圆与相似三角函数结合二.docx

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圆与相似三角函数结合二

圆与相似、三角函数结合

（二）

1、已知：

P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，点C为⊙O上一点。

（1）如图1，若AC为直径，求证：

OP∥BC；

（2）如图2，若sin∠P＝

，求tan∠C的值。

知识点一圆与直角三角形斜边中线

【知识梳理】

如图：

Rt△ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D，基本结论有：

（1）DE切⊙O⇔E是BC的中点；

（2）若DE切⊙O，则：

①DE=BE=CE；②D、O、B、E四点共圆⇒∠CED=2∠A；

③CD·CA=4BE2,

图形特殊化：

在

（1）的条件下

如图2：

DE∥AB⇔△ABC、△CDE是等腰直角三角形；

如图3：

若DE的延长线交AB的延长线于点F，若AB=BF，则：

①DE：

EF=1:

3；②BE：

R=1：

【例题精讲】

例1、如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，且∠BAC=30°，M是线段OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E。

（1）求证：

CF是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为1，且AC=CE，求EC和MO的长。

【课堂练习】

如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，N是线段BC上一点（不与B﹑C重合），过N作AB的垂线交AB于M，交AC的延长线于E，过C点作半圆O的切线交EM于F。

（1）求证：

△ACO∽△NCF；

（2）若NC∶CF＝3：

2，求sinB的值。

例2、如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P。

（1）求证：

BF=EF；

（2）求证：

PA是⊙O的切线；

（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为3

，求BD和FG的长度。

【课堂练习】

如图D为Rt△ABC斜边AB上一点，以CD为直径的圆分别交△ABC三边于E，F，G三点，连接FE，FG。

（1）求证：

∠EFG＝∠B；

（2）若AC＝2BC＝4

，D为AE的中点，求FG的长。

知识点二圆与等腰三角形结合

【知识梳理】

如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点F，基本结论有：

（1）DE⊥AC⇔DE切⊙O；

（2）在DE⊥AC或DE切⊙O下，有：

①△DFC是等腰三角形；②EF=EC；③D是弧BF的中点。

【例题精讲】

例1、如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、F，连接BD交OF于点E。

（1）求证：

OF⊥BD；

（2）若AB=

，DF=

，求AD的长。

【课堂练习】

如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点。

（1）求证：

DF是⊙O的切线；

（2）若AE＝14，BC＝12，求BF的长。

例2、如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，D在劣弧AC上，∠ABD=45°。

（1）如图1，BD交AC于E，连CD，若AB=BD，求证：

CD=

DE

（2）如图2，连接AD、CD，已知tan∠CAD=

，求sin∠BDC。

【课堂练习】

在⊙O中，AB为直径，PC为弦，且PA＝PC。

（1）如图1，求证：

OP∥BC；

（2）如图2，DE切⊙O于点C，DE∥AB，求tan∠A的值。

知识点三圆与直角梯形结合

【知识梳理】

以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ，基本结论有：

（1）如图1：

①AD+BC＝CD；②∠COD=∠AEB=90°；③OD平分∠ADC（或OC平分∠BCD）；（注：

在①、②、③及④“CD是⊙O的切线”四个论断中，知一推三）

④AD·BC＝

2=R2；

（2）如图2，连AE、CO，则有：

CO∥AE，CO•AE=2R2（与基本图形2重合）

（3）如图3，若EF⊥AB于F，交AC于G，则：

EG=FG.

【例题精讲】

例1、直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AB=AD+BC，AB为直径的圆交BC于E，连OC、BD交于F.

（1）求证：

CD为⊙O的切线

（2）若

，求

的值

【课堂练习】

1、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，以AB上一点O为圆心过B、D两点作⊙O，⊙O交AB于点一点E，EF⊥AC于点F.

（1）求证：

⊙O与AC相切；

（2）若EF=3，BC=4，求

的值.

2、如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，过点C作⊙O的切线CE，点D是CE延长线上一点，连结AD，且

AD+BC=CD.

（1）求证：

AD是⊙O的切线；

（2）设OE交AC于F，若OF=3，EF=2，求线段BC的长.

1、如图，等腰直角△ABC内接于⊙O，D为⊙O上一点，连接AD、BD、CD。

（1）如图1，点D在半圆BC上时，求证：

BD+CD=

AD；

（2）如图2，点D在劣弧AB上时，直接写出BD、CD、AD间的数量关系_____________；

2、如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝13，AC＝5。

（1）如图

（1），若点P是弧AB的中点，求PB的长；

（2）如图

（2），过点P作PD⊥BC于点E，交AB于点D，若

，求PC的长。

1、如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，以点A为圆心，AB为半径的圆交BC于点E。

（1）求证：

DE为⊙A的切线；

（2）如果BE=4，CE=2，求DE的值。

2、如图，已知以Rt△ABC的斜边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠ABC的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F。

（1）求证：

EF是⊙O切线；

（1）若EF=8，tan∠AEF=

，求CD的长。

3、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE。

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若cos∠BAD=

，BE=

，求OE的长。

4、如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，以O为圆心，OD为半径作⊙O，若AC=5，AB=6。

（1）若O为CH的中点，⊙O与OH相交于点E，连接AE、BE，求△ABE的面积；

（2）如图2，若⊙O过点H，且连接DH，求tan∠AHD的值。