《用频率估计概率》教案05.docx

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《用频率估计概率》教案05

《用频率估计概率》教案

8．2概率的定义

1．概率的统计定义

由于随机事件具有不确定性，因而从表面上看，似乎偶然性在起着支配作用，没有什么必然性．但是，人们经过长期的实践并深入研究后，发现随机事件虽然就一次试验结果来说具有不确定性，但在相同的条件下，进行大量的重复实验，随机事件的发生会呈现出某种规律性。

例如，历史上曾有人作过抛硬币的大量重复实验，结果如下8－1

表8－1

抛掷次数（n）

正面向上的次数（频数m）

频率（

）

2048

1061

0.5181

4040

2048

0.5069

12000

6019

0.5016

24000

12012

05005

30000

14984

0.4996

72088

36124

0.5011

我们看到，随着抛掷硬币的次数不断增多时，出现正面的频率是稳定的，接近于常数0．5，并在该常数附近摆动。

再来看某种棉花籽在相同条件下的发芽实验，结果如下表8－2

一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率

总是接近于某个常数p，并在该常数附近摆动，我们把这个常数p叫做事件P的概率，记做事件A的概率（probaility），记作

．即

我们把上述定义叫做概率的统计定义。

在上面抛硬币的例子中，如果设A=｛正面朝上｝，则

；

在棉花籽的发芽实验中，如果设B=｛棉花籽发芽｝，则

概率从数量上反映了一件事件发生的可能性大小。

这里

，是指出现“正面朝上”的可能性是50%；

，是指“棉花籽发芽”的可能性是51%。

上面有关概率的定义，实际上也是求一个事件的概率的基本方法；进行大量的重复实验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率。

我们常用的升学率、合格率、成活率、出生率、死亡率、达标率等等，就是这样得到的。

【想一想】天气预报员说，明天长沙市下雨的概率市84%，有人这样解释：

明天长沙市将有84%的地方下雨，16%的地方不下雨，这种解释正确吗？

为什么？

2．概率的古典定义

【想一想】

从上节我们知道，随机事件的概率，一般可以通过大量的重复实验求得其近似值，但这样做很不方便，而且有时候这样做是不现实的。

对于某些随机事件，能否不通过重复实验，只要通过对一次实验中可能出现的结果进行分析，便可计算出它的概率呢？

例如，掷一枚均匀的硬币，可能出现的结果（样本点）只有两个，即样本空间是

　　U=｛正面朝上，反面朝上｝

　由于硬币是均匀的，可以认为这两个样本点对应的基本事件发生的可能性大小是相等的，即可认为出现“正面向上”的概率是

，出现“反面向上”的概率也是

，这与大量重复实验所得到的结果是一致的．

又如，袋中装有5个完全相同的球，分别编号为1，2，3，4，5，从中任取1球观察它的号码，可能出现的样本点只有5个，设i=｛取得第i号球｝（i=1，2，3，4，5），则样本空间

U=｛1，2，3，4，5｝

由于5个球完全相同，且抽取是任意的，因此可以认为这5个样本点对应的基本事件发生的可能性大小是相等的，即可认为每一个基本事件发生的概率都是

，这种分析与大量重复实验的结果也是一致的。

现在进一步问：

事件A=｛取得奇数号球｝的概率是多少？

由于事件A包含3个样本点，即

A=｛1，3，5｝，

且每个样本点对应的基本事件发生的可能性都相等，因此有

从以上两例，我们得到了一种简单而又直观的概率计算方法，但应用这个方法时，要求随机实验满足下列两个条件：

（1）实验只有有限个样本点，即U=｛ω1，ω2，ω3，…，ωn｝（简称有限性）；

（2）每个样本点ω1，ω2，ω3，…，ωn发生的可能性都相等（简称等可能性）。

满足以上两个条件的随机实验模型叫做古典概型。

在古典概型中，如果样本点的总数为n，事件A包含m个样本点，则事件A的概率为

（8－1）

我们把上述定义叫做概率的古典定义。

【详注】从集合的观点来看，事件A的概率可解释为子集A的元素（样本点）的个数（记作card（A）与全集U的元素个数的比值，即：

由于任何事件A发生的次数m不会是负数，也不可能大于实验次数n，所以，由概率的古典定义知，事件A的概率满足0≤

≤1

并且，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，即

，

【试一试】

在40根纤维中，有12根的长度超过30毫米，从中任取1根，取到长度超过30毫米的纤维的概率是多少？

【示范】

例1从编号分别为1，2，3，4，…，10的大小相同的10个球中任取一球，求取到的球是偶数号的概率。

解从10个球中任取1球的样本点总数，就是从10个元素中任取1个的组合数，

即

由于球的大小相同，且抽取是任意的，这些结果对应的基本事件发生的可能性都相等。

设事件A=｛取得偶数号球｝，则A包含的样本点个数

根据公式（8－1），得

答：

取到的球号是偶数号的概率是0.5。

【想一想】本题取到的球号是奇数号的概率是多少呢？

例2某地自动电话号码由7位数字组成，某人忘记了需要联系的客户的电话号码，问他一次拨号就能联系上的概率是多少？

解由于某地自动电话号码由7位数字组成，且每位上的数字有从0～9这10种取法，并可重复取，根据分步乘法原理，这种号码共有107个，即样本点总数是

n=107

设事件A=｛一次拨号就能联系上｝，则A只包含1个样本点。

于是

答：

他一次拨号就能联系上的概率是0.0000001。

【想一想】本题的结果说明了什么？

例3在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取2件，计算：

（1）2件都是合格品的概率；

（2）1件是合格品，另1件是次品的概率。

解从100件产品中任取2件的样本点总数是

（1）设A=｛2件都是合格品｝，因为在100件产品中有95件合格品，所以取到2件合格品的样本点数是

，因此，有

（2）设B=｛1件是合格品，另1件是次品｝，则B包含的样本点数是

，因此，

有

答：

1件是合格品、1件是次品的概率为0.0960。

练习三

1．从一副扑克牌的52张牌中，任意抽取2张，求它们都是黑桃的概率。

2．10位同学任意站成一排照相，求其中某3位同学站在一起的概率。

3．2封信随机地向标号为1，2，3，4的4个邮筒投寄，求第2个邮筒恰好被投入1封信的概率。

4．一部为4分册的文集按任意的顺序放到书架上去，问各分册自左向右恰好成1、2、3、4分册的顺序的概率等于多少？

5．在10支铅笔中，有8件正品，2件次品，从中任取2件，求下列事件的概率：

（1）恰有1件次品；

（2）恰有2件次品；

（3）3件都是正品。

习题8－2

A组

1．从生产的一批螺钉中抽取1000个进行检查，结果有4个是次品，那么从这批螺钉中任取一个螺钉，取到次品的概率约是多少？

2．在12名学生中，有8名优等生，根据名册随机选出9名学生，求在所选的学生中有5名优等生的概率。

3．一个口袋内装有大小相同的7个白球和3个黑球，从中任意摸出2个，得到1个白球和1个黑球的概率是多少？

4．将一枚硬币连续掷3次，求：

（1）出现“2个正面、1个反面”的概率；

（2）出现“1个正面、2个反面”的概率。

B组

1．有100张已编号的卡片（从1号到100号），从中任取1张，计算：

（1）卡片号是奇数的概率；

（2）卡片号是7的倍数的概率。

2．5个同学任意站成一排，计算：

（1）甲恰好站在正中间的概率；

（2）甲、乙两人恰好站在两端的概率。

3．盒中有红、白、黄色球各一个，每次取1个，有放回地抽取3次，求下列各事件的概率：

（1）都是红球；

（2）都是黄球；

（3）颜色都相同；

（4）颜色都不同；

（5）只有红、白两种颜色地球。

4．把一副扑克牌52张洗乱，四张“A”排在一起地概率是多少？

5．将张明、李华、王荣3人等可能地分配到3个房间中去，试求每个房间恰有1人地概率。

8．3概率的加法公式

在一个盒子中放有10个大小相同的球，其中有7个红球、2个白球、1个黄球。

从中任取1个球，记A=｛取得的1个球是红球｝、B=｛取得的1个球是白球｝，则事件“取得的1个球是红球或白球”可表示为A+B，很明显，这里事件A、B是互不相容事件。

【想一想】事件A+B的概率如何计算？

【分析】从盒中取出1个球的样本点总数为10。

由于从盒中取出1个球无论是红球还是白球，都表示事件A+B发生，所以事件A+B包含的样本点数为7+2，

因此

另一方面

因此，我们有

【归纳】

一般地，如果事件A、B是互不相容的，则

（8－2）

这就是互不相容事件的概率的加法公式，公式表明，两个互不相容事件的和的概率等于每个事件的概率的和。

公式（3－2）可以推广到任意多个事件中去，即n（n≥2）个事件A1，A2，…An互不相容，则有

【评注】对于互不相容事件A1，A2，…An，事件“

”发生，

即表示A1，A2，…An中有一个发生。

【示范】

例1某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：

年降水量

（单位：

mm）

[100，150）

[150，200）

[200，250）

[250，300]

概率

0.12

0.25

0.16

0.14

（1）求年降水量在[100，200）（mm）范围内的概率；

（2）求年降水量在[150，300）（mm）范围内的概率。

解

（1）记这个地区的年降水量在[100，150）（mm）、[150，200）（mm）、[200，250）（mm）、[250，300）（mm）范围内分别为事件A、B、C、D，这四个事件是彼此互斥的。

根据公式（8－2），年降水量在[100，200）（mm）范围内的概率是

答：

年降水量在[100，200）（mm）范围内的概率是0.37；

（2）年降水量在[150，300）（mm）范围内的概率是

答：

年降水量在[150，300）（mm）范围内的概率是0.55。

例2盒中有5个零件，其中3个正品，2个次品。

从中任取2个，至少有1个正品的概率是多少？

解设A1=｛有一个正品｝、A2=｛有2个正品｝、A=｛至少有1个正品｝，则

A=A1+A2

因为事件A1、A2互不相容，且

所以

答：

任取的2个零件中至少有1个正品的概率是

。

例3某班共有学生50人，其中男生有45人，女生有5人，从该班选取学生3人作为学校学代会代表，求其中至少有1名女生的概率？

解设A1=｛选出3名代表中恰有1名女生｝，A2=｛选出3名代表中恰有2名女生｝，

A3=｛选出的3名代表中恰有3名女生｝。

根据题意，事件A1、A2、A3互不相容。

由互不相容事件的加法公式，3人中至少有1名女生的概率是

答：

选出的3名代表中至少有1名女生的概率是0.2760

【评注】根据对立事件的意义，A+是一个必然事件，它的概率等于1。

又由于A与互不相容，我们得到

移项即得

（8－3）

这就是对立事件的概率计算公式

例4用对立事件得概率计算公式求解例3

解设事件A=｛选出的3名代表中全是男生｝，则

，

由于“选出的3名代表中至少有1名女生”是事件A的对立事件，所以，根据公式（8－3），得

答：

选出的3名代表中至少有1名女生的概率是0.2760。

【想一想】在什么情况下，采用对立事件的概率计算公式可简化运算？

【评注】例3、例4是同一个问题而采取了两种不同的求解方法，由此可知，在求某些较复杂的事件的概率时，通常有两种方法：

一是将所求事件的概率化为一组互不相容事件的概率的和，二是先去求此事件的对立事件的概率，再用公式（8－3）求得该事件的概率。

有时用对立事件的概率求解，往往比较简便。

前面讨论了互不相容事件的概率的加法公式，下面来研究任意两个事件A、B的概率加法公式，我们有下述结论：

设A、B是任意两个事件，则

（8－4）

这就是概率的一般加法公式

【评注】

公式（8－4）可以用图示法来说明：

如图8－6所示，图形A+B的面积[理解为P（A+B）]

是图形A的面积[理解为P（A）]与图形B的面积[理解为P（B）]之和减去图形AB的面积[理解为P（AB）]。

例5学校组织A、B两个课外活动小组，某班50名学生中，有20名参加A组，16名参加B组，6名参加两个小组。

在该班任意抽取1名学生。

问：

“该生参加课外活动小组”的概率是多少？

解设A=｛参加A组｝、B=｛参加B组｝，则“参加课外活动小组”这一事件就是A+B

由于事件A、B相容，所以由公式（8－4）有

答：

在该班任意抽取1名学生，他参加课外活动小组的概率是0.6

【评注】如果A、B互不相容，则

，

，这时，公式（8－4）成为公式（8－2）。

这就是说，互不相容事件的概率的加法公式是一般加法公式的特殊情形。

因此，在求两个事件和的概率时，先要分析两个事件是否相容，再确定选择公式（8－2）还是选择公式（8－4）求解。

练习8－3

1．判断下列每对事件是不是互不相容事件，如果是，再判别它们是不是对立事件。

从一堆产品（其中正品与次品都多于2个）中任取2件，其中：

（1）恰有1件次品和恰有2件次品；

（2）至少有1件次品和全是次品；

（3）至少有1件正品和至少有1件次品；

（4）至少有1件次品和全是正品。

2．抛掷一个骰子，记A为事件“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”。

判断下列每对事件是不是互不相容事件，如果是，再判别它们是不是对立事件。

（1）A与B；

（2）A与C；（3）B与C。

3．一盒中装有15个零件，其中10个正品，5个次品。

从中随机抽取3个，其中至少有1个次品的概率是多少？

（要求用两种方法解）

4．某人在一次射击中，击中10环、9环、8环的概率分别是0.26、0.30、0.20，试求此人在一次射击中：

（1）击中8环及8环以上的概率；

（2）不足8环的概率。

5．一个电路并联甲、乙两根保险丝，当电流强度超过一定数值时，甲烧断的概率为0.85，乙烧断的概率为0.74，两根保险丝同时烧断的概率为0.63，问至少有一根烧断的概率是多少？

习题8·3

1．填空：

（1）甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，两人下成和棋的概率为50%，那么甲不输的概率是；

（2）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是。

2．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如表8－3所示：

表8－3

年最高水位

（单位：

m）

[8，10）

[10，12）

[12，14）

[14，16）

[16，18）

概率

0.10

0.26

0.44

0.15

0.5

计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：

（1）[10，16]（m）；

（2）[8，12]（m）；（3）[14，18]（m）

3．某地区居民订阅日报的占60%，订阅晚报的占30%，不订报的占25%，试求两种报都订的概率。

4．盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取2次，每次取1只，求下列事件的概率：

（1）取到的2只都是次品；

（2）取到的2只中，正品、次品各1只；

（3）取到的2只中至少有1只正品。

5．将第4题中有放回地抽取2次，改为无放回地抽取2次，其他条件不变，求其所列事件的概率。

6．将第4题中的取法改成只抽取一次，一次抽取2只，其余条件不变，求所列事件的概率。

7．某阅览室有甲、乙两类杂志。

据调查，学生中有62%阅读甲杂志，有45%阅读乙杂志，有16%兼读甲、乙两类杂志，问：

学生中有百分之几至少读一类杂志？

8．甲、乙两人同时向敌机开炮，如果甲击中敌机的概率是0.8，乙击中敌机的概率是0.7，甲、乙同时击中敌机的概率是0.56，求敌机被击中的概率。