异面直线所成角求法总结加分析.docx

1、异面直线所成角求法总结加分析异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补 形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处 理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。直接平移法1在空间四边形 ABCD中，AD= BO 2, E, F分别为AB CD的中点，EF=伍，求AD BC所成角的大小.解：设BD的中点G 连接FG EG 在生FG中EF = J3 FG = EG= 1/EGM 120 /-AD与 BC成 60的角。2.正 ABC的边长为a，S为厶ABC所在平面外的一点，S心S吐SC

2、= a，E, F分别是SC和 AB的中点求异面直线SA和EF所成角.答案：453.S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图 S心S吐SC，且N ASA 乂 BSCN CSA=彳，M N分别是AB和SC的中点.求异面直线SM与 BN所成的角的余弦值.证明：连结CM设Q为CM勺中点，连结QN则QN/SM连结BQ设SO a,在经QN中BN= da NQ =舟 SM=丄 a BQ =-a2 2 4 4COSQN 圧4.如图，在直三棱柱 ABC- ABC中，ZBCA= 90, M N分别是AB和AQ的中点，若BO CA=CC，求BM与 AN所成的角.解：连接MN作NG/BM交BC于G,连接AG易证ZGN

3、A就是 BM与 AN所成的角.设：BC= CA CG= 2,贝U AG= AN= .5 , GN= BM= 6 ,cos ZGNAf 6 5 -5 30。2/6述/5 107.长方体ABC A1B1C1D中，若AB=BC=3AA=4,求异面直线 BiD与BG所成角的大小。解法二：如图，在平面DDBB中过B点作BE/DB交DB的延长线于E，则/CBE就是异面直 线DB与BC所成的角，连结 GE,在QE中，/CBE=135, CE=3/5，cos /CBE=7皿，zCBE=arc cos 34。170 170练习：8.如图，PM矩形ABCD已知PA=AB=8 BC=10求AD与PC所成角的余切值为

4、。9.在长方体ABCD- ABiGD中，若棱B Bi=BC=1 AB斗3，求D B和AC所成角的余弦值.中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。所成的角。连结EB,由已知有皿扁，BC=5，be=325，解法一：如图连结BiC交BG于0,过0点作OE/DB，则/BOE为所求的异面直线DB与BG cos /BOE-7、34170zBOEerc cos 7-34170解法二：如图，连DB AC交于O点，过O点作OE/DB,过E点作EF/CB,则/OEF或其补 角就是两异面直线所成的角，过0点作OWDC连结MROF。则OF=f3，cos

5、/OEF=签4，i异面直线BiD与BC所成的角为arc cos 34。170解法三：如图，连结DB交DB于0,连结DA,贝U四边形ABCD为平行四边形。在平行四边形ABCD中过点0作EF/BC交AB DC于E、F,则ZDOF或其补角就是异面直线 DB与BC 所成的角。在 ADF中 DF=1 , cosZDOF=4 , /./DOF=arccos4。2 170 170课堂练习10.在正四面体ABCD中，已知E是棱BC的中点，求异面直线 AE和BD所成角的余弦值。补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。解法一：如图，以四边形ABCD为上底补接一个高为4的长方体ABCD-AC

6、D2,连结D2B，则DB/D2B, QBD或其补角就是异面直线 DB与BC所成的角，连CD2，则21D2C2为Rt cos /CBD= ，二异面直线DB与BC所成的角是arc cos 了34。170 170D,DiD.DiL-i图图课堂练习：11.求异面直线AC与BD所成的角的余弦值。在长方体ABCD-AiGD的面BG上补上一个同样大小的长方体，将AG平移到BE则/DBE或其补角就是异面直线 AC与BD二、利用模型求异面直线所成的角模型1引理：已知平面a的一条斜线a与平面a所成的角为Bi,平面a内的一条直线b与 斜线a所成的角为0,与它的射影a所成的角为02。求证：cos 0= cos B c

7、os B。在平面a的斜线a上取一点P,过点P分别作直线c、b的垂线PO PB垂足为O B连接OB贝U OBL b.AO 在直角ZAOP中，cos =.APAB在直角KBC中, cos屯二仝B AOAB 在直角KBP中, cost - AB.AP所以 cos 円 cosr2 =cosT.证明：设PA是a的斜线，OA是PA在a上的射影，OB/b，如图所示。贝U ZPAO=0i, ZPAB=0, /OAB0, 过点O在平面a内作OBL AB垂足为B,连结PB,OA AB可知 PB丄AB 所以 cos 0i=,cos 0=,cos 02=PA PA所以 cos 0= cos 01 cos 02。利用这

8、个模型来求两条异面直线 a和b所成的角，即引理中的角0。 需：过a的一个平面a,以及该平面的一条斜线b以及b在a内的射影。12.如图，MAL平面ABCD四边形ABCD是正方形，且MA=AB=,a试求异面直线 MB与AC所成 的角。解：由图可知，直线 MB在平面ABCD内的射影为AB,直线MB与平面ABCD所成的角为45直线AC与直线MB的射影AB所成的角为45所以直线AC与直ME所成的角为0 ,满足2AC BDcos肛cos45 8S45。=丄，所以直线AC与MB所成的角为60 213.A在底面ABC上的射影为BC的中已知三棱柱ABC -AB。的侧棱与底面边长都相等,点，则异面直线AB与CCi

9、所成的角的余弦值为（D）（A）仝 （B）二 （C）辽 （D）4 4 4解：设BC的中点为D,连结AD, AD易知日=ZAiAB即为异面直线AB与CG所成的角，由 三角余弦定理，易知cost -cos/RAD cos三DAB二AD =-.故选DA1A AB 414.如图，在立体图形 P-ABCD中,底面ABCD是一个直角梯形，/BAD=90, AD/BC, AB=BC=aAD=2a且PAL底面ABCD PD与底面成30角，AEL PD于B 求异面直线AE与CD所成的角的大小。解：过E作AD的平行线EF交AD于F,由PA丄底面ABC冈知，直线 AE在平面ABCD内的射影为AF,直线AE与平面ABC

10、D所成的角为 ZDAE其大小为60,射影AF与直线CD所成的角为/CDA其大小为45。，所以直线与直线所成的角B满足cos B=cos60 cos45 =2，所以其大小为 arccos 2。4 4所以有:15.长方体ABCD- ABQD中，AB=AA=2cm AD=1crp求异面直线 AG与BD所成的角。解：连结BG、AB在四面体为二，易求得由定理得:M 5a 迟&= arccos所以 :二、向量法求异面直线所成的角16.如图，在正方体 ABCD-ABQD中，E、F分别是相邻两侧面 BCGB及CDDG的中心。求AE 和BiF所成的角的大小。解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直

11、线，也可平移两条直线到某个点 上。作法：连结BE,取BiE中点G及AB中点H, 连结GH有GH/AE。过F作CD的平行线RS 分别交CC、DD于点R S,连结SH,连结GS 由 B1H/C1D/FS，BiH=FS 可得 BiF/SH。在HHS中设正方体边长为a。GH-a （作直线GQ/BC交BB于点Q4连QH可知43QH为直角三角形），PiS、6HS=a （连AS,可知MAS为直角三角形）2，GS=0 a （作直线GP交BC于点P,连PD,可41知四边形GPDS直角梯形）。Cos/GHS=16所以直线AE与直线BF所成的角的余弦值为1。6解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体，

12、 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用 点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB为z轴，设则点A的坐标为（0, 2, 2）,点E的坐标为（1, 0, 1）, 点B1的坐标为（0, 0, 所以向量EA的坐标为 所以这两个向量的夹角2),点F的坐标为(2, 1, 1);(-1 , 2, 1),向量 B1F 的坐标为(2, 1, -1 ),9满足EA1 B1F(-1) 2 2 1 1 (-1)cos 9= _ _ . |EA1 | | B1F | 、（一1）2 2 （1）2 飞2 （1）2 （-1）2所以直线AE与直

13、线BF所成的角的余弦值为-617.已知空间四边形 ABCD中, AB=BC=CD=DA=AC=BD=、N分别为BC和AD的中点，设AM和CN所成的角为a,求COS a的值。（平移法也可）解：由已知得，空间向量 AB , AC , AD不共面， 且两两之间的夹角均为60由向量的加法可以得到一 1 一 一 1 一 一AM = （ AB +AC ）, NC = AD +AC2 2所以向量AM与向量NC的夹角9 （即角a或者a的补角）AM NC满足cos 9= ，其中| AM | | NC |一 1 1 -NC= ( AB +AC ) ( AD +AC )2 21 1 -AB AD +AB AC +

14、( AD ) AC +AC AC ) 2 2(1 1+ -42 1AM| AM | 2=2| NC 12=(1八 1 2+1) =a ;2 4 211(AB +AC )丄(AB +AC ) =- (1+1+1)241 一 一 1 一 一 1 1AD + AC ) ( AD + AC ) =+1 2 2 4 22 3a =-42 3a =_ a42。所以cos a=| COS18.已知空间四边形 ABCD中, AB=CD=,E、F分别是BC AD上的点，且BE 2, EF= 7，求AB和CD所成的角的大小。解：取AC上点G,使AG GC=1 2。连结EG FQ 可知 EG/AB, FG/CD,

15、3EG=2AB 3FG=CD 由向量的知识可知 EF =EG+GF =2BA+CD ,3 39|=-。3EC=AF FD=1:设向量BA和CD的夹角为92 2 1 则由 | EF | 2= ( 2BA + 丄 CD )3 3得cos 9=丄，所以AB和CD所成的角为6022 一 1 -(一 BA+-CD ) =4+1+4cos9=7,3 319.（思考题）如图，已知平行六面体 ABC AB1CD中，底面ABC是边长为a的正方形,侧棱AA长为b,且AA与AB AD的夹角都是120 求：（1）AC的长；（2）直线BD与AC所成的角的余弦值技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用解：(1)

16、|AG I2 =AG AC(AA1 AC)(AA! AC)=(AA, AB AD)(AA AB AD)1 F ry i ry I ry B I I I 3 I彳 AA, |2 | AB|2 | AD |2 2AA, AB 2AA, AD 2AB AD 由已知得：| AA, |2=b2,| ABf=|AD |2=a2:AA；,AB =： AA,AD =120，:AB, AD 彩二 901 1.AA| AB =b acos120 ab, AA1 AD =b acos120 ab, AB AD = 0,2 2.| AC1 I2 =2a2 b2 -2ab,. I AG |= 2a2 b2 -2ab.(

17、2)依题意得,| AC |=、. 2a,AC =AB ADBD =AD PA=AA ADAB.AC BD1 =(AB AD)(AA1 AD AB) - h h h h 2 2 *=AB AA AD AA1 AB AD AD-AB-AB AD ab|BD1 |2=BD1 BD(AA AD -AB)(AA AD AB)AAJ2 I AD |2 | AB |2 2AA1 AD -2AB AD -2AA1 AB =2a2 b2判断是非：(1) (3) (8)(10) 正确，其余错；选择：1(C) ; 2(D) ; 3(D) ; 4(D) . 5. (2)相交，(5)平行，其余异面；(6) : (D)，

18、取 AB中点M CC中点N,连B1E和BF; (7)答案：(A)，延长B1A1至M 使AW AD,连MA取 AB中点 N. 8(D) ; 9(E) ; 10(D) ; 11(C);3.4，取 AD中点 E,贝UZMEN9034.丄，取 AC中点 F,连 EF、BF,求得 BE= -AD= 5，BF= - AO 3.2 ;52 25.，分别取AC B1G的中点P、Q,贝U PMQ是矩形，设CC= M3 a,贝U MP= - a;5 26.丄，取 AC中点 F,连 EF、BF,贝U EF= 4, BE= BF= 3.6异面直线所成的角-作业，错误的打“X”)班级： 姓名:一、 判断是非(下列命题中

19、，正确的打(1)梯形的四个顶点在同一平面内；(3)平行于同一直线的两直线平行；(5)两条直线确定一个平面； (6)(7)无公共点的两直线异面； (8)(9)两异面直线可以同时平行于一直线；(11)不同在一个已知平面内的两直线异面;二、 选择题1.没有公共点的两条直线的位置关系是() 学号： (2) 对边相等的四边形是平行四边形；(4) 垂直于同一直线的两直线平行；经过三点可以确定一个平面；两异面直线无公共点；(10) 两异面直线可以同时垂直于一直线；(12)互相垂直的两条直线必可确定一平面(A)平行 (B) 异面 (C) 平行或异面 (D) 不能确定2.分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是

20、 ()(A)异面 (B) 平行 (C) 平行或异面 (D) 平行或异面或相交3.两条异面直线指的是()(A)在空间不相交的两条直线 (B)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线(C)分别位于两个不同平面的两条直线 (D)不同在任一平面内的两条直线4.a、b是异面直线，b、c也是异面直线，那么a、c的位置是()8.正方体ABCA1B1GD中，直线BC与AC9.设a、b、c是空间中的三条直线，下面给出四个命题:如果a丄b、b c,贝U a/c； 如果a和b相交，b和c相交，则a和c也相交;3如果a、b是异面直线，c、b是异面直线，则a、c也是异面直线;4如果a和b共面，b和c共面，则a和c也共

21、面，在上述四个命题中，真命题的个数是()(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)010.如果直线I和n是异面直线，那么和直线I、n都垂直的直线(A)不一定存在 (B) 总共只有一条(C)总共可能有一条，也可能有两条 (D) 有无穷多条11.如图，四面体SABC的各棱长都相等，如果 EF与SA所成的角等于(A)90， (B)60 ， (C)45 ， (D)30 ，.如图，四面体 ABC冲，ACLBD,且AO4，BD= 3，M N分别是AB CD的中点，求 MN和BD所成角的正切值4.如图，四面体 ABCDK AB丄BC, AB丄BD, BC丄CD,且A吐BC= 6, BD= 8, E是AD中点,5.求BE与CD所成角的余弦值6.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体, 求MN与CC所成角的余弦值。7.如图，四面体 ABCD中, E为AD中点，若 AO CD= D心8, A吐BD= 5, BO 7,求BE与CD所成角的余弦值。单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善