几何最值之费马点巩固练2.docx
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几何最值之费马点巩固练2
几何最值之费马点巩固练习(提优)
1.如图,P是锐角△ABC所在平面上一点,如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P就叫做△ABC费马点。
(1)当△ABC是边长为4的等边三角形时,费马点P到BC边的距离为;
(2)若点P是△ABC的费马点,∠ABC=60°,PA=2,PC=3,则PB的值为;
(3)如图2,在锐角△BC外侧作等边△ACB',连接BB'.求证:
BB'过△ABC的费马点P.
【解答】
(1)
;
(2)
;(3)见解析
【解析】
(1)延长AP,交BC于D,如图所示:
∵AB=AC=BC,∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,
∴P为三角形的内心,
∴AD⊥BC,BD=CD=2,∠PBD=30°,
,
,
,
;
(2)∵∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=60°,
∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°,
∴∠PAB=∠PBC,
又∵∠APB=∠BPC=120°,
∴△ABP∽△BCP,
,即
;
(3)证明:
在BB'上取点P,使∠BPC=120°,连接AP,再在PB'上截取PE=PC,连接CE,如图所示:
∵∠BPC=120°,∴∠EPC=60°,
∴△PCE为正三角形
∴PC=CE,∠PCE=60°,∠CEB'=120°
∵△ACB'为正三角形,
∴AC=B'C,∠ACB'=60°,
∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB'=60°,∠PCA=∠ECB',
∴△ACP≌△B'CE,
∴∠APC=∠B'EC=120°,PA=EB',
∠APB=∠APC=∠BPC=120°,
∴P为△ABC的费马点,
∴BB'过△ABC的费马点P.
2.如图1,P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点:
(1)若点P是等边三角形三条中线的交点,点P(填是或不是)该三角形的费马点;
(2)如果点P为锐角△ABC的费马点,且∠ABC=60°,求证:
△ABP∽△BCP;
(3)已知锐角△ABC,分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD,CE和BD相交于P点,如图2,
①求∠CPD的度数;
②求证:
P点为△ABC的费马点.
【解答】
(1)是;
(2)见解析;(3)①∠CPD=60º,②见解析
【解析】
(1)延长AP与BC交于点N,延长BP交AC于点M,如图所示:
∵AB=BC,BM是AC的中线,
∴MB平分∠ABC,
同理:
AN平分∠BAC,PC平分∠BCA,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABP=30°,∠BAP=30°
∴∠APB=120°
同理:
∠APC=120°,∠BPC=120°,
∴P是△ABC的费马点;
(2)∵∠PAB+∠PBA=180-∠APB=60°,∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°,
∴∠PAB=∠PBC,
又∵∠APB=∠BPC=120°,
∴△ABP∽△BCP;
(3)如图所示,
①∵△ABE与△ACD都为等边三角形,
∴∠BAE=∠CAD=60°,AE=AB,AC=AD,
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,即∠EAC=∠BAD,
在△ACE与△ABD中,
,
∴△ACE≌△ABD(SAS),
∴∠1=∠2,
∵∠3=∠4,
∴∠CPD=∠6=∠5=60°;
②证明:
∵△ADF∽△CFP,
∴AF·PF=DF·CF,
∵∠AFP=∠CFD,
∴△AFP∽△CDF
∴∠APF=∠ACD=60°,
∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°,
∴∠BPC=120°,
∴∠APB=360°-∠BPC-∠APC=120°,
∴P点为△ABC的费马点.
3.如图,在平面直角坐标系
中,△ABC三个顶点的坐标分别为
,延长AC到点D,使CD=
,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.
(1)求D点的坐标;
(2)作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,若过B点的直线
将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式;
(3)设G为y轴上一点,点P从直线
与y轴的交点出发,先沿y轴到达G点,再沿GA到达A点,若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍,试确定G点的位置,使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短.
【解答】
(1)
;
(2)
;(3)
【解析】
(1)∵
,
,
设DE与
轴交于点M,由DE∥AB可得△DMC∽△AOC,
又∵
,
,
,同理可得EM=3,
;
(2)由
(1)可得
,由DE∥AB,EM=MD可得y轴所在直线是线段ED的垂直平分线,
∴点C关于直线DE的对称点F在y轴上,∴ED与CF互相垂直平分,
∴CD=DF=FE=EC,
∴四边形CDFE是菱形,且点M为对称中心,
作直线BM,设BM与CD、EF分别交于点S、T,如图所示:
易证△FTM≌△CSM,∴FT=CS,
∵FE=CD,∴TE=SD,
∵EC=DF,∴TE+EC+CS+ST=SD+DF+FT+TS,
∴直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形,
由点B(6,0),点
在直线
上,∴直线BM的解析式为
;
(3)设点P在直线AG上的运动速度为
,点P在y轴上的运动速度为2
,
则点P到达点A的时间为
,
过点G作GH⊥BM于点H,如图所示:
易证△MGH∽△MBO,则
,
,
.
要使t最小,则GH+GA最小,即当点G、A、H三点一线时,t有最小值,
确定G点位置的方法:
过A点作AH⊥BM于点H,则AH与y轴的交点为所求的G点,
由OB=6,
,可得∠OBM=60°,∴∠BAH=30°,
在Rt△OAG中,
,
∴G点的坐标为
(或G点的位置为线段OM的靠近O点的三等分点).
4.如图,点M为锐角三角形ABC内任意一点,连接AM、BM、CM.以AB为一边向外作等边三角形△ABE,将BM绕点B逆时针旋转60°得到,连接EN.
(1)求证:
△AMB≌△ENB;
(2)若AM+BM+CM的值最小,则称点M为△ABC的费马点。
若点M为△ABC的费马点,试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数.
【解答】
(1)见解析;
(2)AMB、∠BMC、∠CMA都等于120º
【解析】
(1)证明:
∵△ABE为等边三角形,
∴AB=BE,∠ABE=60°,
而∠MBN=60°,
∴∠ABM=∠EBN,
在△AMB与△ENB中,
,∴△MB=△ENB(SAS)
(2)连接MN,如图所示:
由
(1)知,AM=EN,
∵∠MBN=60°,BM=BN,∴△BMN为等边三角形,
∴BM=MN,∴AM+BM+CM=EN+MN+CM,
当E、N、M、C四点共线时,AM+BM+CM的值最小,
此时,∠BMC=180°-∠NMB=120°,
∠AMB=∠ENB=180°-∠BNM=120°,
∠AMC=360°-∠BMC-∠AMB=120°.
5.已知锐角△ABC,∠ACB=60°,分别以三边为边向形外作等边三角形ABD,BCE,ACF,请找出△ABC的费马点,并探究S△ABC与S△ABD的和,S△BCE与S△ACF的和是否相等.
【解答】S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF
【解析】证明:
过点A作AM∥FC交BC于点M,连接DM、EM,如图所示:
∵∠ACB=60°,∠CAF=60°,
∴∠ACB=∠CAF,
∴AF∥MC,
四边形AMCF是平行四边形,
又∵FA=FC,
∴四边形AMCF是菱形,
∴AC=CM=AM,且∠MAC=60°,
∵在△BAC与△EMC中,
CA=CM,∠ACB=∠MCE,CB=CE,
∴△BAC≌△EMC,
∵∠DAM=∠DAB+∠BAM=60°+∠BAM,
∠BAC=∠MAC+∠BAM=60°+∠BAM,
∴∠BAC=∠DAM,
在△ABC和△ADM中,
AB=AD,∠BAC=∠DAM,AC=AM,
∴△ABC≌△ADM(SAS),
故△ABC≌△MEC≌△ADM,
在B上截取CM,使CM=CA,
再连接AM、DM、EM(辅助线这样做△AMC就是等边三角形了,后边证明更简便),
易证△AMC为等边三角形,
在△ABC与△MEC中,
CA=CM,∠ACB=∠MCE,CB=CE,
∴△ABC≌△MEC(SAS),
∴AB=ME,∠BC=∠MEC,
又∵DB=AB,
∴DB=ME,
∵∠DBC=∠DBA+∠ABC=60°+∠ABC,
∠BME=∠BCE+∠MEC=60°+∠MEC,
∴∠DBC=∠BME,
∴DB∥ME,
即得到DB与ME平行且相等,故四边形DBEM是平行四边形,
∴四边形DBEM是平行四边形,
∴S△BDM+S△DAM+S△MAC=S△BEM+S△EMC+S△ACF,
即S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF.