职高数列知识点及例题有答案.docx
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职高数列知识点及例题有答案
数列
一、数列的定义：
按一定顺序排列成的一列数叫做数列．
记为：
{an}．即{an}:
a1,a2,,na．
二、通项公式：
用项数n来表示该数列相应项的公式,叫做数列的通项公式。
1、本质：
数列是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数．
2、通项公式:
an=f（n）是an关于n的函数关系．
三、前n项之和：
Sn=a1+a2++an
注
求数列通项公式的一个重要方法：
s1
（n
1）
an
sn1（n
2）
sn
例1、已知数列{100-3n}，
（1）求a2、a3；
（2）此数列从第几项起开始为负项．
例2已知数列an的前n项和，求数列的通项公式：
（1）Sn=n2+2n；
（2）Sn=n2-2n-1.
解：
（1）①当n≥2时，an=Sn-Sn1=（n2+2n）-[（n-1）2+2（n-1）]=2n+1；
②当n=1时，a1=S1=12+2×1=3；
③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，∴an=2n+1为所求.
（2）①当n≥2时，an=Sn-Sn1=（n2-2n-1）-[（n-1）2+2（n-1）-1]=2n-3；
②
当n=1时，
a1=S1=12
×1
-2-1=-2；
③
经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2，∴an=
2（n
1）
为所求．
2n
3（n
2）
注：
数列前n项的和Sn和通项an是数列中两个重要的量，在运用它们的关
系式anSnSn1时，一定要注意条件n2，求通项时一定要验证a1是否
适合
例3当数列{100-2n}前n项之和最大时，求n的值．
分析：
前n项之和最大转化为
an0
an10．
等差数列
1.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常
用字母d表示．即：
an1and（常数）（nN?
）
2.
ana1
（n1）d，推广：
anam（nm）d．
通项：
n（a1
an）
n（n1）
3.求和：
Sn
na1
d．（关于n的没有常数项的二次函数）．
2
2
4.中项：
若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项:
2b=a+c
5.等差数列的判定方法
（1）定义法:
an1
an
d（常数）（nN?
）
（2）中项法:
2an1an
an
2
（3）通项法:
an
a1（n
1）d
（4）前n项和法:
Sn
An2
Bn
练习：
已知数列{an}满足：
a1=2,an=an1+3,求通项an．
例1在等差数列an中,已知a49,a96,Sn63,求n.
解:
设首项为a1,公差为d,
9
a1
3d
a1
18
3
则
得
63Sn
（
1）得:
n
6或
n
7
6
a1
8d
d
3
18nnn
2
例2
（1）设{an}是递增等差数列，它的前3项之和为12，前3项之积为48，求这个数列的首项．
分析2：
三个数成等差数列可设这三个数为：
a-d，a，a+d
拓展：
（1）若n+m=2p，则an+am=2ap．
推广：
从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。
如：
a1,a4,a7,a10,（下标成等差数列）
（2）等和性：
amanapaq（m,n,p,qN*,mnpq）
（3）Sn,S2nSn,S3nS2n,组成公差为n2d的等差数列.
（4）an=am+（n-m）d
例1
（1）已知a3+a11=20，求a7．
（2）已知a3+a4+a5+a6+a7＝450,求a2+a8及前9项和S9．
解由等差中项公式：
a3+a7＝2a5，a4+a6＝2a5
由条件a3+a4+a5+a6+a7＝450,得：
5a5＝450,∴a2＋a8＝2a5＝180.
S9＝
9（a1a9）810
2
等比数列
1．定义与定义式：
从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的
数列称作等比数列.
an1
q（q为不等于零的常数）
an
2
．通项公式：
an
a1qn1,推广形式:
an
amqnm．
na1（q
1）
3
．前n项和：
Sn
a1（1
qn）
a1
anq
0且q1）
1
q
1
（q
q
注:
应用前n项和公式时,一定要区分q1与q1的两种不同情况,必要的时候要分类讨论．
4．等比中项：
如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，
那么G叫做a与b的等比中项．即G2ab（Gac）．
5．等比数列的判定方法：
an1
0），则数列an是等比数列.
①定义法：
对于数列
an，若an
q（q
②等比中项：
对于数列
an，若anan2
an2
1，则数列an是等比数列．
例1等比数列中a1=2,a3=8，求通项公式；
解：
a3a1qq24q2an
（2）2n12n或an
（2）
（2）n1
（2）n
例2在等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，则a17＋a18＋a19＋a20.
解解方程组可得：
q4=2，1a1q1，
解法2由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，成等比数列计算．
在等比数列an中有如下性质:
（1）若n+m=2p，则anam=（ap）2。
推广：
从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。
如：
a1,a4,a7,a10,（下标成等差数列）
（2）等积性:
amanapaq（mnpq,m,n,p,qN）．
（3
）an=amqnm
例1
在等比数列{an}中，a1
a6
33，a3a432，an1
an，
（1）求an；
（2）若Tnlga1
lga2
Llgan，求Tn.
解
（1）an26n
（2）Tn
（1n2
11n）lg2
2
2
例2a1a2a37，a1a2a38，求an.
解：
设{an}的公比为q，由题意知
a1
a1qa1q
2
7,
a1
1,
a1
4,
1
n1
n3
a1
a1qa1q2
8,解得q
2或q
1.∴an2
或an
（2）
2
数列综合运用
例1公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列,求公比q．
解:
设等差数列的通项an=a1+（n-1）d（d≠.0）
根据题意得
a32
26
1
2
1
1
=aa
即（a+2d）=（a+d）（a+5d）,
1
a3
a1
2d
1d
2d
解得a1
所以q
2
3.
d.
a2
a1
d
1
2
d
d
2
例2有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第
一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数．
2
a
d
（ad）
2
解：
设这四个数为：
ad,a,ad,（a
d）
a
16
，则
a
2a
d
12
解得：
a
4
或
a
9
，所以所求的四个数为：
4,4,12,36；或15,9,3,1．
d
8
d
6
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