50第五十章 数字页码问题.docx
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50第五十章数字页码问题
第五十章数字页码问题
概念
一、页码问题的几种题型:
(1)已知页码数,要求考生求出书中一共含有多少个数码。
(2)已知页码数,要求考生求此书中某个数码出现的次数。
(3)已知书中包含的数码数,要求考生求出该书的页码数。
(4)已知书中某个数码出现的次数,要求考生求出该书的页码数。
页码问题解题基本原理要想要想顺利解答页码问题,首先要弄明白“页码”与“组成它的数码个数”之间的关系。
1.一位数组成的页码共有9个(从1~9),组成所有的一位数需要:
(9-1+1)×1=9×1=9(个)数码。
2.两位数共有90个(从10~99),组成所有的两位数需要:
2×(99-10+1)=180(个)数码。
3.三位数共有900个(从100~999),组成所有的三位数需要:
3×(999-100+1)=2700(个)数码。
4.四位数共有9000个(从1000~9999),组成所有四位数需要:
4×(9999-1000+1)=36000(个)数码。
5.9页的书共有:
9个数码组成。
6.99页的书共有:
9+180=189个数码组成。
7.999页的书共有:
2700+180+9=2889个数码组成。
8.9999页的书共有:
36000+2700+180+9=38889个数码组成。
例题:
1、一本书共204页,需多少个数码编页码?
2、一本小说的页码,在排版时必须用2211个数码.问:
这本书共有多少页?
3、一本书的页码从1至62,即共有62页.在把这本书的各页的页码累加起来时,有一个页码被错误地多加了一次.结果,得到的和数为2000.问:
这个被多加了一次的页码是几?
4、有一本48页的书,中间缺了一张,小明将残书的页码相加,得到1131.老师说小明计算错了,你知道为什么吗?
5、将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数:
123456789101112⋯问:
左起第2000位上的数字是多少?
6、排一本400页的书的页码,共需要多少个数码“0”?
7、有一本96页的书,中间缺了一张。
如果将残书的所有页码相加,那么可能得到偶数吗?
8、将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数:
123456789101112⋯问:
左起第1000位上的数字是多少?
9、有一本科幻故事书,每四页中,有一页为文字,其余三页为图画。
如果第一页为图画,那么第二、三页也是图画,第四页为文字,第五、六、七页又为图画,依此类推。
如果第一页为文字,那么第二、三、四页为图画,第五页为文字,第六、七、八页又为图画,依此类推。
试问:
(1)假如这本书有96页,且第一页是图画,那么这本书多少页有图画?
(2)假如这本书有99页,那么多少页有图画?
10、甲、乙两册书的页码共用了8882个数码,且甲册比乙册多20页,甲册书
有多少页?
11、编一本书的书页,用了270个数字(重复的也算,如页码115用了2个1
和1个5共3个数字),问这本书一共多少页?
()
A.117B.126C.127D.189
12、一本书共204页,需多少个数码编页码?
()
A.501B.502C.503D.504
13、一本书的页码从1开始,经过计算总共出现了202个数字1,问这本书
一共有多少页?
()
A.510B.511C.617D.713
14、一本书共132页,在这本书的页码中,共用了多少个数字?
15、一本书有408页,要把它编出页码1,2,3,4,⋯,407,408,数字2一共要出现几次?
16、排一本辞典的页码共用了2925个数字,请你算一下,这本辞典有多少页?
17、有一本书的中间被撕掉了一张,余下各页的页码数之和正好是1145,那么被撕掉的那一张的页码数是几?
18、一本辞典1998页,把第1页一直到最后的1998页连续放在一起,组成一个很大的数,即:
12345678910111213⋯1998,那么这是一个几位数?
19、一本书100页,计算页码1﹣100这些自然数中的所有数字的和是多少?
20、一本辞典999页,把第1页一直到最后的999页连续放在一起,组成一个数:
12345678910111213⋯997998999.试求,第666个数字是几?
第1999个数字是几?
21、一本科幻小说共320页,问:
(1)印这本科幻小说的页码共要多少个数字?
(2)数字0在页码中共出现了多少次?
22、排一本学生词典的页码,共用了3829个数字,问这本词典共有几页?
23、一本故事书的页码,用了49个0,问这本书共有几页?
24、一本《新编小学生字典》共563页,需要多少个数码编页码?
25、一本书的页码,在排版时用了2691个数码,则这本书一共有多少页?
26、一本书共1000页,把第1页一直到最后的第999页连续放在一起,组成一个很大的数,即12345678910111213⋯999,那么,这是一个几位数?
27、一本书的页码从1至82,共有82页,在把这本书的各页的页码累加起来时,有一个页码被错误的多加了一次,结果得到的和为3440.则这个被多加了一次的页码是多少?
28、将一本书的页码从小到大排列成一个大数:
12345678910111213⋯则从左起第2000位上的数字是几?
29、排一本500页的书的页码,共需要多少个0?
30、有一本68页的书,中间缺了一张,小杰将残书的页码相加,得到2305,老师说小杰一定算错了,你知道为什么吗?
31、一本《儿童时代》共98页,需要多少个数码编页码?
32、一本书的页码为1至82页,即共82页.把这本书的各页的页码累加起来时,有一页码漏加了.结果得到的和数为3396.问这个被漏加的页码是几?
33、一本故事书共180页,需多少个数码编页码?
34、有一本辞典,所编页码共用了3401个数码,这本辞典一共有________页。
35、一本漫画共121页,在这本书的页码中数字一共出现了_______次。
36、一本书共200页,求页码中全部数字的和。
37、一本书的页码从1~120页,在把这本书的各页的页码累加起来时,有一个页码漏加了,结果所得的和是7200,这个被漏加的页码是几?
38、一本书共有139页,求页码中全部数字的和。
39、一本字典共有1235页,求页码中全部数字的和。
40、一本书共有340页,在这本书的页码中共用了_________个数字。
41、一本科普读物,在排牌时共用了972个数码,这本书共有_________页。
42、一本书有256页,在这本书页码中,数字2和0各出现了多少次?
43、一本数学书共有268页,这本书排牌共需多少个数码?
44、有一本书,数字“6在页码中出现了23次,这本书最少有_________页。
45、将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数:
12345678910111213,,在这个大数的左起500位上的数字是_________。
46、一本书的页码从1至200,共有200页。
在把这本书的各每页页码累加起来时,有一个页码被错误地多加了一次,结果所得的和为20195。
求这个被多加了一次的页码是_____。
47、有一本80页的书,中间缺了一张。
如果将残书的所有页码相加,结果能得到偶数吗?
为什么?
48、有一本96页的书,中间缺了一张,小丽将残书的页码相加,得到4741。
小丽的计算正确吗?
为什么?
49、一本书的页码中,一共用了60个0,这本书有_________页。
50、在一本书中,数码1一共出现了145次,这本书有_________页。
51、一本书有197页,求这本书页码中所有数字的和。
52、一本书有169页,这本书页码中所有数字的和是_________。
53、一本辞典有1255页,这本书页码中所有数字的和是_________。
54、把一本书的页码,从10开始,按照从小到大的顺序依次排列,写成一个1000位数,即101112131415,,,这个数的个位上的数字是_________。
55、一本书有500页,在这本书的500个页码中,不含数字0和1的页码有多少个?
56、一本小说的页码,在排版时必须用2211个数码。
问:
这本书共有多少页?
57、一本书的页码从1至62、即共有62页。
在把这本书的各页的页码累加起来时,有一个页码被错误地多加了一次。
结果,得到的和数为2000。
问:
这个被多加了一次的页码是几?
58、有一本48页的书,中间缺了一张,小明将残书的页码相加,得到1131。
老师说小明计算错了,你知道为什么吗?
59、排一本400页的书的页码,共需要多少个数码“0”?
60、一本《小学数学开放题》有120页,如果给每页编上页码,共要多少个数字。
答案与解析
1、分析与解:
1~9页每页上的页码是一位数,共需数码1×9=9(个);10~99页每页上的页码是两位数,共需数码2×90=180(个);100~204页每页上的页码是三位数,共需数码:
(204-100+1)×3=105×3=315(个).综上所述,这本书共需数码:
9+180+315=504(个).
2、分析:
因为189<2211<2889,所以这本书有几百页.由前面的分析知道,这本书在排三位数的页码时用了数码(2211-189)个,所以三位数的页数有(2211-189)÷3=674(页).因为不到三位的页数有99页,所以这本书共有:
99+674=773(页).解:
99+(2211-189)÷3=773(页).答:
这本书共有773页.
3、分析与解:
因为这本书的页码从1至62,所以这本书的全书页码之和为1+2+⋯+61+62=62×(62+1)÷2=31×63=1953.由于多加了一个页码之后,所得到的和数为2000,所以2000减去1953就是多加了一次的那个页码,是2000-1953=47.
4、分析与解:
48页书的所有页码数之和为1+2+⋯+48=48×(48+1)÷2=1176.
按照小明的计算,中间缺的这一张上的两个页码之和为1176-1131=45.这两个页码应该是22页和23页.但是按照印刷的规定,书的正文从第1页起,即单数页印在正面,偶数页印在反面,所以任何一张上的两个页码,都是奇数在前,偶数在后,也就是说奇数小偶数大.小明计算出来的是缺22页和23页,这是不可能的。
5、分析与解:
本题类似于“用2000个数码能排多少页的页码?
”因为(2000-189)÷3=603⋯⋯2,所以2000个数码排到第99+603+1=703(页)的第2个数码“0”.所以本题的第2000位数是0.
6、分析与解:
将1~400分为四组:
1~100,101~200,201~300,301~400.在1~100中共出现11次0,其余各组每组都比1~100多出现9次0,即每组出现20次0.所以共需要数码“0”。
7、解:
假设可能得到偶数,那么计算如下:
如果这本书不缺页,则总96页的所有页码之和是:
1+...+96=4656。
由于书中的每一页都包括连续的一个奇数和一个偶数,所以每一页上的页码之和必定是奇数。
那么:
残书页码和=4656(偶数)-奇数(一页上的两面页码之和)=奇数综上所述:
不可能得到偶数。
8、解:
1~9页每页上的页码是一位数,共需数码1×9=9(个);10~99页每页上的页码是两位数,共需数码2×90=180(个);因为(1000-189)÷3=270⋯⋯1,所以1000个数码排到第:
99+270+1=370(个)数的第1个数码“3”.所以本题的第1000位数是3。
9、解:
(1)将每4页看作是一组,每一组中有3页是图画:
96÷4=2424×3=72(页),这本书有72页是图画。
(2)99÷4=24,324×3+3=75(页),这本书有75页是图画。
10、解:
0~9页有9个数码,10~99有180个数码,100~999有2700个数码
由题义可知,甲和乙的最后页上的页码都在四位数以上。
因为甲比乙多20页,所以乙册书的数码数为:
(8882-20*4)/2=4401个
则乙书含4个数码的页数为:
(4401-9-180-2700)/4=378
则乙书的页数为:
378+900+90+9=1377页
甲书的页数为1377+20=1397页。
11、答案及解析:
B。
本题是已知数码数,求页码数。
一共用了270个数字,其中一位数用了9个数
字,两位数用了180个数字,那么三位数用的数字就是270-9-180=81个数字。
81÷3=27,因此三位数的页码共27页,从100起算,到126页就是27页,因
此这本书一共126页。
故选B。
12、答案及解析:
D。
本题是已知数码数,求页码数。
1~9页每页上的页码是一位数,共需数码1×
9=9(个);10~99页每页上的页码是两位数,共需数码2×90=180(个);100~204
页每页上的页码是三位数,共需数码(204-100+1)×3=105×3=315(个)。
综上所
述,这本书共需数码9+180+315=504(个)。
故选D。
13、答案及解析:
A。
关于三位数字中“1”的出现次数,公式如下:
出现次数=(总数÷5)取整百
+100+(其他多余情况),将四个选项带入公式中只有A项510符合。
【注:
(510
÷5)取整百的结果是100;从501到510这10个数中,1出现了2次,故其他
多余情况为2。
故选A
14、解:
一位数:
1页到9页,有9个数字;两位数:
10页到99页,有90个数,共180个数字;三位数:
100页到132页,有33个数,共99个数字.所以编辑这本书的页码有9+180+99=288个数字.
15、解:
从1到99再分为1到9、10到19、20到29、⋯90到99共10个部分来分析.显然,20到29这个部分2出现11次,其余都仅各出现1次2,即从1到99共出现20次2;同样的道理,从100到199、300到399都各出现20次2,而从200到299,2出现的次数比从1到99多了百位上的100个2,即出现了120次2;从400到408这部分仅出现1次2.所以,408页的书编页中数字2一共要出现20+40+120+1=181次.
16、解:
1﹣9页9个,10到99页,有90×2=180(个),100﹣999页,有900×3=2700(个),以上共9+180+2700=2889个数字;2925﹣2889=36(个),从1000页起,每页用4个数字,用2000个数字的页数为:
36÷4=9页;所以,这本词典共有页数:
999+9=1008页;答:
这本辞典共有1008页.
17、解:
设这本书的页码是从1到n的自然数,正确的和应该是:
1+2+⋯+n=n(n+1),
由题意可知,n(n+1)>1145,
由估算,当n=48时,n(n+1)=×48×49=1176,
1176﹣1145=31,根据书页的页码编排,被撕一张的页码应是奇、偶,其和是奇数,31=15+16.所以,这本书有48页,被撕的一张是第15页和第16页.即这本书共48页,撕掉的是第15页和第16页.
18、解:
1~9共需要9个数字,10~99共需要2×90=180个数字,100~999共需要3×900=1700个数字,1000~1998共需要4×999=3996个数字,所以,这是一个9+180+2700+3996=6885位数.
19、解:
00到99这100个“两位数”,共用数字100×2=200个,数字0到9出现的次数相等,都是200÷10=20次;所以00到99的所有位数字的和是(0+1+2+⋯+9)×20=900;900+1=901;答:
1﹣100这些自然数中的所有数字的和是901.
20、解:
因为共有9个1位数,90个2位数,900个3位数;①666﹣9﹣180=477,所以477÷3=159,因为159是继99后的第159个数,所以此数是258,第三位是8;②1999﹣9﹣180=1810,所以1810÷3=603⋯1,因为此603是继99后的第603个数所以此数是702,它后面的数字是703,第一位数字是7;答:
第666个数字是8,第1999个数字是7.
21、解:
(1)个位数页码1~9共需要9个数字,两位数页码10~99共需要2×90=180个数字,三位数页码100~320共需要221×3=663个数字.则这本书页码共用了9+180+663=852(个)数字.答:
印这本科幻小说的页码共要8个数字.
(2)10~99,共出现了9次;
100~109,共出现了11次;
110~199,共出现了9次;
200~209共出现了11次
210~299共出现了9次
300~309共出现了11次
310~320共出现了2次.
共计:
9×3+11×3+2=62次答:
数字0在页码中共出现了62次.
22、解:
1﹣9页9个,10到99页,有90×2=180(个),100﹣999页,有900×3=2700(个),以上共9+180+2700=2889个数字;3829﹣2889=940(个),从1000页起,每页用4个数字,用2000个数字的页数为:
940÷4=235页;所以,这本词典共有页数:
999+235=1234页;答:
这本辞典共有1234页.
23、解:
1~99共需要9个0,100~199共需要20个0,200~299共需20个0.此时共用了9+20+20=49个零,所以这本书页数可为290~299之间.
24、解:
1~9页共需要9个数字,10~99共需要2×90=180个数字,100~563共需要3×464=1392个数字,所以,1~563页共需要:
9+180+1392=1581(个)数码.
25、解:
个位数页码1~9共需要9个数字;两位数页码10~99共需2×90=180个数字;三位数页码100~999共需3×900=2700个数字;因为2700>2691,2691﹣9﹣180=2502(个),也就是说,三位数字的数有2502个数字;2502÷3=834,说明三位数字的数有834个;834+90+9=933(页);答:
这本书共有933页.
26、解:
9+(99﹣9)×2+(999﹣99)×3=9+180+2700=2889,答:
这是一个2889位数.
27、解:
1+2+3+⋯+82=(1+82)×82÷2,=83×82÷2,=3403.3440﹣3403=37.答:
被多加了一次的页码是37.
28、解:
组成一位数页码1~9需要9个数字,两位数页码10~99需要2×90=180个数字,此时还剩2000﹣9﹣180=1811个数字,能组成三位数页码1811÷3=603个⋯2个.即此时能组三位数页码603个,还剩2个数字.则第2000个数字为100+603=703中的第二个数字为0.即左起第2000位上的数字是0.
29、解:
解:
页码1﹣10间,只有1个0(也即页码10)出现;页码11﹣100间,20~90共有8个0,100页上有2个0,共有10个0;页码101﹣110间,共有10个0,页码为111﹣200的情况与11﹣100间一样,也是10个0,即101~200之间共20个零;所以1~500页中,则数码0在页码中出现的次数是1+10+20×4=91个.故答案为:
91.
30、解:
1+2+3+⋯+68=(1+68)×68÷2,=69×68÷2,=2346.2346﹣2305=41.41=20+21.前偶后奇,不符合据页码的排列规律,所以错了.
31、解:
一位数:
1~9,共需9个数码;两位数:
10~98共需要(98﹣9)×2=178个数码;9+178=187(个)答:
需要187个数码编页码.
32、解:
1+2+3+⋯+82=(1+82)×82÷2,=83×82÷2,=3403.3403﹣3396=7.答:
被漏加的页码是7.
33、解:
数码是指0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字,页码就是由每页上由数码组成的数目。
所以,1~9页有9个数码;10—99页有180个数码;100~180页有81×3=243(个)数码。
一共有9+180+243=432(个)
34、解:
①1~9页用9个数码;10—99页用了180个数码;100~999用了2700个数码;则1~999页共用数码9+180+2700=2889(个)。
②1000~?
页共用数码(3401-2889)=512(个);则512÷4=128(页)。
故这本辞典共有999+128=1127(页)
35、解:
(分类计算)①在个位上,1出现13次(即1,11,21,,101,111,121);②在十位上,1出现20次(即10,11,12,,19;110,111,112,,119);③在百位上,1出
现22次(即100,101,102,,,121)。
综合①②③可知,1在书的页码中共出现(13
+20+22)=55(次)。
36、解:
(分组计算)将0~199分为100组,即0和199,1和198,2和197,,,98和101,99和100.这样,每组的4个数字之和都是19,100组数字之和是19×100=1900,再加上“200”这三数之和为2,故200页中全部数字之和为1900+2=1902。
37、解:
因为1~120累加起来是(1+120)×120÷2=7260,而因漏加页码结果是7200,所以7260+7200=60(页),这60页即为漏加页码。
38、解:
(分段/分组计算),0~99为一段;100~139为一段。
第一段(0~99),可分为(0,99),(1,98),,(49,50)共50组;∵每组数字之和为18,∴18×50=900(50组之和)。
第二段(100~139),可分为(100,139),(101,138),,,(119,120),共20组,
∵每组数字之和为14,∴20组之和为14×20=280。
综合上述情况,可得页码中全部数字的和为900+280=1180。
39、解:
(分段、分组计算),把1~1236分为2段后再分组计算。
第一段(0~999)分为500组,即(0,999),(1,998),(2,997),,,(499,500);∵每组数字和为27,
∴500组数字之和为27×500=13500
第二段(1000~1239)分为120组,即(1000,1239),(1001,1238),,,(1119,
1120);∵每组数字之和是16,∴120组数字之和为16×120=1920。
因为1236~1239页码中的数字之和为(1+2+3)×4+6+7+8+9=54,在这二段中
多计算了,所以,综合上述情况,这本字典页码中全部数字之和为13500+1920-
54=15366。
40、解:
1×9+2×(99-9)+3×(340-99)=1×9+2×90+3×242=9+180+723=912(个)
答:
共用了912个数字。
41、解:
1×9+2×90=189(个)
99+(972-189)÷3
=99+783÷3
=360(页)
答:
这本书有360页。
42、解:
256÷10=25,,6
(1)(25+1)+10×3+57=113(次)
(2)25+10×2=45(次)
答:
数字2出现了113次,数字0出现了45次。
43、解:
1×9+2×90+3×(268-100+1)
=9+180+507
=696(个)
答:
这本书排版共需696个数码。
44、解:
提示:
如果是100页,那么数字“6”在个位出现100÷10=10(次),在十位上出现100÷100×10=10(次)。
而题中已知数字“6”出现了23次。
所以再往下数106,
116,126,数字“6”又出现了3次,共为23次,又因为题中要求这本书最少有多
少页,