4图论组合优化实验解读.docx

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4图论组合优化实验解读

工程数学4.图论（组合优化）实验Gxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

工程数学

Gxxxxxxxxxxxxxxx

E-mail:

xxxxxxxxxxxxxxxTel:

xxxxxxxxxx

4数学建模基础：

4.1.实验目的与要求

学会用图论（组合优化）的方法或思想建模

学会LINGO软件求解组合优化问题

成立相应的数学模型，并对计算结果进行剖析议论

4.2.基本实验

4.2.1.设施更新问题

某企业需要对一台已经使用了2年的机器确立此后4年（n=4）的最优更新策略。

企业要求，用了6

年的机器一定更新，购置一台新机器的价钱是100万元，表4.1给出了该问题的数据，请给出设施的更新

策略。

解：

工程数学4.图论（组合优化）实验Gxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

用图论知识来理解本题。

设用A,B表示决议年度，用数字表示机龄，所以，第1年决议的节点就

是A2，第2年只有两种可能，就是B3（第1年不更新）或B1（第1年更新），以此类推。

则得出Lingo的程序：

sets:

nodes/A2,B3,B1,C4,C2,C1,D5,D3,D2,D1,E6,

arcs（nodes,nodes）/

A2,B3

A2,B1

B3,C4

B3,C1

B1,C2

B1,C1

C4,D5

C4,D1

C2,D3

C2,D1

C1,D2

C1,D1

D5,E1

D5,E6

D3,E4

D3,E1

D2,E3

D2,E1

D1,E2D1,E1

E6,F

E4,F

E3,F

E2,F

E1,F

/:

c,x;

endsets

data

:

–

17.3–

5

30

50

60

80;

enddata

n=

@size（nodes）;

工程数学4.图论（组合优化）实验Gxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

max=@sum（arcs:

c*x）;

@sum（arcs（i,j）|i#eq#1:

x（i,j））=1;

@for（nodes（i）|i#ne#1#and#i#ne#n:

@sum（arcs（i,j）:

x（i,j））-@sum（arcs（j,i）:

x（j,i））=0

）;

@sum（arcs（j,i）|i#eq#n:

x（j,i））=1;

@for（arcs:

@bin（x））;

则得出程序运转结果：

（取非零的x结果）

剖析结果：

A2-B3-C4-D5-E1-F，得悉设施应当是使用5年后再更新设施，为最优更新策略。

4.2.2.运输问题

有甲、乙和丙三个城市，每年分别需要煤炭320万吨、250万吨和350万吨，由A,B两个煤矿负责

供给。

已知煤矿年产量A为400万吨，B为450万吨，从两煤矿至各城市煤炭运价如表4.2所示。

因为需

求大于供给，经磋商均衡，甲城市在必需时可少供给0-30万吨，乙城市需求量须所有知足，丙城市需求量

工程数学4.图论（组合优化）实验Gxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

许多于270万吨。

试求将甲、乙两矿煤炭所有分派出去，知足上述条件又使总运费最低的调运方案。

解：

sets:

From/A,B/:

Capacity;

To/C1,C2,C3/:

Demand;

Routes（From,To）:

D,x;

endsets

!

Theobjective;

[OBJ]min=@sum（Routes:

D*x）;

!

Thesupplyconstraints;@for（From（i）:

[SUP]

@sum（To（j）:

x（i,j））<=Capacity（i））;

!

Thedemandconstraints;

@for（To（j）:

[DEM]

@sum（From（i）:

x（i,j））>=Demand（j））;

!

Herearetheparameters;data:

Capacity=400,450;

Demand=320,250,380;

D=15,18,22,21,25,16;

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Enddata

程序运转结果以下：

（1）

甲

甲’

乙

丙

丙’

销量

A

15

15

19

22

22

400

B

21

21

25

16

16

450

C

M

0

M

M

0

70

运量

290

30

250

270

80

（2）

工程数学4.图论（组合优化）实验Gxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

甲

甲’

乙

丙

丙’

销量

A

15

15

18

22

22

400

-6

B

21

21

25

16

16

450

0

C

M

0

M

M

0

70

-16

产量

290

30

250

270

80

21

21

24

16

16

（3）

甲

甲’

乙

丙

丙’

销量

A

15

15

19

22

22

400

B

21

21

25

16

16

450

C

M

0

M

M

0

70

运量

290

30

250

270

80

（4）

甲

甲’

乙

丙

丙’

销量

A

15

15

18

22

22

400

-6

B

21

21

25

16

16

450

0

C

M

30

M

M

0

70

-16

产量

290

30

250

270

80

21

16

24

16

16

结论：

调整后最优方案的最低花费：

150*15+250*18+140*21+270*16+40*16+30*0+40*0=14650万元

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4.2.3.生产计划与库存管理

（1）某企业生产一种除臭剂，它在1至4季度的生产成本、生产量及订货量表4.3所示。

假如除臭剂在

生产当季没有交货，保存在库房里除臭剂每盒每季度还需1元钱的储藏花费。

假如某个季度的货物供给量

不足，则同意缓期交货，缓期交货的罚金是每盒每季度3元。

请企业希望拟订一个成本最低（包含储藏花费

和罚金）的除臭剂的生产计划，问各季度应生产多少?

（2）假如产品不同意缓期交货，则企业考虑工人加班，已知加班生产出产品的成本要比原成本超出

20%，

且每季度加班最多生产

2万盒。

问：

在这类状况下，将怎样安排生产，使总成本最少

?

解：

（1）设第一季度、第二季度、第三季度、第四时度生产量分别为a、b、c、d，a1为第一季度后

节余量，b1为第二季度后节余量，c1为第三季度后节余量，d1为第四时度后的节余量。

每季度的生产的除臭剂应当小于等于最大产量，大于等于订货量，第一个季度认为的季度中

实质货物量应当等于上月的节余量加该月的产量，以此类推，能够得出；

LINGO的程序：

model:

min=5*a+5*b+6*c+6*d+ya1+b1+c1+d1;

a>=10;

a<=14;

a1=a-10;

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b+a1>=14;

b<=15;

b1=b+a1-14;

c+b1>=20;

c<=15;

c1=c+b1-20;

d+c1>=8;

d<=13;

d1=d+c1-8;

end

程序运转结果以下：

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第一个季度应生产14万盒，第二季度应当生产15万盒，第三季度应当生产15万盒，第

四时度应当生产8万盒除臭剂。

最低花费为288万元。

（2）第1季度加班生产的产品为y1盒，

第2季度加班生产的产品为y2盒，

第3季度加班生产的产品为y3盒，

第4季度加班生产的产品为y3盒，

LINGO的程序：

Model:

min=8*a+9*y1+7*b+8*y2+7*c+8.2*y3+6*d+7.2*y4-78;

a+y1+b+y2+c+y3+d+y4=52;

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a<=13;

a+y1>=10;

b<=15;

a+b+y1+y2>=24;

c<=15;

a+b+c+y1+y2+y3>=44;

d<=13;

End

Lingo程序运转结果：

Lingo运转结果可得：

安排生产：

第一季度正常生产13万盒，不加班生产；第二季度正常生产15万，加班生产1万

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盒；第三季度正常生产15万，不加班生产；第四时度生产8万盒，不加班生产。

总成本最少为

292万元。

4.2.4.指派问题

某企业需要把4项工作派给4名工人，每名工人达成每项工作的花费如表4.4所示，此中甲不可以达成

工作C，丙不可以达成工作D。

（1）确立每名工人达成工作的最优方案；

（2）假定有此外一名工人（戊）能达成这4项工作，达成每项工作相应花费分别为60、45、30和80元。

能否用这名新工人（戊）替代本来的某位工人？

（3）假定企业有了第5项工作（E），4名工人（甲、乙、丙、丁）达成工作E的花费分别为20、10、20

和80元。

这项新工作E比原有的四项工作（A，B，C，D）的某一项优先吗？

解：

依据题意剖析方案。

利用lingo的程序（不行能任务设成999，求min）

sets:

Flight/1..4/;

Assign（Flight,Flight）:

c,x;

endsets

工程数学4.图论（组合优化）实验Gxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

data:

c=50

50

999

20

70

40

20

30

90

30

50

999

70

20

60

70

;

enddata

min=@sum（Assign:

c*x）;

@for（Flight（i）:

@sum（Flight（j）:

x（i,j））=1;

@sum（Flight（j）:

x（j,i））=1;

）;

Lingo程序运转得：

工程数学4.图论（组合优化）实验Gxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

最优方案：

甲达成工作D，乙达成C，丙达成B，丁达成A。

总花费为140元

（2）依据题意增添一个工人（戊），设替代丙方案（且丁达成B任务）。

Lingo的程序：

sets:

工程数学4.图论（组合优化）实验Gxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Flight/1..5/;

Assign（Flight,Flight）:

c,x;

endsets

data:

c=50

50

999

20999

70

40

20

30999

90

30

50

999999

70

20

60

70

999

60

45

30

80

999;

enddata

min=@sum（Assign:

c*x）;

@for（Flight（i）:

@sum（Flight（j）:

x（i,j））=1;

@sum（Flight（j）:

x（j,i））=1;

）;

Lingo程序运转得：

工程数学4.图论（组合优化）实验Gxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

工程数学4.图论（组合优化）实验Gxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

结论：

1119-999=120,花费减少120元。

甲达成D，乙达成C，丙达成5（去掉），丁达成

B，戊达成A。

（3）Lingo的程序：

sets:

Flight/1..5/;

Assign（Flight,Flight）:

c,x;

endsets

data:

c=50

50

99920

20

70

40

20

30

10

90

30

50

999

20

70

20

60

70

80

999999999999

999

;

enddata

工程数学4.图论（组合优化）实验Gxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

min=@sum（Assign:

c*x）;

@for（Flight（i）:

@sum（Flight（j）:

x（i,j））=1;

@sum（Flight（j）:

x（j,i））=1;

）;

Lingo程序运转得：

工程数学4.图论（组合优化）实验Gxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

结论：

1079-999=80，甲达成D，乙达成C，丙达成E，丁达成B，即E比A优先

4.2.5.旅游商问题

张三住在A市，他在A,B,C,D,E和F市都有保险代理业务.因为业务关系，他每个月都需要接见这些城

市作一次。

表4.5给出了每个城市之间的距离，试剖析他依据什么的次序接见这些城市使得总旅游的距离

最短?

（1）用启迪式算法求解；

（2）用LINGO软件求解。

解：

（1）用启迪式算法求解

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由题意得悉，以下几条最为便利的路径：

A-〉B-〉C-〉D-〉E-〉F-〉A

行程

=588+129+483+1288+440+825=3753

公里；

A-〉B-〉C-〉D-〉F-〉E-〉A

行程

=588+129+483+1100+440+1096=3836

公里；

A-〉B-〉C-〉E-〉F-〉D-〉A

行程

=588+129+1638+440+1100+334=4229

公里；

A-〉B-〉C-〉E-〉D-〉F-〉A

行程

=588+129+1638+1288+1100+825=5568

公里；

A-〉B-〉D-〉C-〉E-〉F-〉A

行程

=588+448+483+1638+440+825=4422

公里；

A-〉B-〉D-〉C-〉F-〉E-〉A

行程

=588+448+483+1346+440+1096=4401

公里；

A-〉B-〉D-〉E-〉C-〉F-〉A

行程

=588+448+1288+1638+1364+825=6151

公里；

A-〉B-〉D-〉E-〉F-〉C-〉A

行程

=588+448+1288+440+1364+542=4670

公里；

A-〉B-〉D-〉F-〉C-〉E-〉A

行程

=588+448+1100+1346+1638+1096=6234

公里；

A-〉B-〉D-〉F-〉E-〉C-〉A

行程

=588+448+1100+440+1638+542=4756

公里；

A-〉C-〉B-〉D-〉E-〉F-〉A

工程数学4.图论（组合优化）实验Gxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

行程=542+129+448+1288+440+825=3672公里；

A-〉C-〉B-〉D-〉F-〉E-〉A

行程=542+129+448+1100+440+1096=3755公里；

A-〉C-〉B-〉E-〉D-〉F-〉A

行程=542+129+1675+1288+1100+825=5559公里；

A-〉C-〉B-〉E-〉F-〉D-〉A

行程=542+129+1675+440+1100+825=4711公里；

A-〉C-〉B-〉F-〉D-〉E-〉A

行程=542+129+1410+1100+1288+1096=5565公里；

A-〉C-〉B-〉F-〉E-〉D-〉A

行程=542+129+1410+440+1288+334=4143公里；

A-〉C-〉D-〉B-〉E-〉F-〉A

行程=542+483+448+1675+440+825=4413公里；

A-〉C-〉D-〉B-〉F-〉E-〉A

行程=542+483+448+1410+440+1096=4419公里；

A-〉C-〉D-〉E-〉B-〉F-〉A

行程=542+483+1288+1675+1410+825=6223公里；

（2）用LINGO软件求解

LINGO的程序：

sets:

city/A,B,C,D,E,F/:

u;

link（city,city）:

w,x;

工程数学4.图论（组合优化）实验Gxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

endsets

data:

w=0,588,542,334,1096,825

588,0,129,448,1675,1410

542,129,0,483,1638,1346

334,448,483,0,1288,1100

1096,1675,1638,1288,0,440

825,1410,1346,1100,440,0;

enddata

n=@size（city）;

min=@sum（link:

w*x）;

@for（city（k）:

@sum（city（i）|i#ne#k:

x（i,k））=1;

@sum（city（j）|j#ne#k:

x（k,j））=1;

）;

@for（link（i,j）|

i#gt#1#and#j#gt#1#and#i#ne#j:

u（i）-u（j）+n*x（i,j）<=n-1;

）;

@for（link:

@bin（x））;

程序运转结果以下：

工程数学4.图论（组合优化）实验Gxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

工程数学4.图论（组合优化）实验Gxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

工程数学4.图论（组合优化）实验Gxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

从答案可知：

最短距离为A→C→B→D→E→F→A最短距离3672。

4.2.6.最优连线问题

求5题中6个城市（A,B,C,D,E，F）的最优连线，城市之间的距离如表4.5所示。

解：

sets:

city/A

B

C

DE

F/:

u;

link（city,city）:

w,x;

endsets

data:

!

to:

A

B

C

D

E

F;

w=

0

588

542

334

1096

825

!

fromA;

588

0

129

448

1675

1410

!

fromB;

542

129

0

483

1638

1346

!

fromC;

334

448

483

0

1288

1100

!

fromD;

工程数学4.图论（组合优化）实验Gxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

10961675

1638

12880

440!

fromE;

8251