异面直线所成角求法总结加分析.docx
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异面直线所成角求法总结加分析
异面直线所成的角
一、平移法：
常见三种平移方法：
直接平移：
中位线平移（尤其是图中出现了中点）：
补形平移法：
“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直接平移法
1在空间四边形ABCD中，AD=BO2,E,F分别为ABCD的中点，EF=伍，求ADBC所
成角的大小.
解：
设BD的中点G连接FGEG在生FG中EF=J3FG=EG=1
•••/EGM120°/-AD与BC成60°的角。
2.正ABC的边长为a，S为厶ABC所在平面外的一点，S心S吐SC=a，E,F分别是SC和AB的中点•求异面直线SA和EF所成角.
答案：
45°
3.S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图S心S吐SC，且NASA乂BSC^NCSA=彳，
MN分别是AB和SC的中点.求异面直线SM与BN所成的角的余弦值.
证明：
连结CM设Q为CM勺中点，连结QN则QN/SM
连结BQ设SOa,在经QN中
BN=daNQ=舟SM=丄aBQ=-^a
2244
•••COSQN圧
4.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，ZBCA=90°,MN分别是AB和AQ的中点，若BOCA
=CC，求BM与AN所成的角.
解：
连接MN作NG/BM交BC于G,连接AG
易证ZGNA就是BM与AN所成的角.
设：
BC=CACG=2,贝UAG=AN=.5,GN=BM=6,
cosZGNAf65-530。
2©/6述/510
7.长方体ABC—A1B1C1D中，若AB=BC=3AA=4,求异面直线BiD与BG所成角的大小。
解法二：
如图⑤，在平面DDBB中过B点作BE//DB交DB的延长线于E，则/CBE就是异面直线DB与BC所成的角，连结GE,在△QE中，
/CBE=135,CE=3>/5，cos/CBE=7皿，•zCBE=arccos^34。
170170
练习：
8.如图，PM矩形ABCD已知PA=AB=8BC=10求AD与PC所成角的余切值为。
9.
在长方体ABCD-ABiGD中，若棱BBi=BC=1AB斗3，求DB和AC所成角的余弦值.
中位线平移法：
构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为
平面问题，解三角形求之。
所成的角。
连结EB,由已知有皿扁，BC=5，be=325，
解法一：
如图①连结BiC交BG于0,过0点作OE/DB，则/BOE为所求的异面直线DB与BG
•cos/BOE-7、34
170
•••zBOEerccos7-34
170
解法二：
如图②，连DBAC交于O点，过O点作OE//DB,过E点作EF//CB,则/OEF或其补角就是两异面直线所成的角，过0点作OWDC连结MROF。
则OF=f3，cos/OEF=签4，
i—
•••异面直线BiD与BC所成的角为arccos^34。
170
解法三：
如图③，连结DB交DB于0,连结DA,贝U四边形ABCD为平行四边形。
在平行四边
形ABCD中过点0作EF//BC交ABDC于E、F,则ZDOF或其补角就是异面直线DB与BC所成的角。
在A\DF中DF=—1,cosZDOF=^—4,/./DOF=arccos—^4。
2170170
课堂练习
10.在正四面体ABCD中，已知E是棱BC的中点，求异面直线AE和BD所成角的余弦值。
补形平移法：
在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。
解法一：
如图⑥，以四边形ABCD为上底补接一个高为4的长方体ABCD-ACD2,连结D2B，
则DB//D2B,•••QBD或其补角就是异面直线DB与BC所成的角，连CD2，则△21D2C2为Rt△cos/CBD=—，二异面直线DB与BC所成的角是arccos了^34。
170170
D,
Di
D.
DiL-i
图⑦
图⑥
课堂练习：
11.求异面直线AC与BD所成的角的余弦值。
在长方体ABCD-AiGD的面BG上补上一个同样大小的长方体，
将AG平移到BE则/DBE或其补角就是异面直线AC与BD
二、利用模型求异面直线所成的角
模型1引理：
已知平面a的一条斜线a与平面a所成的角为Bi,平面a内的一条直线b与斜线a所成的角为0,与它的射影a'所成的角为02。
求证：
cos0=cosBcosB。
在平面a的斜线a上取一点P,过点P分别作直线c、b的垂线POPB垂足为OB
连接OB贝UOBLb.
AO在直角ZAOP中，cos^=—.
AP
AB
在直角△KBC中,cos屯二仝B•
AO
AB在直角△KBP中,cost-AB.
AP
所以cos円cosr2=cosT.
证明：
设PA是a的斜线，OA是PA在a上的射影，
OB//b，如图所示。
贝UZPAO=0i,ZPAB=0,/OAB0,过点O在平面a内作OBLAB垂足为B,连结PB,
OAAB
可知PB丄AB所以cos0i=——,cos0=——,cos02=
PAPA
所以cos0=cos01cos02。
利用这个模型来求两条异面直线a和b所成的角，即引理中的角0。
需：
过a的一个平面a,以及该平面的一条斜线b以及b在a内的射影。
12.
如图，MAL平面ABCD四边形ABCD是正方形，且MA=AB=,a试求异面直线MB与AC所成的角。
解：
由图可知，直线MB在平面ABCD内的射影为AB,
直线MB与平面ABCD所成的角为45°
直线AC与直线MB的射影AB所成的角为45°
所以直线AC与直ME所成的角为0,满足
2ACBD
cos肛cos45°8S45。
=丄，所以直线AC与MB所成的角为602
13.
A在底面ABC上的射影为BC的中
已知三棱柱ABC-AB。
的侧棱与底面边长都相等,
点，则异面直线AB与CCi所成的角的余弦值为（D）
（A）仝（B）二（C）辽（D）
444
解：
设BC的中点为D,连结AD,AD易知日=ZAiAB即为异面直线AB与CG所成的角，由三角余弦定理，易知cost-cos/RADcos三DAB二"AD=-.故选D
A1AAB4
14.如图，在立体图形P-ABCD中,底面ABCD是一个直角梯形，/BAD=90,AD//BC,AB=BC=a
AD=2a且PAL底面ABCDPD与底面成30°角，AELPD于B求异面直
线AE与CD所成的角的大小。
解：
过E作AD的平行线EF交AD于F,由PA丄底面ABC冈知，直线AE在平面ABCD内的射影为AF,直线AE与平面ABCD所成的角为ZDAE其大小为60°,
射影AF与直线CD所成的角为/CDA其大小为45。
，所以直线与直线所
成的角B满足cosB=cos60°cos45°=—2，所以其大小为arccos2。
44
所以有:
15.长方体ABCD-ABQD中，AB=AA=2cmAD=1crp求异面直线AG与BD所成的角。
解：
连结BG、AB在四面体为二，易求得
由定理得:
M
5
a迟
&=arccos—
所以:
二、向量法求异面直线所成的角
16.如图，在正方体ABCD-ABQD中，E、F分别是相邻两侧面BCGB及CDDG的中心。
求AE和BiF所成的角的大小。
解法一：
（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。
作法：
连结BE,取BiE中点G及AB中点H,连结GH有GH//AE。
过F作CD的平行线RS分别交CC、DD于点RS,连结SH,连结GS由B1H//C1D//FS，BiH=FS可得BiF//SH。
在HHS中设正方体边长为a。
GH-^a（作直线GQ//BC交BB于点Q
4
连QH可知43QH为直角三角形），
P
i
S
、6
HS=』a（连AS,可知MAS为直角三角形）
2
，GS=0a（作直线GP交BC于点P,连PD,可
4
1
知四边形GPDS^直角梯形）。
•••Cos/GHS=1
6
所以直线AE与直线BF所成的角的余弦值为1。
6
解法二：
（向量法）
分析：
因为给出的立体图形是一个正方体，所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角。
以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB为z轴，设
则点A的坐标为（0,2,2）,点E的坐标为（1,0,1）,点B1的坐标为（0,0,所以向量EA'的坐标为所以这两个向量的夹角
2）,点F的坐标为（2,1,1）;
（-1,2,1）,向量B1F的坐标为（2,1,-1）,
9满足
EA1B1F
（-1）2211（-1）
cos9=__.
|EA1||B1F|、（一1）2⑵2
（1）2飞⑵2
（1）2（-1）2
所以直线AE与直线BF所成的角的余弦值为-
6
17.已知空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=、N分别为BC和AD的中点，设AM和
CN所成的角为a,求COSa的值。
（平移法也可）
解：
由已知得，空间向量AB,AC,AD不共面，且两两之间的夹角均为60°由向量的加法可以得到
——一1一一——1一一
AM=—（AB+AC）,NC=AD+AC
22
所以向量AM与向量NC的夹角9（即角a或者a的补角）
AMNC
满足cos9=，其中
|AM||NC|
一11-
•NC=—（AB+AC）•（AD+AC）
22
11-
AB•AD+AB•AC+（AD）AC+AC•AC）22
（11
+-
4
21
AM
|AM|2=
2
|NC12=（
1八12
+1）=—a;
242
11
（AB+AC）丄（AB+AC）=-（1+1+1）
24
1一一1一一11
AD+AC）（AD+AC）=—+1—
2242
23
a=-
4
23
a=_a
4
2。
所以cosa=|COS
18.已知空间四边形ABCD中,AB=CD=,E、F分别是BCAD上的点，且BE2,EF=7，求AB和CD所成的角的大小。
解：
取AC上点G,使AGGC=12。
连结EGFQ可知EG//AB,FG//CD,3EG=2AB3FG=CD由向量的知识可知EF=EG+GF=2BA+」CD,
33
9|=-。
3
EC=AFFD=1:
设向量BA和CD的夹角为9
22—1—
则由|EF|2=（2BA+丄CD）
33
得cos9=丄，所以AB和CD所成的角为60°
2
2一1—-
•（一BA+-CD）=4+1+4cos9=7,
33
19.（思考题）如图，已知平行六面体ABC—AB1CD中，底面ABC［是边长为a的正方形,
侧棱AA长为b,且AA与ABAD的夹角都是120°求：
（1）AC的长；
（2）直线BD与AC所成的角的余弦值
技巧与方法：
数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用
解：
（1）|AGI2=AGAC^（AA1AC）（AA!
AC）
=（AA,ABAD）（AAABAD）
1FryiryIryBIII3I
彳AA,|2|AB|2|AD|22AA,AB2AA,AD2ABAD由已知得：
|AA,|2=b2,|ABf=|AD|2=a2
:
AA；,AB=：
：
AA,,AD^=120，:
AB,AD彩二90
11
.AA|AB=bacos120ab,AA1AD=bacos120ab,ABAD=0,
22
.|AC1I2=2a2b2-2ab,.IAG|=2a2b2-2ab.
（2）依题意得,|AC|=、.2a,AC=ABAD
BD^=ADPA=~AAAD—AB
.ACBD1=（ABAD）（AA1AD—AB）
•-hhhh22*■
=ABAAADAA1ABADAD-AB-ABAD»ab
|BD1|2=BD1BD^（AA^'AD-AB）（AA^'AD—AB）
^AAJ2IAD|2|AB|22AA1AD-2ABAD-2AA1AB=2a2b2
判断是非：
（1）（3）（8）（10）正确，其余错；
选择：
1（C）;2（D）;3（D）;4（D）.5.
（2）相交，（5）平行，其余异面；（6）:
（D），取AB中
点MCC中点N,连B1E和BF;（7）答案：
（A），延长B1A1至M使AWAD,连MA取AB中点N.8（D）;9（E）;10（D）;11（C）;
3.4，取AD中点E,贝UZMEN^90°
3
4.丄，取AC中点F,连EF、BF,求得BE=-AD=5，BF=-AO3.2;
522
5.◎，分别取ACB1G的中点P、Q,贝UPMQ是矩形，设CC=M3a,贝UMP=-a;
52
6.丄，取AC中点F,连EF、BF,贝UEF=4,BE=BF=3.
6
异面直线所成的角---作业
，错误的打“X”）
班级：
姓名:
一、判断是非（下列命题中，正确的打
（1）梯形的四个顶点在同一平面内；
（3）平行于同一直线的两直线平行；
（5）两条直线确定一个平面；（6）
（7）无公共点的两直线异面；（8）
（9）两异面直线可以同时平行于一直线；
（11）不同在一个已知平面内的两直线异面;
二、选择题
1.没有公共点的两条直线的位置关系是（）
学号：
（2）对边相等的四边形是平行四边形；
（4）垂直于同一直线的两直线平行；
经过三点可以确定一个平面；
两异面直线无公共点；
（10）两异面直线可以同时垂直于一直线；
（12）互相垂直的两条直线必可确定一平面
（A）平行（B）异面（C）平行或异面（D）不能确定
2.分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是（）
（A）异面（B）平行（C）平行或异面（D）平行或异面或相交
3.两条异面直线指的是（）
（A）在空间不相交的两条直线（B）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
（C）分别位于两个不同平面的两条直线（D）不同在任一平面内的两条直线
4.
a、b是异面直线，b、c也是异面直线，那么a、c的位置是（）
8.
正方体ABC—A1B1GD中，直线BC与AC
9.设a、b、c是空间中的三条直线，下面给出四个命题:
①如果a丄b、b±c,贝Ua//c；②如果a和b相交，b和c相交，则a和c也相交;
3如果a、b是异面直线，c、b是异面直线，则a、c也是异面直线;
4如果a和b共面，b和c共面，则a和c也共面，
在上述四个命题中，真命题的个数是（）
（A）4（B）3（C）2（D）1（E）0
10.如果直线I和n是异面直线，那么和直线I、n都垂直的直线
（A）不一定存在（B）总共只有一条
（C）总共可能有一条，也可能有两条（D）有无穷多条
11.
如图，四面体SABC的各棱长都相等，如果EF与SA所成的角等于
（A）90，（B）60，（C）45，（D）30，
.如图，四面体ABC冲，ACLBD,且AO4，BD=3，MN分别是ABCD的中点，求MN和
BD所成角的正切值
4.如图，四面体ABCDKAB丄BC,AB丄BD,BC丄CD,且A吐BC=6,BD=8,E是AD中点,
5.
求BE与CD所成角的余弦值
6.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体,求MN与CC所成角的余弦值。
7.如图，四面体ABCD中,E为AD中点，若AOCD=D心8,A吐BD=5,BO7,求BE与
CD所成角的余弦值。
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