

25．如图，已知：

E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．

（1）求证：

OE是CD的垂直平分线．

（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？

并证明你的结论．

26．如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．

（1）依题意补全图形；

（2）若∠ACN＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；

（3）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．

27．阅读以下材料：

利用整式的乘法知识，我们可以证明以下有趣的结论：

“将两个有理数的平方和与另两个有理数的平方和相乘，得到的乘积仍然可以表示成两个有理数的平方和”

设a，b，c，d为有理数，则

（a2+b2）（c2+d2）

＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2

＝（a2c2+2abcd+b2d2）+（a2d2﹣2abcd+b2c2）

＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2

请你解决以下问题

（1）填空：

（a2+b2）（c2+d2）＝（ac﹣bd）2+（　　）2

（2）根据阅读材料，

130＝13×10＝（22+32）（12+32）＝（2×1+3×3）2+（2×3﹣3×1）2＝112+32

仿照这个过程将650写成两个正整数的平方和

（3）将20182018表示成两个正整数的平方和（直接写出一种答案即可）．

28．已知在△ABC中，三边长a，b，c满足等式a2﹣21b2﹣c2+4ab+10bc＝0，请你探究a，b，c之间满足的等量关系，并说明理由．

29．在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连结BD，CD，其中CD交直线AP与点E．

（1）如图1，若∠PAB＝30°，则∠ACE＝　　；

（2）如图2，若60°＜∠PAB＜120°，请补全图形，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并说明理由．

参考答案

1．B

【解析】

【分析】

根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.

【详解】

A、是轴对称图形，故本选项错误；

B、不是轴对称图形，故本选项正确；

C、是轴对称图形，故本选项错误；

D、是轴对称图形，故本选项错误．

故选：

B．

【点睛】

本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键.

2．C

【解析】

【分析】

直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则和完全平方公式分别化简得出答案．

【详解】

A、（2a2）3＝8a6，故此选项错误；

B、2a2+4a2＝6a2，故此选项错误；

C、a3•a2＝a5，故此选项正确；

D、（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故此选项错误；

故选：

C．

【点睛】

此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算和完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．

3．D

【解析】

【分析】

直接利用已知网格结合三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，可得出原点位置．

【详解】

如图所示：

原点可能是D点．

故选D．

【点睛】

此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质，正确建立坐标系是解题关键．

4．A

【解析】

【分析】

根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，BC＝2BE＝8，根据三角形的周长公式计算即可．

【详解】

∵DE是BC的垂直平分线，

∴DB＝DC，BC＝2BE＝8，

∵△ABC的周长为22，

∴AB+BC+AC＝22，

∴AB+AC＝14，

∴△ABD的周长＝AD+BD+AB＝AD+CD+AB＝AB+AC＝14，

故选：

A．

【点睛】

本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

5．D

【解析】

【分析】

根据因式分解的定义：

就是把整式变形成整式的积的形式，即可作出判断．

【详解】

A选项：

不是因式分解，故是错误的；

B选项：

结果不是乘积形式，故是错误的；

C选项：

结果不是乘积形式，故是错误的；

D选项：

，结果是乘积形式，故是正解的；

故选D.

【点睛】

考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，变形前后都是整式，并且结果是积的形式．

6．B

【解析】

试题分析：

分已知边4cm是腰长和底边两种情况讨论求解．

4cm是腰长时，底边为16-4×2=8，

∵4+4=8，

∴4cm、4cm、8cm不能组成三角形；

4cm是底边时，腰长为

×（16-4）=6cm，

4cm、6cm、6cm能够组成三角形；

综上所述，它的腰长为6cm．

故选：

B．

考点:

1.等腰三角形的性质；2.三角形三边关系.

7．C

【解析】

∵a+b=3，

∴a2-b2+6b=（a+b）（a-b）+6b=3（a-b）+6b=3a-3b+6b=3a+3b=3（a+b）=9，

故选C.

8．D

【解析】

【分析】

由题中条件可得△BDE≌△CFD，即∠BDE＝∠CFD，∠EDF可由180°与∠BDE、∠CDF的差表示，进而求解即可．

【详解】

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵BD＝CF，BE＝CD

∴△BDE≌△CFD，

∴∠BDE＝∠CFD，

∠EDF＝180°﹣（∠BDE+∠CDF）＝180°﹣（∠CFD+∠CDF）＝180°﹣（180°﹣∠C）＝∠C，

∵∠A+∠B+∠C＝180°．

∴∠A+2∠EDF＝180°，

∴∠EDF＝90°﹣

∠A．

故选：

D．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理及全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握是解题关键．

9．﹣27a6b3

【解析】

【分析】

根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘，求解即可．

【详解】

（﹣3a2b）3，

＝（﹣3）3×（a2）3×b3，

＝﹣27×a6×b3，

＝﹣27a6b3．

故答案为：

﹣27a6b3．

【点睛】

本题主要考查积的乘方的性质，幂的乘方的性质，熟练掌握运算方法是解题的关键．

10．（3，-1）.

【解析】

分析：

根据图形和点A、B的坐标画出符合题意的坐标系，根据所画坐标系结合已知条件即可求得点C的坐标.

详解：

如下图，由点A、B的坐标分别为（0，-2），（1，1），建立如图所示的坐标系，

由图可得：

点C的坐标为（3，-1）.

故答案为：

（3，-1）.

点睛：

“根据点A、B的坐标分别为（0，-2），（1，1），建立如图所示的坐标系”是正确解答本题的关键.

11．

或

．

【解析】

【分析】

根据完全平方公式，第一个数为x，第二个数为3，中间应加上或减去这两个数积的两倍．

【详解】

依题意，得

（m+1）x=±2×3x，

解得（m+1）=±6．

所以m=5或－7.

故答案为：

或

．

【点睛】

考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点（第一个数为x，第二个数为3，中间应加上或减去这两个数积的两倍）是解题的关键．

12．10

【解析】

∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，

∵MN//BC，

∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，

∴∠ABO=∠MOB，∠ACO=∠NOC，

∴MO=MB，ON=NC，

∴AM+MN+AN=AM+MO+NO+AN=AB+AC=4+6=10，

故答案为：

10.

13．10

【解析】

（2x+m）（x−5）=2x2−10x+mx−5m=2x2+（m−10）x−5m，

∵结果中不含有x的一次项，

∴m−10=0，即m=10.

故答案为：

10

点睛：

本题考查了多项式乘以多项式法则，解一元一次方程的应用，等得出关于m的方程是解决此题的关键.应用法则时注意：

相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积.

14．60°

【解析】

试题解析：

∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°，

∴∠BCA=∠A=15°，

∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°，

∴∠BCD=180°-（∠CBD+∠BDC）=180°-60°=120°，

∴∠ECD=∠CED=180°-∠BCD-∠BCA=180°-120°-15°=45°，

∴∠CDE=180°-（∠ECD+∠CED）=180°-90°=90°，

∴∠EDF=∠EFD=180°-∠CDE-∠BDC=180°-90°-30°=60°，

∴∠DEF=180°-（∠EDF+∠EFD）=180°-120°=60°．

点睛：

三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．

15．3

【解析】

【分析】

把x2+

配方，根据x﹣

＝1，可以求得x2+

的值，本题得以解决．

【详解】

∵x﹣

＝1，

∴x2+

＝（x﹣

）2+2＝12+2＝1+2＝3，

故答案为：

3．

【点睛】

本题考查完全平方式，解题的关键是可以将所求式子与已知式子建立关系．

16．8

【解析】

【分析】

分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后证明△OP1P2是等边三角形，即可求解．

【详解】

分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N．连接OP，则OP1＝OP＝OP2，∠P1OA＝∠POA，∠POB＝∠P2OB，MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，∴△OP1P2是等边三角形．

△PMN的周长＝P1P2，∴P1P2＝OP1＝OP2＝OP＝8．

故答案为：

8．

【点睛】

本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确作出辅助线，证明△OP1P2是等边三角形是关键．

17．5

【解析】

【分析】

设x2+y2＝z，则原方程左边变为：

z（z﹣4）＝5，解方程可得z的值即可．

【详解】

解：

设x2+y2＝z，则原方程左边变为：

z（z﹣4）＝5，

整理得，z2﹣4z﹣5＝0，

∴（z﹣5）（z+1）＝0，

解得z＝5或z＝﹣1，

∵x2+y2＝z≥0，

∴x2+y2＝5，

故答案为5．

【点睛】

本题主要考查了换元法解一元二次方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．

18．100°或80°．

【解析】

【分析】

分两种情形画出图形分别求解即可解决问题．

【详解】

解：

①如图，当∠BAC是钝角时，由题意：

AB＝AC，∠AEH＝∠ADH＝90°，∠EHD＝80°，

∴∠BAC＝∠EAD＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°．

②当∠A是锐角时，由题意：

AB＝AC，∠CDA＝∠BEA＝90°，∠CHE＝80°，

∴∠DHE＝100°，

∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣100°＝80°，

故答案为100°或80°．

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

19．9×216-8

【解析】

【分析】

原式补上一个因式（2﹣1），利用平方差公式计算即可求出值．

【详解】

解：

原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）（28+1）+1

＝（22﹣1）（22+1）（23+1）（24+1）（28+1）+1

＝（24﹣1）（23+1）（24+1）（28+1）+1

＝（28﹣1）（23+1）（28+1）+1

＝（216﹣1）（23+1）+1

＝9×216﹣8，

故答案为：

9×216﹣8.

【点睛】

此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

20．

（1）

x2+2xy﹣

y2；

（2）﹣6﹣

；（3）x2+4xy+4y2﹣9．

【解析】

【分析】

（1）原式利用多项式除以单项式法则计算即可求出值；

（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；

（3）原式利用平方差公式及完全平方公式化简即可求出值．

【详解】

解：

（1）原式＝

x2+2xy﹣

y2；

（2）原式＝x2﹣4﹣x2﹣2﹣

＝﹣6﹣

；

（3）原式＝（x+2y）2﹣9＝x2+4xy+4y2﹣9．

【点睛】

此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

21．

（1）（x﹣6）（x+1）；

（2）（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）；（3）（y+x﹣3）（y﹣x+3）；（4）（a+2b）2（a﹣2b）2．

【解析】

【分析】

（1）直接利用十字相乘法分解因式得出答案；

（2）直接提取公因式（x﹣y），进而利用平方差公式分解因式即可；

（3）直接将后三项分组进而利用公式法分解因式即可；

（4）直接利用平方差公式以及完全平方公式分解因式得出答案．

【详解】

解：

（1）x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）；

（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）

＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）

＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）；

（3）y2﹣x2+6x﹣9

＝y2﹣（x2﹣6x+9）

＝y2﹣（x﹣3）2

＝（y+x﹣3）（y﹣x+3）；

（4）（a2+4b2）2﹣16a2b2

＝（a2+4b2+4ab）（a2+4b2﹣4ab）

＝（a+2b）2（a﹣2b）2．

【点睛】

此题主要考查了公式法以及分组分解法和十字相乘法分解因式，正确应用公式是解题关键，因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止.

22．∠DEC=115°．

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠C=50°，进而得到∠BAC=80°，由∠BAD=55°，得到∠DAE=25°，由DE⊥AD，进而求出结论．

【详解】

解：

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠B=50°，

∴∠C=50°，

∴∠BAC=180°﹣50°﹣50°=80°，

∵∠BAD=55°，

∴∠DAE=25°，

∵DE⊥AD，

∴∠ADE=90°，

∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=115°．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直定义，熟练应用等腰三角形的性质是解题的关键．

23．①96；②28；③±4.

【解析】

【分析】

①原式提取公因式，将已知等式代入计算即可求出值；

②原式利用完全平方公式变形后，将各自的值代入计算即可求出值；

③原式利用完全平方公式变形后，将各自的值代入计算即可求出值．

【详解】

解：

①∵x+y＝8，xy＝12，

∴原式＝xy（x+y）＝96；

②∵x+y＝8，xy＝12，

∴原式＝（x+y）2﹣3xy＝64﹣36＝28；

③（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝64﹣48＝16，

∴x﹣y＝±4．

【点睛】

此题考查了因式分解﹣提公因式法，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

24．4.

【解析】

【分析】

在x2+x﹣1＝0的两边同时乘以2x，得到2x3﹣2x＝﹣2x2，然后将其整体代入所求的代数式进行解答．

【详解】

解：

由x2+x﹣1＝0得到：

2x3+2x2﹣2x＝0，x2+x＝1，

∴2x3﹣2x＝﹣2x2，

∴2x3﹣x2﹣5x+7

＝2x3﹣2x﹣3x﹣x2+7

＝﹣2x2﹣3x﹣x2+7

＝﹣3（x2+x）+7

＝﹣3×1+7

＝4．

即2x3﹣x2﹣5x+7＝4．

【点睛】

本题考查了整体代入法求代数式的值，等式的性质及单项式与多项式的乘法运算，难度不大，难点在于对已知等式进行变形处理．

25．

（1）证明峥解析；

（2）OE=4EF.

【解析】

试题分析：

（1）先证△ODE≌△OCE，得出△DOC是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一得出OE是CD的垂直平分线；

（2）分别求出∠AOE=30°，∠EDF=30°，根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半求解.

解：

（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，

∴DE=CE，又∵OE=OE，

∴Rt△ODE≌Rt△OCE，

∴OD=OC，

∴△DOC是等腰三角形，

又∵OE是∠AOB的平分线，

∴OE是CD的垂直平分线；

（2）∵OE是∠AOB的平分线,∠AOB=60°，

∴∠AOE=∠BOE=30°，

∵ED⊥OA，CD⊥OE，

∴OE=2DE,∠ODF=∠OED=60°，

∴∠EDF=30°，

∴DE=2EF，

∴OE=4EF.

26．

（1）图形见解析

（2）∠BDC=60°-α（3）PB=PC+2PE

【解析】

试题分析：

（1）按题意补全图形即可；

（2）由点A与点D关于CN对称可得CA=CD，再由∠ACN=α得到∠ACD=2α，由等边△ABC可推得∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°+2α，从而可得；

（3）PB=PC+2PE．在PB上截取PF使PF=PC，连接CF，通过推导可证明△BFC≌△DPC，再利用全等三角形的对应边相等即可得.

试题解析：

（1）如图所示；

（2）∵点A与点D关于CN对称，

∴CN是AD的垂直平分线，

∴CA=CD，

∵

，

∴∠ACD=2

，

∵等边△ABC，

∴CA=CB=CD，∠ACB=60°，

∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°+

，

∴∠BDC=∠DBC=

（180°

∠BCD）=60°

；

（3）结论：

PB=PC+2PE．

本题证法不唯一，如：

在PB上截取PF使PF=PC，连接CF．

∵CA=CD，∠ACD=

∴∠CDA=∠CAD=90°

．

∵∠BDC=60°

，

∴∠PDE=∠CDA

∠BDC=30°

∴PD=2PE．

∵∠CPF=∠DPE=90°

∠PDE=60°．

∴△CPF是等边三角形．

∴∠CPF=∠CFP=60°．

∴∠BFC=∠DPC=120°．

∴在△BFC和△DPC中，

，

∴△BFC≌△DPC．

∴BF=PD=2PE．

∴PB=PF+BF=PC+2PE．

27．

（1）ad+bc；

（2）650＝112+232；（3）20182018＝43132+12572．

【解析】

【分析】

（1）根据材料可得结论；

（2）（3）根据

（2）中材料的形式多次计算可得结论．

【详解】

解：

（1）设a，b，c，d为有理数，则

（a2+b2）（c2+d2）

＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2

＝（a2c2﹣2abcd+b2d2）+（a2d2+2abcd+b2c2）

＝（ac﹣bd）2+（ad+bc）2

故答案为：

ad+bc；

（2）650＝65×10＝（64+1）（1+9）＝（82+12）（12+32）＝（8×1+1×3）2+（8×3﹣1×1）2＝112+232；

（3）20282018＝2018×10001

＝（432+1