专题02 十字相乘法与增根全解解析版.docx

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专题02十字相乘法与增根全解解析版

专题02十字相乘法与增根全解

解题核心

一、十字相乘法因式分解（形如ax2+bx+c）

1.二次项系数为1时

x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）

方法特点：

拆常数项，凑一次项.

当常数项为正数时，分解成同号的因数，符号与一次项符号相同；

当常数项为负数时，分解成异号的因数，绝对值较大数的符号与一次项符号相同；

例：

x2+4x+3

→x2+4x+3=（x+1）（x+3）

x2－5x－6

→x2－5x－6=（x+1）（x－6）

2.二次项系数不为1时

ax2+bx+c=a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2=（a1x+c1）（a2x+c2）

此类特点：

拆两头，凑中间

1.当二次项系数为负数时，提取符号，将其转变为正数

2.二次项系数只分解成两个正数的乘积

3.常数项分解参考上一类

4.分解后横向写结果.

例：

2x2－3x－5

→2x2－3x－5=（x+1）（2x－5）

3.多字母

例：

4x2－3xy－y2

→4x2－3xy－y2=（x－y）（4x+y）

二、分式方程的增根与无解

1.增根意义：

（1）增根是所给分式方程去分母后整式方程的根；

（2）

（1）中的根使分式方程分母为0.

2.分式方程无解与增根

无解：

分式方程化成整式方程后，

（1）整式方程无解；

（2）整式方程的所有的解均为增根.

增根：

①是分式方程转化为整式方程后的解；②该解使得原分式方程分母为0.

*分式方程无解≠分式方程有增根；

分式方程有增根≠分式方程无解.

若分式方程无解，且分式方程转化整式方程后有解，则该解必为增根.

释义：

1.分式方程

去分母得：

1=0×x，此方程无解；

2.分式方程

去分母得：

x2=0，解得x=0，此时分母为0，无意义，故x=0是分式方程的增根，此方程无解；

3.分式方程

去分母得：

x（x－1）=0，解得x=0或x=1，x=0是分式方程的增根，分式方程的解为x=1.

4.若分式方程无解，求m值.

去分母得：

x－m=2x+2，x=－m－2，

原方程无解，则x=－1，即－m－2=－1，m=－1.

5.若分式方程m无解，求m值.

去分母得：

x－m=2mx+2m，

（1-2m）x=3m，

因为原方程无解，则：

1-2m=0或，即m=0.5或m=-1.

★

解分式方程时一定要“检验”！

【题型一】十字相乘

【例1－1】

（1）x2+14x+24；

（2）a2－15a+36；

（3）x2+4x－5

【答案】

（1）原式=（x+2）（x+12）

（2）原式=（a-3）（a-12）

（3）原式=（x+5）（x-1）

【例1－2】

（1）x2+x－2；

（2）y2－2y－15；

（3）x2－10x－24

【答案】

（1）原式=（x+2）（x-1）

（2）原式=（y-5）（y+3）

（3）原式=（x-12）（x+2）

【例1－3】

（1）5x2+7x－6；

（2）3x2－7x+2；

（3）10x2－17x+3；

（4）－6t2+11t+10

【答案】

（1）原式=（x+2）（5x-3）

（2）原式=（x-2）（3x-1）

（3）原式=-（2t-5）（3t+2）

【例2－1】

（1）x2-3xy+2y2；

（2）m2-6mn+8n2；

（3）a2-ab-6b2

【答案】

（1）原式=（x-2y）（x-y）

（2）原式=（m-2n）（m-4n）

（3）原式=（a-3b）（a+2b）

【例2－2】

（1）15x2+7xy-4y2；

（2）12x2-11xy-15y2

【答案】

（1）原式=（3x-1）（5x+4）

（2）原式=（3x-5）（4x+3）

【例3－1】

（1）（x+y）2-3（x+y）-10；

（2）（a+b）2-4a-4b+3

（3）12（x+y）2+11（x2-y2）+2（x-y）2

【答案】

（1）原式=（x+y-5）（x+y+2）

（2）原式=（a+b）2-4（a+b）+3

=（a+b-1）（a+b-3）

（3）原式=12（x+y）2+11（x+y）（x-y）+2（x-y）2

=（3x+3y+2x-2y）（4x+4y+x-y）

=（5x+y）（5x+3y）

【例3－2】

（1）（x2-3）2-4x2；

（2）（x2+x）2-17（x2+x）+60

（3）（x2+2x-3）（x2+2x-24）+90

【答案】

（1）原式=（x2-3+2x）（x2-3－2x）

=（x+3）（x-1）（x-3）（x+1）

（2）原式=（x2+x-12）（x2+x-5）

=（x+4）（x-3）（x2+x-5）

（3）令x2+2x=t，

原式=（t-3）（t-24）+90

=t2-27t+162

=（t-9）（t-18）

=（x2+2x-9）（x2+2x-18）

【例4－1】（2020·长沙市月考）如果关于的不等式组有且仅有2个整数解，并且关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和是（）

A．24B．15C．12D．7

【答案】C.

【解析】解：

解①得：

x≥−2，解②得：

x＜，

不等式组的解集为−2≤x＜，

因为不等式组有且仅有2个整数解，

所以−1＜≤0．

解得2≤a＜9

分式方程去分母得：

y＋4a−5a＝3（y−3），

解得：

y＝．

经检验：

a＝5或7是分式方程的解．

则所有整数a的和为12．

故答案为：

C．

【例4－2】（2020·重庆月考）若关于x的分式方程的解为正整数，且关于y的不等式组无解，则满足条件的所有整数a的值之和是（　　　）

A．B．C．D．

【答案】D.

【解析】解不等式组，y>，y≤a

∵不等式组无解，

∴a≤，

分式方程去分母得，4+a=2x-4，

解得，x=，

∵分式的解为正整数，

∴且，

∴且

∴整数a=-6，-2，0，2，

∴整数a之和为：

-6．

故答案为：

D．

【例4－3】（2020·重庆月考）若关于的一元一次不等式组无解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（）

A．7B．8C．14D．15

【答案】C.

【解析】解：

解不等式组，得，

∵不等式组无解，

∴a-1≤6，即a≤7，

解分式方程，得y=，为非负整数，且a≤7，

∴a=-1或1或3或5或7，

a=1时，y=1，原分式方程无解，a=1舍去，

符合条件的所有整数a的和是14，

故答案为：

C．

【例5－1】（2020·河北石家庄市期中）若关于x的分式方程－2＝无解，则m的值为（）

A．0B．2C．0或2D．无法确定

【答案】C.

【解析】解：

分式方程去分母，

得：

（m-2）x=2m-6，

由分式方程无解，

①m-2=0，m=2，

②x−3=0，即x=3，把x=3代入整式方程得：

m=0，

故答案为：

C．

【例5－2】（2020·长沙市月考）请你利用我们学习的“分式方程及其解法”解决下列问题：

（1）已知关于x的方程的解为负数，求m的取值范围；

（2）若关于x的分式方程无解．求n的取值范围．

【答案】见解析．

【解析】解：

（1）去分母，得2mx-1=x+2，

当2m-1≠0时，解得：

x=，

∵方程有解，且解为负数，

∴，解得m＜且m≠；

（2）分式方程去分母整理得：

（n-1）x=2，

当n－1=0时，方程无解，此时n=1；

当n-1≠0时，x=，

要使方程无解，则=3，解得：

n=；

综上，n=或n=1．

【例5－3】（2020·湖南株洲市期中）若分式方程无解，则__________．

【答案】3.

【解析】解：

方程去分母得：

m＝x﹣1，

解得：

x＝m+1，

∴当x＝4时分母为0，方程无解，

即m+1＝4，

∴m＝3时方程无解．

故答案为：

3.

【例5－4】（2020·新乐市月考）若关于的分式方程无解，则________．

【答案】或2.

【解析】解：

去分母可得：

（m-2）x=m+5，当m-2=0时，

∴m=2，此时方程无解，满足题意，

当m-2≠0时，x=，

由于该分式方程无解，x2-1=0，x=1或x=-1

即=-1或1，

解得：

m=，

故答案为：

或2．

【例5－5】（2020·黑龙江齐齐哈尔市期末）如果方程无解，则m=___________．

【答案】1.

【解析】解：

去分母，得x－3=﹣m，

∵原方程无解，

∴x－2=0，即x=2，

把x=2代入上式，得2－3=﹣m，所以m=1．

故答案为1．

【例6－1】（2020·四川省成都期中）关于的分式方程有解，则该满足什么条件？

【答案】见解析.

【解析】解：

原方程整理得：

8x=k+3

∵该分式方程有解，

∴x≠0，且x≠1，

即k+3≠0且k+3≠8，

解得：

k≠-3且k≠5．

【例6－2】（2020·北京师大附中期中）当k为何值时，关于x的方程的解为负数.

【答案】见解析.

【解析】解：

分式方程解得：

x=，

∵方程的解为负数，且使得分式有意义，

∴，

解得k＜3且k≠-12．

【例6－3】（2020·黑龙江绥化市模考）关于的分式方程的解为负数，则的取值范围____．

【答案】见解析.

【解析】解：

原方程化为：

x=1-a，

∵分式方程的解为负数，

∴1-a＜0，

∴a>1

∵x≠1，且x≠-1，

∴1-a≠-1，得a≠2

故答案为：

a＞1且a≠2．

【例6－4】（2020·长沙市月考）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为________．

【答案】k<且k≠.

【解析】解：

去分母得，x-3（x-1）=2k

解得：

x=，

∵分式方程的解为正数，

∴，且

解得，k<且k≠

故答案为：

k<且k≠．

【例7－1】（2020·山东济南市期中）若关于x的方程+3＝有增根，则a＝_____．

【答案】1.

【解析】解：

去分母，得1+3x﹣6＝ax﹣1，

∵方程有增根，

所以x﹣2＝0，x＝2是方程的增根，

将x＝2代入上式，得1+6﹣6＝2a﹣1，

解得a＝1，

故答案为1．

【例7－2】（2020·昌乐县期中）若关于的分式方程有增根，则的值是______．

【答案】－1.

【解析】解：

原分式方程解得：

x=

∵分式方程有增根，

∴=3，解得a=-1．

故答案为：

-1．

【例7－3】（2020·浙江杭州市模拟）关于x的方程有增根，则m的值为___．

【答案】-5.

【解析】解：

分式方程解得：

x=m+4，

因为分式方程由增根，即x=-1

∴m+4=-1

即m=-5

故答案为-5.

【例7－4】（2020·四川成都市期中）已知关于的分式方程．若方程有增根，则的值为_______．

【答案】±4.

【解析】解：

分式方程变为：

mx=-8，

由方程有增根，得x=2或x=-2

∴m=-4或m=4

故答案为：

±4.

【例7－4】（2020·浙江杭州市模拟）关于x的方程有增根，则a的值为_______．

【答案】-2或6.

【解析】解：

方程整理得：

（2-a）x=8，

∵原方程有增根，

∴x=2或x=-2

∴a=-2或a=6

故答案为：

-2或6．

【例7－5】（2020·湖南岳阳市期中）若关于x的分式方程有增根，则a的值为__________．

【答案】5.

【解析】

解：

原方程两边同时乘以（x-5）得：

x-3（x-5）=a，

由题意，x=5，

∴a=5，

故答案为5．