人教A版数学必修一《指数函数及其性质》基础知识讲解.docx

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人教A版数学必修一《指数函数及其性质》基础知识讲解

指数函数及其性质

【学习目标】

1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；

2.掌握指数函数图象：

（1）能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质；

（2）掌握底数对指数函数图象的影响；

（3）从图象上体会指数增长与直线上升的区别．

3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型；

4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法；

5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题．

【要点梳理】

要点一、指数函数的概念：

函数y=ax（a>0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.

要点诠释：

（1）形式上的严格性：

只有形如y=ax（a>0且a≠1）的函数才是指数函数．像

，

，

等函数都不是指数函数．

（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：

①如果

，则

②如果

，则对于一些函数，比如

，当

时，在实数范围内函数值不存在．

③如果

，则

是个常量，就没研究的必要了．

要点二、指数函数的图象及性质：

y=ax

0

a>1时图象

图象

性质

①定义域R，值域（0，+∞）

②a0=1,即x=0时，y=1，图象都经过（0，1）点

③ax=a，即x=1时，y等于底数a

④在定义域上是单调减函数

④在定义域上是单调增函数

⑤x<0时，ax>1

x>0时，0

⑤x<0时，0

x>0时，ax>1

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

要点诠释：

（1）当底数大小不定时，必须分“

”和“

”两种情形讨论。

（2）当

时，

；当

时

。

当

时，

的值越大，图象越靠近

轴，递增速度越快。

当

时，

的值越小，图象越靠近

轴，递减的速度越快。

（3）指数函数

与

的图象关于

轴对称。

要点三、指数函数底数变化与图像分布规律

（1）

1

②

③

④

则：

0＜b＜a＜1＜d＜c

又即：

x∈（0,+∞）时，

（底大幂大）

x∈（－∞,0）时，

（2）特殊函数

的图像：

要点四、指数式大小比较方法

（1）单调性法：

化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.

（2）中间量法

（3）分类讨论法

（4）比较法

比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：

①若

；

；

；

②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断

，或

即可．

【典型例题】

类型一、指数函数的概念

例1．函数

是指数函数，求

的值．

【答案】2

【解析】由

是指数函数，

可得

解得

，所以

．

【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：

（1）切入点：

利用指数函数的定义来判断；

（2）关键点：

一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量

．

举一反三：

【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？

（1）

；

（2）

；（3）

；（4）

；

（5）

；（6）

．

【答案】

（1）（5）（6）

【解析】

（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）

=

，符合指数函数的定义，而

（2）中底数

不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数

的乘积；（4）中底数

，所以不是指数函数．

类型二、函数的定义域、值域

例2．求下列函数的定义域、值域.

（1）

；

（2）y=4x-2x+1；（3）

；（4）

（a为大于1的常数）

【答案】

（1）R，（0，1）；

（2）R[

）；（3）

；（4）（-∞，-1）∪[1，+∞）

[1，a）∪（a，+∞）

【解析】

（1）函数的定义域为R（∵对一切x

R，3x≠-1）.

∵

，又∵3x>0，1+3x>1，

∴

，∴

，

∴

，∴值域为（0，1）.

（2）定义域为R，

，∵2x>0，∴

即x=-1时，y取最小值

，同时y可以取一切大于

的实数，∴值域为[

）.

（3）要使函数有意义可得到不等式

，即

，又函数

是增函数，所以

，即

，即

，值域是

.

（4）∵

∴定义域为（-∞，-1）∪[1，+∞），

又∵

，∴

，∴值域为[1，a）∪（a，+∞）.

【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第（3）小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第（4）小题中

不能遗漏.

举一反三：

【变式1】求下列函数的定义域：

（1）

（2）

（3）

（4）

【答案】

（1）R；

（2）

；（3）

；（4）a>1时，

；0

【解析】

（1）R

（2）要使原式有意义，需满足3-x≥0，即

，即

．

（3）为使得原函数有意义，需满足2x-1≥0，即2x≥1，故x≥0，即

（4）为使得原函数有意义，需满足

，即

，所以a>1时，

；0

.

【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系.

类型三、指数函数的单调性及其应用

例3．讨论函数

的单调性，并求其值域．

【思路点拨】对于x∈R，

恒成立，因此可以通过作商讨论函数

的单调区间．此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果．

【答案】函数

在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数（0，3]

【解析】

解法一：

∵函数

的定义域为（－∞，+∞），设x1、x2∈（－∞，+∞）且有x1＜x2，

∴

，

，

．

（1）当x1＜x2＜1时，x1+x2＜2，即有x1+x2－2＜0．

又∵x2－x1＞0，∴（x2―x1）（x2+x1―2）＜0，则知

．

又对于x∈R，

恒成立，∴

．

∴函数

在（－∞，1）上单调递增．

（2）当1≤x1＜x2时，x1+x2＞2，即有x1+x2－2＞0．

又∵x2－x1＞0，∴（x2―x1）（x2+x1―2）＞0，则知

．∴

．

∴函数

在[1，+∞）上单调递减．

综上，函数

在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数．

∵x2―2x=（x―1）2―1≥－1，

，

．

∴函数

的值域为（0，3]．

解法二：

∵函数

的下义域为R，令u=x2－2x，则

．

∵u=x2―2x=（x―1）2―1，在（―∞，1]上是减函数，

在其定义域内是减函数，∴函数

在（－∞，1]内为增函数．

又

在其定义域内为减函数，而u=x2―2x=（x―1）2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数

在[1，+∞）上是减函数．

值域的求法同解法一．

【总结升华】由本例可知，研究

型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：

即当a＞1时，

的单调性与

的单调性相同；当0＜a＜1时，

的单调与

的单调性相反．

举一反三：

【变式1】求函数

的单调区间及值域.

【答案】

上单增，在

上单减.

【解析】[1]复合函数——分解为：

u=-x2+3x-2，y=3u；

[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间；[3]求值域.

设u=-x2+3x-2，y=3u，

其中y=3u为R上的单调增函数，u=-x2+3x-2在

上单增，

u=-x2+3x-2在

上单减，

则

在

上单增，在

上单减.

又u=-x2+3x-2

，

的值域为

.

【变式2】求函数

的单调区间.

【解析】当a>1时，外层函数y=au在

上为增函数，内函数u=x2-2x在区间

上为减函数，在区间

上为增函数，故函数

上为减函数，在区间

上为增函数；

当0

上为减函数，内函数u=x2-2x在区间

上为减函数，在区间

上为增函数，故函数

在区间

上为增函数，在区间

上为减函数.

例4．证明函数

在定义域上为增函数.

【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。

【解析】定义域为x

R，任取x1

.

∵

，∴

，

又a>1，x1

，∴

，∴f（x1）

则

在定义域上为增函数.

另：

，∵

，a>1且x2-x1>0，

∴

，∴

.

【总结升华】指数函数是学习了函数的一般性质后，所学的第一个具体函数.因此，在学习中，尽量体会从一般到特殊的过程.

例5．判断下列各数的大小关系：

（1）1.8a与1.8a+1；

（2）

（3）22.5，（2.5）0，

（4）

【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。

【答案】

（1）1.8a<1.8a+1

（2）

（3）

（4）当a>1时，

，当0

【解析】

（1）因为底数1.8>1，所以函数y=1.8x为单调增函数，

又因为a

（2）因为

，又

是减函数，所以

，即

．

（3）因为

，

，所以

（4）当a>1时，

，当0

．

【总结升华】

（1）注意利用单调性解题的规范书写；

（2）不是同底的尽量化为同底数幂进行比较（因为同底才能用单调性）；

（3）不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小（常用的中间量是“0”和“1”）.

举一反三：

【变式1】比较大小：

（1）22.1与22.3

（2）3.53与3.23（3）0.9-0.3与1.1-0.1

（4）0.90.3与0.70.4（5）

.

【解析】

（1）22.1＜22.3

（2）3.53＞3.23.观察两函数值，底数不同，而指数不变——不是指数函数，而是y=x3，它为增函数.

（3）由0.9-0.3，0<0.9<1，-0.3<00.9-0.3>1，

1.1>1，-0.1<00<1.1-0.1<1，则0.9-0.3>1.1-0.1；

（4）由指数函数图象相对位置关系——数形结合，0.90.3>0.70.4.

（5）∵

，又函数

为减函数，

，∴

，

∵

为增函数，

时，y>1，

.

另解：

幂函数

为增函数，则有

，（下略）.

【高清课堂：

指数函数369066例1】

【变式2】利用函数的性质比较

，

，

【答案】

【解析】

=

作出

的图象知

所以

【变式3】比较1.5-0.2，1.30.7，

的大小.

【答案】

【解析】先比较

的大小.由于底数

（0，1），∴

在R上是减函数，∵

，∴

，再考虑指数函数y=1.3x，由于1.3>1，所以y=1.3x在R上为增函数1.30.7>1.30=1，∴

.

【总结升华】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数（如0，1等）分别与之比较，从而得出结果.总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断.

例6.（分类讨论指数函数的单调性）化简：

【思路点拨】先把被开方数变形成完全平方式的形式，然后对

进行分类讨论，去掉绝对值。

【解析】

举一反三：

【变式1】如果

（

，且

），求

的取值范