袁晖坪线性代数教材习题参考答案提示.docx
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袁晖坪线性代数教材习题参考答案提示
第一章行列式与Cramer法则
第一章知识清单
1.行列式定义：
a11
a12
a1n
a21
a21
a2n
1
i1i2
in
j1j2jnaij
ai
j
2
aij
n
i,j
11
2
n
an1
an2
ann
说明1）i1i2
n
n
tik
：
在ik左边比ik打的数的个数.
in
ik
tk
k1
tik,
说明2）：
行列式中每行均由不同行不同列的元素之积构成
2.计算方法
n
aikAjk
D
i
j
基本方法：
1）化为三角式；
2）降阶法：
0
i
j
k1
常用方法：
利用定义或性质，拆解法，升阶法，递推法。
特殊行列式：
上三角式，对角式，范德蒙行列式。
3.行列式性质（5条）
行列等同；两行互换值相反；数乘行列式；行列式加法；第三种初等行变
换不改变行列式的值。
4.克莱姆法则
1/14
a11x1
a12x2
a1nxn
b1
D1,D2,
Dn
T
a21x1
a22x2
a2nx2
b2
即：
Anx
b.解：
x
，DA
.
DD
D
n
an1x1
an2x2
annxn
bn
推论：
Anx
有非零解
An
0.
o
基本作业建议A组：
1，4，6
（1），7
（1），8,10
（1）；
B组：
一
（1），（6）；二（3），（4）
24531
45213
一（A）4
（1）：
列标：
54243，表明第四列有两元素：
否;
（2）:
1
.
2341
2143
一（A）5：
1
a12a23a34a41,1
a12a21a34a43.
a2
b2
c2
d2
a2
b2
c2
d2
一（A）6（5）：
D
rir1
i2,3,4
2a
2b1
2c1
2d1
r3
2r2
1
r4
3r2
4a4
4b
4
4c
44d
4
6a9
6b
9
6c
9
6d
9
2a12b12c12d1
2
2
2
0
2
6
6
6
6
一（A）7
（1），
（2）：
同6（3），见课件例1.15—1.18。
四种方法：
n
ci
i1rir1
方法一：
D提公因式
D1i2,3,,n
上三角式
；
rir1
方法二：
D
箭形行列式
i2,3,,n
1
a1
a2
a3
an
1
a1
a2
a3
an
0
a1
ba2
a3
an
1
b
0
0
0
加边
0
a1
a2b
a3
an
rir1,
方法三：
D
i2,3
n1
0
b
0
0
0
a1
a2
a3b
an
1
0
0
b
0
0
a1
a2
a3
anb
1
0
0
0
b
a1
a2
a3
an
c
a2
a3
an
a1
a2c
a3
an
0
a2c
a3
an
拆解
0
方法四：
D
a1
a2
a3c
an
a2
a3c
an
略.
a1
a2
a3
an
c0
a2
a3
an
c
2/14
一（A）7（3，5，6，7）同类型，见课件与课本例题
1.9：
。
n
ci
c1
c1
i1
（3
）：
方法一：
D
D1
下三角式
，
方法二：
Dn
b1Dn1+下三角式递推式
，
cj
cj
1
方法三：
Dnj2,3,
n下三角式
cj
aj
cj1
bj
c1
1
（5）：
方法一：
Dn
b1Dn1+下三角式递推式
，方法二：
Dn
下三角式
j
2,3,,n
c1
c
ac
（6）：
方法一：
Dn
rn1
1
b
n
A+对角式，A
对角式.方法二：
Dn
次下三角式
j2,3,
n
（7）：
课本例题1.12
一（A）7（4）：
拆解。
一（A）7（8）：
见课本例题1.15.
一（A）10：
系数行列式=0.要求：
耐心，细致！
4
ci
rir1
r2
r3
i1
一（B）1（3）：
D
D1i
2,3,4
D2
上三角式
4
ci，
2r131r,r
r
i
1
一（B）1（4）：
D
D1
r4
r1
三角式
1
xc1
一（B）1（5），类一（A）5：
r12r4
r2
r4
c1
定义
1
132x
2
x
12x+
=
2x3
D
DD
2
r3
r4
1
132
x2x1
2x
1
132
a11a23a32.
其中:
1
一（B）1（6）（7）（10）同课本例题
1.15：
一（B）1（11）类同
一A（10）
一（B）2
（1）特例法：
取aij
即aij
1
i
j
m
0,
ij
0
i
j
1
3142
1
1
2
2
1
3241
1
一（B）2
（2）类一（B）1（5），由定义：
122
一（B）2（3）：
排除法。
请记忆结论（
D）
一（B）2（4），同一（A）10
3/14
rir1,i2,3,,n
一（B）3
（1），参见课件例1.18。
类一（A）7
（1），
（2）：
方法一：
D箭形行列式；
各列提公因式
方法二：
加边；方法三：
拆解.
cjcj1
c1
ri
r1
cn1
一（B）3
（2）：
Dnjn,n1,
2,1
An
Bn1
i2,3,
n
Cn1
对角式。
第二章矩阵
第二章知识清单
1.矩阵的线性运算（加法与数乘）与矩阵的乘法
注意：
矩阵乘法无交换律与消去律.
2.矩阵的逆与线性方程组的矩阵解法
1）有关公式：
AA*
AE
A1
1
A*
；（AB）1
B
1A1;
（kA）11A1
A
k
AmAn
Amn
Am
n
Amn
m,n
Z
，由此得：
APP1,f（A）
mZ
n
akAk,f（A）Pf（）P1.
k
m
diag（1,
2,
n）
k
diag（
1k,
2k,
nk）,k
Z
f（A）
Pf（
）P
1
diag（f
1
f
2,
f
n）.
2）有关方法：
求逆矩阵：
直接用定义（例：
待定系数法）；伴随阵法；初等变换法。
4/14
解矩阵方程：
逆矩阵法:
AnXB
X
A1B.
初等变换法：
1）AnX
B
An,B
r
E,A1B,XA1B.BEXA1.
2）AXBA,B
r
行最简形选,择自由未知量，给出方程的解（最佳形式）.
3.转置阵的性质
基本作业建议A组：
4，6，9，10（4），14，15，17，18，19，24，28，
29（4），（5）；B组：
一
（2），（6），（7）；二
（1）——（9）
二（A）7：
B
a
b
AB
BA
B
a
0
c
d
c
a,c可任取.
a
二（A）10：
方法一，归纳；方法二，二项式定理.
n
n
B2O
130
100
030
010
010
000
n
AB
例：
10（4）
0
2
0
0
2
0
0
0
0
二（A）16：
ak
bk
abak1
ak2bak3b2
abk2
bk1
EAk
EAEAk1
Ak2
AE
二（A）17：
问：
A？
EAA2EE4E.
二（A）18：
AA*
AE
A*
1
1A
A
二（A）19：
A
5A
1
3A*
1
A1A1
3A*
1
1AA1
3AA*
A
A
5
A
5
1
1E3AE
2
A
A3
2
3
8.
5
5
E
E
A
5
5
5
25
二（A）20：
AB2AB
AEB2A
2AE2E
AEB2E2E（略）.
5/14
c2
c3
c1
3c2
c1
c2
2
c1
c2
原式
3A.
2A.
二（A）23
（1）:
（2）:
原式
1c1
1c1
3
2
c
c
3c
c3
c1
1
2
23
A1,A2
3A3,2A3
A1
A.
（3）:
原式
2
c1
c2
3
c3
5
2
1
r
1
二（A）26:
AX
A
2X
XA
2E
A,X
A
2E
A,
A
2E,A
E,A2EA.
二（A）28:
A1BA
6A
BA
A1
EBA
6A
A,A1
E可逆
B
6
A1
E
1
A2E,A
r
1
E,A2EA.
二（A）30:
由一（A）7
（1）:
A
k3
k
3
，检验知：
k
3
M14
0，合题意.
1
二（A）31:
类30：
A
r2
r1
r3
kr1
123k
02k23k3
1
2
3k
r3
r2
0
2k2
3k3
.
02k233k2
0
0
33k2
3k3
1
2
3
33k23k3
3k2
k2
3k2k1
r
rA1;
k1A~000
0
0
0
1
2
6
r
rA2;
k2A~069
0
0
0
r
1
2
3k
k1且k2A~02k2
3k3
rA3.
0
0
3
3k2
3k
3
二（B）1
（1）：
B1
1
B；
T
2
T
T
T
T
3
T
3
T
T
n
3n1T.
二（B）（12）：
二（B）1（3）：
分块对角阵。
二（B）1（4）：
BAE2E.
6/14
可逆,
3
0
3
a
1
2
0
2
0
0
1
0
1
0.
二（B）1（5）：
A
1
0
1
0
1
1
二（B）1（6）：
B可逆，于是：
r
BA
rA
.
二（B）1（7）：
AA*
AEA*
1
二（B）1（7）：
AA*
AEA*
1
二（B）1（8）：
方法一，归纳；
1
A
A
1
A
A
方法二：
，AE
E
1,3
A2
E2
2E
E
1,3
2
2
E
E1,3
2A
E1,3
即A2
2A，An
2n1A，An
2An1
An2A2
2AAn2OO。
A2
T
2
2
T
2A
An
2n1A，
二（B）1（9）：
类二（B）
（2）：
a
2n1
0
2n1
aEAn
0
a
0
a3
a2n.
2n1
0
a
2n1
T
a2
ab
ac
1
1
1
二（B）1（10）：
设
T
ba
b2
bc
1
1
1
，
T
a2
b2
c2
3
a,b,c
ca
cb
c2
1
1
1
二（B）2
（1）：
排除法
二（B）2
（2）：
方法与答案同上
二（B）2（3）：
利用对称阵的定义与性质
二（B）2（4）：
排除法
二（B）2（5）：
A
1
.
BC
1
A1
B1?
二（B）2（6）:
AB
二（B）2（7）:
rA3
Aij
0又rA3AA*
AE0
r
*
4,综上
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