专题02 十字相乘法与增根全解解析版.docx

1、专题02 十字相乘法与增根全解解析版专题02 十字相乘法与增根全解解题核心一、十字相乘法因式分解（形如ax2+bx+c）1. 二次项系数为1时x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）方法特点：拆常数项，凑一次项.当常数项为正数时，分解成同号的因数，符号与一次项符号相同；当常数项为负数时，分解成异号的因数，绝对值较大数的符号与一次项符号相同；例：x2+4x+3 x2+4x+3=（x+1）（x+3）x25x6 x25x6=（x+1）（x6）2. 二次项系数不为1时ax2+bx+c=a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2=（a1x+c1）（a2x+c2）此类特点：拆两头，凑中间1.

2、当二次项系数为负数时，提取符号，将其转变为正数2. 二次项系数只分解成两个正数的乘积3. 常数项分解参考上一类4. 分解后 横向写结果.例：2x23x5 2x23x5=（x+1）（2x5）3. 多字母例：4x23xyy2 4x23xyy2=（xy）（4x+y）二、分式方程的增根与无解1. 增根意义：（1）增根是所给分式方程去分母后整式方程的根；（2）（1）中的根使分式方程分母为0.2. 分式方程无解与增根无解：分式方程化成整式方程后，（1）整式方程无解；（2）整式方程的所有的解均为增根.增根：是分式方程转化为整式方程后的解；该解使得原分式方程分母为0.*分式方程无解分式方程有增根；分式方程有增

3、根分式方程无解.若分式方程无解，且分式方程转化整式方程后有解，则该解必为增根.释义：1. 分式方程去分母得：1=0x，此方程无解；2. 分式方程去分母得：x2=0，解得x=0，此时分母为0，无意义，故x=0是分式方程的增根，此方程无解；3. 分式方程去分母得：x（x1）=0，解得x=0或x=1，x=0是分式方程的增根，分式方程的解为x=1.4. 若分式方程无解，求m值.去分母得：xm=2x+2，x=m2，原方程无解，则x=1，即m2=1，m=1.5. 若分式方程m无解，求m值.去分母得：xm=2mx+2m，(1-2m)x=3m，因为原方程无解，则：1-2m=0或，即m=0.5或m=-1.解分式

4、方程时一定要“检验”！【题型一】十字相乘【例11】（1）x2+14x+24；（2）a215a+36；（3）x2+4x5【答案】（1）原式= (x+2)(x+12)（2）原式= (a-3)(a-12)（3）原式= (x+5)(x-1)【例12】（1）x2+x2；（2）y22y15；（3）x210x24【答案】（1）原式= (x+2)(x-1)（2）原式= (y-5)(y+3)（3）原式= (x-12)(x+2)【例13】（1）5x2+7x6；（2）3x27x+2；（3）10x217x+3；（4）6t2+11t+10【答案】（1）原式= (x+2)(5x-3)（2）原式= (x-2)(3x-1)（

5、3）原式=-(2t-5)(3t+2)【例21】（1）x2-3xy+2y2；（2）m2-6mn+8n2；（3）a2-ab-6b2【答案】（1）原式= (x-2y)(x-y)（2）原式= (m-2n)(m-4n)（3）原式= (a-3b)(a+2b)【例22】（1）15x2+7xy-4y2；（2）12x2-11xy-15y2【答案】（1）原式= (3x-1)(5x+4)（2）原式= (3x-5)(4x+3)【例31】（1）（x+y）2-3（x+y）-10；（2）（a+b）2-4a-4b+3（3）12（x+y）2+11（x2-y2）+2（x-y）2【答案】（1）原式=（x+y-5）（x+y+2）（2

6、）原式=（a+b）2-4（a+b）+3=（a+b-1）（a+b-3）（3）原式=12（x+y）2+11（x+y）（x-y）+2（x-y）2=（3x+3y+2x-2y）（4x+4y+x-y）=（5x+y）（5x+3y）【例32】（1）（x2-3）2-4x2；（2）（x2+x）2-17（x2+x）+60（3）（x2+2x-3）（x2+2x-24）+90【答案】（1）原式=（x2-3+2x）（x2-32x）=（x+3）（x-1）（x-3）（x+1）（2）原式=（x2+x-12）（x2+x-5）=（x+4）（x-3）（x2+x-5）（3）令x2+2x=t，原式=（t-3）（t-24）+90=t2-27

7、t+162=（t-9）（t-18）=（x2+2x-9）（x2+2x-18）【例41】（2020长沙市月考）如果关于的不等式组有且仅有2个整数解，并且关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）A24 B15 C12 D7【答案】C.【解析】解：解得：x2，解得：x，不等式组的解集为2x， 因为不等式组有且仅有2个整数解，所以10 解得2a9分式方程去分母得：y4a5a3（y3），解得：y经检验：a5或7是分式方程的解则所有整数a的和为12故答案为：C【例42】（2020重庆月考）若关于x的分式方程的解为正整数，且关于y的不等式组无解，则满足条件的所有整数a的值之和是（）A B

8、C D【答案】D.【解析】解不等式组，y，ya不等式组无解，a，分式方程去分母得，4+a=2x-4，解得，x=，分式的解为正整数，且，且整数a=-6，-2，0，2，整数a之和为：-6故答案为：D【例43】（2020重庆月考）若关于的一元一次不等式组无解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）A7 B8 C14 D15【答案】C.【解析】解：解不等式组，得，不等式组无解，a-16，即a7，解分式方程，得y=，为非负整数，且a7，a=-1或1或3或5或7，a=1时，y=1，原分式方程无解，a=1舍去，符合条件的所有整数a的和是14，故答案为：C【例51】（2020河北石家庄

9、市期中）若关于x的分式方程2无解，则m的值为（ ）A0 B2 C0或2 D无法确定【答案】C.【解析】解：分式方程去分母，得：（m-2）x=2m-6，由分式方程无解，m-2=0，m=2，x3=0，即x=3，把x=3代入整式方程得：m=0，故答案为：C【例52】（2020长沙市月考）请你利用我们学习的“分式方程及其解法”解决下列问题：（1）已知关于x的方程的解为负数，求m的取值范围；（2）若关于x的分式方程无解求n的取值范围【答案】见解析【解析】解：（1）去分母，得2mx-1=x+2，当2m-10时，解得：x=， 方程有解，且解为负数，解得m且m；（2）分式方程去分母整理得：（n-1）x=2，当

10、n1=0时，方程无解，此时n=1；当n-10时，x=，要使方程无解，则=3，解得：n=；综上，n=或n=1【例53】（2020湖南株洲市期中）若分式方程无解，则_【答案】3.【解析】解：方程去分母得：mx1，解得：xm+1，当x4时分母为0，方程无解，即m+14，m3时方程无解故答案为：3.【例54】（2020新乐市月考）若关于的分式方程无解，则_【答案】或2.【解析】解：去分母可得：（m-2）x=m+5，当m-2=0时， m=2，此时方程无解，满足题意，当m-20时，x=，由于该分式方程无解，x2-1=0，x=1或x=-1即=-1或1，解得：m=，故答案为：或2【例55】（2020黑龙江齐齐

11、哈尔市期末）如果方程 无解，则m=_【答案】1.【解析】解：去分母，得x3=m，原方程无解，x2=0，即x=2，把x=2代入上式，得23=m，所以m=1故答案为1【例61】（2020四川省成都期中）关于的分式方程有解，则该满足什么条件？【答案】见解析.【解析】解：原方程整理得：8x=k+3 该分式方程有解，x0，且x1，即k+30且k+38，解得：k-3且k5【例62】（2020北京师大附中期中）当k为何值时，关于x的方程的解为负数.【答案】见解析. 【解析】解：分式方程解得：x=，方程的解为负数，且使得分式有意义，解得k3且k-12【例63】（2020黑龙江绥化市模考）关于的分式方程的解为负

12、数，则的取值范围_【答案】见解析. 【解析】解：原方程化为：x=1-a，分式方程的解为负数，1-a0，a1x1，且x-1，1-a-1，得a2故答案为：a1且a2【例64】（2020长沙市月考）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为_【答案】k且k.【解析】解：去分母得，x-3（x-1）=2k解得：x=，分式方程的解为正数，且解得，k且k故答案为：k且k【例71】（2020山东济南市期中）若关于x的方程+3有增根，则a_【答案】1.【解析】解：去分母，得 1+3x6ax1，方程有增根，所以x20，x2是方程的增根，将x2代入上式，得1+662a1，解得a1，故答案为1【例72】（2020昌

13、乐县期中）若关于的分式方程有增根，则的值是_【答案】1.【解析】解：原分式方程解得：x=分式方程有增根，=3，解得a=-1故答案为：-1【例73】（2020浙江杭州市模拟）关于x的方程有增根，则m的值为_【答案】-5.【解析】解：分式方程解得：x=m+4，因为分式方程由增根，即x=-1m+4=-1即m=-5故答案为-5.【例74】（2020四川成都市期中）已知关于的分式方程若方程有增根，则的值为_【答案】4. 【解析】解：分式方程变为：mx=-8，由方程有增根，得x=2或x=-2m=-4或m=4故答案为：4.【例74】（2020浙江杭州市模拟）关于x的方程有增根，则a的值为_【答案】-2或6.【解析】解：方程整理得：（2-a）x=8，原方程有增根， x=2或x=-2a=-2或a=6故答案为：-2或6【例75】（2020湖南岳阳市期中）若关于x的分式方程有增根，则a的值为_【答案】5.【解析】解：原方程两边同时乘以（x-5）得：x-3（x-5）=a，由题意，x=5，a=5，故答案为5