第9讲 比例百分数.docx
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第9讲比例百分数
小升初名校真题专项测试-----比例百分数
测试时间：
15分钟姓名_________测试成绩_________
1、有甲、乙两堆煤，如果从甲堆运12吨给乙堆，那么两堆煤就一样重。
如果从乙堆运12吨给甲堆，那么甲堆煤就是乙堆煤的2倍。
这两堆煤共重（ ）吨。
（06年三帆中学入学测试题）
【解】从甲堆运12吨给乙堆两堆煤就一样重说明甲堆比乙堆原来重12×2=24吨，这样乙堆运12吨给甲堆，说明现在甲乙相差就是24+24=48吨，而甲堆煤就是乙堆煤的2倍，说明相差1份，所以现在甲重48×2=96吨，总共重量为48×3=144吨。
2、有两桶水：
一桶8升，一桶13升，往两个桶中加进同样多的水后，两桶中水量之比是5：
7，那麽往每个桶中加进去的水量是升。
（06年实验中学入学测试题）
【解】此题的关键是抓住不变量：
差不变。
这样原来两桶水差13-8=5升，往两个桶中加进同样多的水后，后来还是差5升，所以后来一桶为5÷（7-5）×5=12.5，所以加入水量为4.5升。
3、将75％的酒精溶液32克稀释成浓度为40％的稀酒精，需加入水多少克？
【解】稀释时加入的水溶液浓度为0％（如果需要加入干物质，浓度为100％），标注数值的方法见下图
所以32÷8×7＝28
4、甲、乙两种商品，成本共2200元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利润定价，后来都按定价的90%打折出售，结果仍获利131元，甲商品的成本是________元.（06年清华附中入学测试题）
设方程：
设甲成本为X元，则乙为2200-X元。
根据条件我们可以求出列出方程：
90%×[（1+20%）X+（1+15%）（2200-X）]-2200=131
解得X=1200。
5、100千克刚采下的鲜蘑菇含水量为99%，稍微晾晒后，含水量下降到98%，那么这100千克的蘑菇现在还有多少千克呢？
（05年101中学入学题）
【解】转化成浓度问题
相当于蒸发问题，所以水不变，列方程得：
100×（1-99%）=（1-98%）X，解得X=50。
方法二：
做蒸发的题目，要改变思考角度，本题就应该考虑成“98％的干蘑菇加水后得到99％的湿蘑菇”，这样求出加入多少水份即为蒸发掉的水份，就又转变成“混合配比”的问题了。
但要注意，10千克的标注应该是含水量为99％的重量。
将100千克按1∶1分配，如下图：
99%（100千克）
浓度差之比1﹕1
重量比1﹕1
所以蒸发了100×1/2=50升水。
6、一堆围棋子黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2:
1；再拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1:
5，开始时黑棋子和白棋子各有多少枚？
（03年人大附中入学测试题）
【解】第二次拿走45枚黑棋，黑子与白子的个数之比由2:
1（=10：
5）变为1:
5，而其中白棋的数目是不变的，这样我们就知道白棋由原来的10份变成现在的1份，减少了9份。
这样原来黑棋=45÷9×10=50，白棋=45÷9×5+15=40。
7、实验小学有科技、美术、体育三个课外活动小组，其中科技小组的人数是三个小组人数的
，美术小组与体育小组人数的比是3：
5，体育小组比美术小组多12人.三个课外活动小组各多少人?
（06年三帆中学入学测试题）
【解】设美术小组为3份，这样体育小组就是5份，所以科技小组就是（3+5）÷2×3=12份。
体育小组比美术小组多12人，所以1份就是12÷（5-3）=6人，所以各小组人数分别为18、30、72。
8、小松读一本书，已读与未读的页数之比是3：
4，后来天又读了33页，已读与未读的页数之比变为5：
3，这本书共有________页.（06年西城某重点中学入学测试题）【解】抓住关键的不变量，这样我们发现书本的总页数是不变的，所以原来为3+4=7份。
后来为5+3=8份，统一单位，所以[7、8]=56，即设整书为5份，这样读过：
总共的比由原来的3：
7（=24：
56）变为5：
8（=35：
56），而这是又读了33页引起的，所以1份=33÷（35-24）=3页，
所以书总共有3×56=168页。
【解二】33÷（
-
）=168（页）
第九讲小升初专项训练-----比例百分数
引言：
这一讲是六年级中的一个重要内容，同学们在以前也接触过不少的题型，因此，我们把和这一讲有关的知识分为分数百分数，比和比例，经济浓度这三个部分来给大家讲解。
【典型题目解析】：
【例1】（★★★）学校男生人数占45％，会游泳的学生占54％。
男生中会游泳的占72％，问在全体学生中不会游泳的女生占百分之几？
【解1】在全体学生中，不会游泳的女生占33.4％.
在全体学生中，会游泳的男生占 45％×72％＝32.4％.
在会游泳的学生中，男生占 32.4％÷54％×100％＝60％
在全体学生中，不会游泳的女生占（100％-45％）-54％×（1-60％）＝33.4％.
【解2】画一个图非常清楚。
【例2】、（★★）有若干堆围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆中白子都占28%。
小明从某一堆中拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子。
现在，在所有余下的棋子中，白子将占32%。
那么，共有棋子多少堆？
[方法一]：
[思路]：
拿走的全部是黑子，那么白子的数量没有变，可以作为拿出前后的基准。
解：
拿出前：
因为每堆棋子数一样多且白子都占28%，所以，白子：
黑子=28：
72=7：
18，黑子是白子的18/7；
拿出后：
在拿出的那一堆中，白子：
黑子=7：
[18-（7+18）/2]=14：
11，
即拿出黑子数是这对白子数的18/7-11/14=25/14；
在总数中，白子：
黑子=32：
68=8：
17，黑子是白子的17/8；
黑子对白子总数相差=18/7-17/8=25/56，即拿出黑子数是白子总数的25/56；
所以，堆数=（25/14）/（25/56）=4堆。
答：
共有棋子4堆。
[方法二]：
[思路]：
把比例问题处理成浓度问题
解：
将每一堆白子占28%的棋子看成是浓度28%的溶液，那么
本题相当于浓度=28/（100-50）=56%的溶液50克中，需要加入多少克浓度28%的溶液，才能使浓度变为32%。
原液：
添加液=（32-28）：
（56-32）=4：
24=1：
6，即需要添加=6×50=300克，
所以，共有棋子=（300+100）/100=4堆。
答：
共有棋子4堆。
[方法三]：
[思路]：
有若干堆棋子，每堆一样多，且白子都占28%。
则白子占总数的28%。
从某一堆中拿走一半，且拿走的都是黑子，则白子数没有变。
拿走黑子后，在所有棋子中，白子将占32%。
说明剩下的棋子总数与原来棋子总数的比是28%：
32%=7：
8。
现有棋子为7份，原有棋子为8份。
比原来少1份。
这1份是原来一堆的一半。
则原来一堆是2份。
则原有8份是8/2=4堆。
解：
28%：
32%=7：
8，8-7=1
1/（1/2）=2，8/2=4。
答：
共有棋子4堆。
【例3】、（★★★）有一堆糖果，其中奶糖占45%，再放入16块水果糖后，奶糖就只占25%。
那么，这堆糖果中有奶糖多少块？
[方法一]：
[思路]：
总量数量是变化的，不能作为单位“1”但奶糖的数量没有变化，因此我们可以以奶糖的数量作为基准。
解：
奶糖占45%，奶糖：
水果糖=45%：
（100%-45%）=9：
11，即原来水果糖是奶糖的11/9；
放入16块水果糖后，奶糖：
水果糖=25%：
（100%-25%）=1：
3，即后来水果糖是奶糖的3倍；
3-11/9=16/9，即放入的16块水果糖占奶糖的16/9，
所以，奶糖数=16/（16/9）=9块。
答：
这堆糖果中有奶糖9块。
[方法二]：
[思路]：
放入水果糖后，奶糖的数量是不变的，我们要抓住这个不变量来当做处理的中心，原来奶糖为45%，就是占9/20，后来为25%，占总数的1/4，因为奶糖是不变的，所以把奶糖所占的分子处理成9，即1/4=9/36，这样总数就由原来的20份变成36份。
增加了16份=16块糖，所以原来奶糖9份=9块
解：
45%=9/20，25%=1/4=9/36，36-20=16，16÷16=1，1×9=9（块）
答：
这堆糖果中有奶糖9块。
[总结]：
这个题中，我们要抓住的就是关键的总量是不变的，然后牢牢抓住其他变量的变化跟这个量什么关系，这种处理方法在比例问题中要学会熟练处理。
[方法三]：
原来奶糖占45%，放入16块水果糖后，奶糖占25%。
奶糖数没有变。
则原来糖的总数与放入水果糖后糖的总数比是25%：
45%=5：
9。
原来糖的总数是5份，现在糖的总数是9份。
比原来多9-5=4份，即16块。
则每份是16/4=4块。
原来糖的总数是4×5=20块。
奶糖是20×45%=9块。
解：
25%：
45%=5：
9，9-5=4，16/4=4，4×5=20，20×45%=9。
答：
这堆糖果中有奶糖9块。
【例4】、（★★★）某商品按原定价出售，每件利润为成本的25%。
后来按原定价的90%出售，结果每天售出的件数比降价前增加了1.5倍。
问后来每天经营这种商品的总利润比降价前增加了百分之几？
[方法一]：
特殊值法
[思路]：
比例问题中可以大胆设未知量，到最后一般都会消去，但特殊值法可以减少我们的计算量。
解：
假设降价前每天销售100件，每件原定价100元，则
原来每天利润:
100×（1-4/5）×100=2000元，
降价后每天利润：
100×（90%-4/5）×100×（1+1.5）=2500元，
每天利润增加=（2500-2000）/2000=1/4=25%。
答：
后来每天经营这种商品的总利润比降价前增加了百分之二十五。
[方法二]：
[思路]：
原定价利润为成本的25%，则原定价是成本的1+25%=125%=5/4。
则原定价的90%是成本的125%×90%=9/8。
利润是成本的9/8-1=1/8。
按原定价的90%出售，每天的售出件数比降价前增加了1.5倍。
即是降价前售出件数的1+1.5=2.5倍。
则后来每天的利润与原来每天的利润比是1/8×2.5：
25%×1=5：
4。
则后来利润增加了（5-4）/4=25%。
解：
（1+25%）×90%=9/8，9/8-1=1/8，
1/8×（1+1.5）=5/16，5/16：
25%=5：
4，
（5-4）/4=25%。
答：
后来每天经营这种商品的总利润比降价前增加了25%
【例5】、（★★★★）某次数学竞赛设一、二、三等奖。
已知：
①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:
6；③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍。
那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？
解：
1、甲、乙两校获一等奖的人数相等，且甲校获一奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:
6，
甲乙两校获奖总人数的比=6：
5；甲校占两校获奖总数的比=6/（6+5）=6/11，乙校=5/11；
2、甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%，占两校获奖总人数的比=（6/11）×50%=3/11；
3、甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%，且甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍，所以，甲校获二等奖的人数占总数的比=（4.5/5.5）×20%=9/55；
所以，甲校获一等奖的人数占两校获奖总数的比=6/11-3/11-9/55=6/55，
占该校总数的比=（6/55）×（11/6）=1/5=20%，
那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分比=20%×6/5=24%。
答：
乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于24%。
【例6】（★★★★）某校四年级原有2个班，现在要重新编为3个班，将原一班的1/3与原二班的1/4组成新一班，将原一班的1/4与原二班的1/3组成新二班，余下的30人组成新三班。
如果新一班的人数比新二班的人数多10%，那么原一班有多少人？
【解】：
原一班的1/3与原二班的1/4+原一班的1/4与原二班的1/3=7/12总人数，
余下1-7/12=5/12，是30人，所以总人数=30/（5/12）=72人；72-30=42人，新一班与新二班的人数和为42人，新一班的人数比新二班的人数多10%，新一班人数：
新二班人数=11：
10，即原一班的（1/3-1/4）=1/12比原二班的1/12多2人，原一班比原二班共多12×2=24人，所以，原一班有24+（72-24）/2=48人。
答：
原一班有48人。
【例7】、（★★★）幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生。
已知大班男生数与女生数的比为5:
3，中班中男生数与女生数的比为2:
1，那么大班有女生多少名？
[方法一]：
鸡兔同笼
[思路]：
由于男女生有比例关系，而且知道总数，所以我们可以用鸡兔同笼。
解：
假设18名女生全部是大班，则
大班男生数：
女生数=5:
3=30：
18，即男生应有30人，
实际男生有32人，32-30=2，相差2个人；
中班男生数：
女生数=2:
1=6：
3，
以3个中班女生换3个大班女生，每换一组可增加1个男生，需要换2组；
所以，大班女生有18-3×2=12个。
答：
大班有女生12名。
[方法二]：
份数
[思路]：
可以把中班女生数看作“1”份，那么中班男生数为2份．从而大班中的男生数为32—2份，大班里的女生人数是18—1份．根据题意有（32—2份）：
（18—1份）=5：
3，只要求出1份的数目即可。
解：
设中班女生数看作1份，（32—2份）：
（18—1份）=5：
3，求出一份是6人
所以大班的女生则有18—6=12人．
答：
大班有女生12名。
[方法三]：
二元一次方程
解：
设大班中男生数为5x，则大班里的女生数是3x；同时设中班有2y个男生，那么中班女生有y人．根据题意，列出方程组如下：
由
（2）式可知y=18—3x，代入
（1）式中得
5x+2（18—3x）=32
解出x=4
则3x=3×4=12（名）
[总结]：
二元一次方程的运用可以说基本上所有题目都可以解，但对学生的要求比较高，而且速度比较慢，建议知识作为一种辅助的方法。
【例8】（★★★）某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是4∶3.结果录取91人，其中男生与女生人数之比是8∶5.未被录取的学生中，男生与女生人数之比是3∶4.问报考的共有多少人？
【解1】报考人数是119人，
录取学生中男生：
91×
=56人，女：
91-56=35（人）.
先将未录取的人数之比3：
4变成4：
4×
，又有56×
＝42（人）
未录取男生4×3=12（人），女生16（人）。
报考人数是（56+12）+（35+16）=119（人）。
【解2】
（56+3x）：
（35+4x）=4：
3得：
X=4
未录取男生4×3=12（人），女生16（人）。
报考人数是（56+12）+（35+16）=119（人）。
【例9】、（★★）甲乙两包糖的重量比是4:
1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲乙两包糖的重量比变为7:
5。
那么两包糖重的总和是多少？
[方法一]：
[思路]：
从甲包取出部分放入乙包，总重量不变。
这样我们就可以将总重量看作单位“1”，从拿出10克前后所占总重量的比例变化求得答案。
解：
在10克糖未取出前，甲包糖占总重量的
；
从甲包取出10克放入乙包后，甲包糖占总重量的
，这就是说比原来减少了
－
=
.
而这正好是10克糖对应的份数，这也就是说10克糖占总重量的
．
故总重量是10÷
=
=（克）
答：
两包糖重的总和是46
克。
[总结]：
这个题是很典型的比例问题，我们要抓住的就是关键的总量是不变的，这样一来我们只要找出变的量跟总量是什么关系就能求出答案。
[方法二]：
方程
解：
设甲包糖重量是4x（克），乙重量是x（克），
则两包糖重量的总和是5x（克）．根据题意列出方程
（4x-10）：
（x+10）=7：
5
7（x+10）=5（4x－10）
7x+70=20x－50
13x=120
x=
5x=
=46
（克）
答：
两包糖重的总和是46
克。
[总结]：
已知两个量的比是4：
1，一般设比数，设其中一个量是4x，另一个量是x，这是解决问题时常用的一种方法
【例10】（★★★）小明到商店买红、黑两种笔共66支。
红笔每支定价5元，黑笔每支定价9元。
由于买的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价85％付钱，黑笔按定价80％付钱，如果他付的钱比按定价少付了18％，那么他买了红笔多少支？
（北京市第14届迎春杯数学竞赛初赛试题）
【解】浓度倒三角的妙用：
红笔按85％优惠，黑笔按80％优惠，结果少付18％，相当于按82％优惠，可按浓度问题进行配比。
与其他题不同的地方在于红、黑两种笔的单价不同，要把这个因素考虑进去。
然后就可以按比例分配这66支笔了。
【例11】（★★★）制鞋厂生产的皮鞋按质量共分10个档次，生产最低档次（即第1档次）的皮鞋每双利润为24元。
每提高一个档次，每双皮鞋利润增加6元。
最低档次的皮鞋每天可生产180双，提高一个档次每天将少生产9双皮鞋。
按天计算，生产哪个档次的皮鞋所获利润最大？
最大利润是多少元？
【解】第9档次；7776元。
由题意，生产第n（n=1，2，…，10）档次的皮鞋，每天生产的双数为189－9n=9×（21－n）双，每双利润为18＋6n=6×（3＋n）（元），所以每天获利润［6×（3＋n）］×［9×［（21－n）］=54×（3＋n）×（21－n）元。
两个数的和一定时，这两个数越接近，这两个数的乘积越大。
上式中，因为（3+n）与（21－n）的和是24，而n=9时，（3＋n）与（21－n）都等于12，所以每天生产第9档次的皮鞋所获利润最大，最大利润是54×（3＋9）×（21－9）＝7776（元）。
【课外知识】
勾股定理
勾股定理：
在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。
这个定理在中国又称为"商高定理"，在外国称为"毕达哥拉斯定理"。
为什么一个定理有这么多名称呢？
商高是公元前十一世纪的中国人。
当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。
在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。
商高说：
"…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。
"什么是"勾、股"呢？
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。
商高那段话的意思就是说：
当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。
以后人们就简单地把这个事实说成"勾三股四弦五"。
由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作"商高定理"。
毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。
希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为"毕达哥拉斯定理"，以后就流传开了。
关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说：
"故禹之所以治天下者，此数之所由生也。
""此数"指的是"勾三股四弦五"，这句话的意思就是说：
勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。
勾股定理的应用非常广泛。
我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载：
"禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。
"这段话的意思是说：
大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。
小升初专项模拟测试题---比例百分数测试题
1、（★★）圆珠笔和铅笔的价格比是4：
3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71.5元。
问圆珠笔的单价是每支多少元？
[方法一]：
[思路]：
价格比是4：
3，但笔的数目不一样，但我们仍可以找出他们的比例关系，再处理成份数问题。
解：
因为圆珠笔和铅笔的价格比是4：
3，那么20支圆珠笔和21支铅笔的价格比就是4×20：
3×21=80：
63，
20支圆珠笔的用了：
71.5×80/（80+63）=40元，
每支圆珠笔的价格=40/20=2元。
答：
圆珠笔的单价是每支2元。
[总结]：
小升初中，常把份数，百分数，比例问题处理成份数问题，一定要有这种思维。
[方法二]：
方程
[思路]：
比例问题中设x是最好蛇比数，这样可以避免分数的出现。
解：
设圆珠笔的价格为4x，则铅笔的价格就是3x
20×4x+21×3x=71.5
解得：
x=0.5，所以圆珠笔的价格是2元。
[方法三]：
[思路]：
圆珠笔与铅笔的的价格比是4：
3。
则买一个铅笔的钱可以买3/4个圆珠笔。
买21支铅笔的钱可以买圆珠笔21×3/4=63/4个。
买20支圆珠笔和21支铅笔与买20+63/4=143/4支圆珠笔的钱相等。
即71.5元。
解：
71.5/（20+21/4×3）=2。
圆珠笔的单价是每支2元。
[总结]：
把几个有比例关系的变量处理成一个相关量，这是比例问题中难度相当高的方法，如果掌握好，可以大大提高解题的速度
2、（★★★）某中学，上年度高中男、女生共290人.这一年度高中男生增加4％，女生增加5％，共增加13人.本年度该校有男、女生各多少人？
【解】男生156人，女生147人。
如果女生也是增加4％，这样增加的人数是290×4％＝11.6（人）.比13人少1.4人.因此上年度女生人数是1.4÷（5％-4％）＝140（人）.本年度女生有
140×（1＋5％）＝147（人）.
3、（★★★）在下图中AB，AC的长度是15，BC的长度是9.把BC折过去与AC重合，B点落在E点上，求三角形ADE与三角形ABC面积之比.
【解】1∶4. 三角形ADE与三角形EDC面积之比是 （15-9）∶9.
4、（★★★）李师傅以1元钱3个苹果的价格买进苹果若干个，以1元钱2个苹果的价格将这些苹果卖出，卖出一半后，因为苹果降价只能以2元钱7个苹果的价格将剩下的苹果卖出．不过最后他不仅赚了24元钱，还剩下了1个苹果，那么他买了多少个苹果？
[思路]：
经济问题都是和成本相关的，所以我们建立在成本之上，这样我们只要分别考虑前后的利润即可。
解：
1元钱3个苹果，也就是一个苹果1/3元，1元钱2个苹果，也就是一个苹果1/2元，卖出一半后，苹果降价只能以2元钱7个苹果的价格卖出，也就是每个2/7元，大家很容易算得两种销售方法有赚有亏。
在前一半的每个苹果可算得是挣1/2—1/3=1/6元，而后一半的每个苹果可算得是亏了1/3—2/7=1/21。
因为赚与亏的正好是一半对一半，因此我们可以假设后一半也全卖完了，即剩下的1个苹果统一按亏的价卖得2/7元，就会共赚取24又2/7元钱。
接着可假设从前一半中取一个苹果与后一半中取一个苹果，“一一对应”捆绑销售，这样每卖出一捆可赚得1/6—1/21=5/42元，现在可以用“包含除”了，24又2/7元里包含多少个5/42就说明有多少双苹果。
可列式为（24+2/7）÷[（1/2—1/3）—（1/3—2/7）]×2=408个
5、（★★★）一个分数
把它的
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