职高数列知识点及例题有答案.docx

1、职高数列知识点及例题有答案数列一、数列的定义： 按一定顺序排列成的一列数叫做数列记为： a n 即a n : a1 , a2 , ,n a二、通项公式：用项数 n来表示该数列相应项的公式 ,叫做数列的通项公式。1、本质：数列是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数2、通项公式 : an =f(n)是a n 关于 n的函数关系三、前 n项之和： Sn = a1 +a2 + +an注求数列通项公式的一个重要方法：s1(n1)ansn 1 ( n2)sn例1、已知数列 100-3n，（1）求 a 2 、a3 ；（2）此数列从第几项起开始为负项例2 已知数列 an 的前 n项和，求数列的通项公式：（

2、1） Sn =n2 +2n； （2） Sn =n2 -2n-1.解：（1） 当n 2时， an = Sn - Sn 1 =(n2 +2n)-(n-1) 2 +2(n-1)=2n+1； 当n=1时， a1 =S1 =12 +2 1=3； 经检验，当 n=1时， 2n+1=2 1+1=3， an =2n+1为所求 .（2） 当n 2时， an =Sn -Sn 1 =(n2 -2n-1)-(n-1) 2 +2(n-1)-1=2n-3；当n=1时，a1 =S1 =121-2 -1=-2；经检验，当 n=1时， 2n-3=21-3=-1-2， an =2(n1)为所求2n3(n2)注：数列前 n 项的和

3、 Sn 和通项 an 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式 an Sn Sn 1 时，一定要注意条件 n 2 ，求通项时一定要验证 a1 是否适合例3 当数列 100-2n前n项之和最大时，求 n的值分析：前 n项之和最大转化为an 0an 1 0 等差数列1.如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差， 公差通常用字母 d表示即： an 1 an d (常数 ) ( n N ? )2.an a1(n 1)d ，推广： a n am (n m)d 通项：n(a1an )n(n 1)3.求和：Snna1d （关于

4、n的没有常数项的二次函数） 224.中项：若 a、b、c等差数列，则 b为a与c的等差中项 :2b=a+c5.等差数列的判定方法(1)定义法 : an 1and(常数 ) (n N ? )(2)中项法 : 2an 1 anan2(3)通项法 : ana1 (n1)d(4)前n项和法 : SnAn 2Bn练习：已知数列 an 满足： a1 =2,an = an 1 +3,求通项 a n 例1 在等差数列 an 中,已知 a4 9, a9 6, Sn 63,求 n.解:设首项为 a1 ,公差为 d ,9a13da1183则得63 Sn(1)得:n6或n76a18dd318n n n2例2（1）设

5、an 是递增等差数列，它的前 3项之和为 12，前 3项之积为 48，求这个数列的首项分析 2：三个数成等差数列可设这三个数为： a-d，a，a+d拓展：（1）若 n+m=2p，则 an+am=2ap推广：从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如：a1, a4 ,a7 , a10, （下标成等差数列）（2）等和性： am an ap aq (m, n, p, q N * , m n p q)（3） Sn , S2n Sn , S3 n S2 n , 组成公差为 n 2 d 的等差数列 .（4）a n =am +（n-m）d例1 （1）已知 a3 +a1 1 =20，求 a 7 （

6、2）已知 a3 +a4 +a5 +a6 +a7 450, 求 a2 +a8 及前 9项和 S9 解 由等差中项公式： a3 +a7 2 a5 ， a4 + a6 2 a5由条件 a3 +a4 +a5 +a6 +a7 450, 得： 5 a5 450, a2 a8 2 a5 180.S9 9 (a1 a9 ) 8102等比数列1定义与定义式： 从第二项起 ,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列 .an 1q( q为不等于零的常数 )an2通项公式： ana1 q n 1 ,推广形式 : anamq n m na1 (q1)3前 n项和： Sna1 (1q n )a1an q0且

7、q 1)1q1( qq注 :应用前 n项和公式时 ,一定要区分 q 1与 q 1的两种不同情况 ,必要的时候要分类讨论4等比中项： 如果在 a 与 b 之间插入一个数 G ，使 a ，G ，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与b 的等比中项 即 G 2 ab （ G ac ）5等比数列的判定方法：an 10) ，则数列 an 是等比数列 . 定义法：对于数列an ，若 anq(q 等比中项：对于数列an ，若 an an 2an21 ，则数列 an 是等比数列 例1 等比数列中 a1 =2, a3 =8，求通项公式；解： a3 a1q q2 4 q 2 an ( 2) 2n 1 2n 或 a

8、n ( 2)( 2) n 1 ( 2) n例2 在等比数列 an中， S41，S83，则 a17a18a19a20.解 解方程组可得： q4=2， 1 a1 q 1，解法 2 由 Sn ， S2 n Sn ， S3n S2 n ， 成等比数列计算在等比数列 an 中有如下性质 :（1）若 n+m=2p，则 a n a m =(ap )2 。推广：从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如：a1, a4 ,a7 , a10 , （下标成等差数列）（2）等积性 : am an ap aq （ m n p q, m,n, p, q N ）（3）a n =am q n m例1在等比数列 a

9、n 中， a1a633 ， a3 a432 ， an 1an ，（1）求 an ；（2）若 Tn lg a1lg a2L lg an ，求 Tn .解（1） an 26 n（2） Tn( 1 n211n)lg 222例2 a1 a2 a3 7 ， a1 a2 a3 8，求 an .解：设 an的公比为 q，由题意知a1a1q a1 q27,a11,a14,1n 1n 3a1a1 q a1 q 28, 解得 q2 或 q1 . an 2或 an( 2 )2数列综合运用例1 公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列 ,求公比 q解: 设等差数列的通项 an = a1+(n-1)d (d . 0)根据题意得a322 61211= a a即(a +2d) = (a +d)(a +5d),1a3a12d1 d2d解得a1所以 q23.d .a2a1d12dd2例2 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个书的和是 12 ，求这四个数2ad(a d)2解：设这四个数为： a d , a, a d , (ad )a16，则a2ad12解得：a4或a9，所以所求的四个数为：4, 4,12,36 ；或 15,9,3,1 d8d6