离散数学第七章图的基本概念知识点总结.docx

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离散数学第七章图的基本概念知识点总结

图论部分

第七章、图的基本概念

7.1无向图及有向图

无向图与有向图

多重集合:

元素可以重复出现的集合

无序积:

A&B={（x,y）|x∈A∧y∈B}

定义无向图G=,其中

（1）顶点集V≠∅，元素称为顶点

（2）边集E为V&V的多重子集，其元素称为无向边，简称边.

例如,G=如图所示,其中V={v1,v2,…,v5},E={（v1,v1）,（v1,v2）,（v2,v3）,（v2,v3）,（v2,v5）,（v1,v5）,（v4,v5）},

定义有向图D=,其中

（1）V同无向图的顶点集,元素也称为顶点

（2）边集E为V⨯V的多重子集，其元素称为有向边，简称边.

用无向边代替D的所有有向边所得到的无向图称作D的基图，右图是有向图，试写出它的V和E

注意：

图的数学定义与图形表示,在同构（待叙）的意义下是一一对应的

通常用G表示无向图,D表示有向图,也常用G泛指

无向图和有向图,用ek表示无向边或有向边.

V（G）,E（G）,V（D）,E（D）:

G和D的顶点集,边集.

n阶图:

n个顶点的图

有限图:

V,E都是有穷集合的图

零图:

E=∅

平凡图:

1阶零图

空图:

V=∅

顶点和边的关联与相邻：

定义设ek=（vi,vj）是无向图G=的一条边,称vi,vj为ek的端点,ek与vi（vj）关联.若vi≠vj,则称ek与vi（vj）的关联次数为1;若vi=vj,则称ek为环,此时称ek与vi的关联次数为2;若vi不是ek端点,则称ek与vi的关联次数为0.无边关联的顶点称作孤立点.

定义设无向图G=,vi,vj∈V,ek,el∈E,若（vi,vj）∈E,则称vi,vj相邻;若ek,el至少有一个公共端点,则称ek,el相邻.

对有向图有类似定义.设ek=〈vi,vj〉是有向图的一条边,又称vi是ek的始点,vj是ek的终点,vi邻接到vj,vj邻接于vi.

邻域和关联集

顶点的度数

设G=为无向图,v∈V,

v的度数（度）d（v）:

v作为边的端点次数之和

悬挂顶点:

度数为1的顶点

悬挂边:

与悬挂顶点关联的边

G的最大度∆（G）=max{d（v）|v∈V}

G的最小度δ（G）=min{d（v）|v∈V}

例如d（v5）=3,d（v2）=4,d（v1）=4,∆（G）=4,δ（G）=1,v4是悬挂顶点,e7是悬挂边,e1是环

设D=为有向图,v∈V,

v的出度d+（v）:

v作为边的始点次数之和

v的入度d-（v）:

v作为边的终点次数之和

v的度数（度）d（v）:

v作为边的端点次数之和

d（v）=d+（v）+d-（v）

D的最大出度∆+（D）,最小出度δ+（D）

最大入度∆-（D）,最小入度δ-（D）

最大度∆（D）,最小度δ（D）

例如d+（a）=4,d-（a）=1,d（a）=5,

d+（b）=0,d-（b）=3,d（b）=3,

∆+（D）=4,δ+（D）=0,∆-（D）=3,

δ-（D）=1,∆（D）=5,δ（D）=3.

握手定理

定理任意无向图和有向图的所有顶点度数之和都等于边数的2倍,并且有向图的所有顶点入度之和等于出度之和等于边数.

证G中每条边（包括环）均有两个端点，所以在计算G中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，m条边共提供2m度.有向图的每条边提供一个入度和一个出度,故所有顶点入度之和等于出度之和等于边数.

图的度数列

设无向图G的顶点集V={v1,v2,…,vn}

G的度数列:

d（v1）,d（v2）,…,d（vn）

如右图度数列:

4,4,2,1,3

设有向图D的顶点集V={v1,v2,…,vn}

D的度数列:

d（v1）,d（v2）,…,d（vn）

D的出度列:

d+（v1）,d+（v2）,…,d+（vn）

D的入度列:

d-（v1）,d-（v2）,…,d-（vn）

如右图度数列:

5,3,3,3

出度列:

4,0,2,1

入度列:

1,3,1,2

例1（3,3,3,4）,（2,3,4,6,8）能成为图的度数列吗?

解不可能.它们都有奇数个奇数.

例2已知图G有10条边,4个3度顶点,其余顶点的度数均小于等于2,问G至少有多少个顶点?

解设G有n个顶点.由握手定理,

4⨯3+2⨯（n-4）≥2⨯10

解得n≥8

例3证明不存在具有奇数个面且每个面都具有奇数条棱的多面体.

证用反证法.假设存在这样的多面体,

作无向图G=,其中V={v|v为多面体的面},

E={（u,v）|u,v∈V∧u与v有公共的棱∧u≠v}.

根据假设,|V|为奇数且∀v∈V,d（v）为奇数.这与握手定理的推论矛盾.

多重图与简单图

定义

（1）在无向图中,如果有2条或2条以上的边关联同一对顶点,则称这些边为平行边,平行边的条数称为重数.

（2）在有向图中,如果有2条或2条以上的边具有相同的始点和终点,则称这些边为有向平行边,简称平行边,平行边的条数称为重数.

（3）含平行边的图称为多重图.

（4）既无平行边也无环的图称为简单图.

注意:

简单图是极其重要的概念

图的同构

定义设G1=,G2=为两个无向图（有

向图）,若存在双射函数f:

V1→V2,使得对于任意的

vi,vj∈V1,

（vi,vj）∈E1（∈E1）当且仅当

（f（vi）,f（vj））∈E2（∈E2），

并且,（vi,vj）（）与（f（vi）,f（vj））（）

的重数相同，则称G1与G2是同构的，记作G1≅G2.

几点说明：

图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.

能找到多条同构的必要条件,但它们都不是充分条件:

①边数相同，顶点数相同

②度数列相同（不计度数的顺序）

③对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同，等等

若破坏必要条件，则两图不同构

至今没有找到判断两个图同构的多项式时间算法

完全图：

n阶无向完全图Kn:

每个顶点都与其余顶点相邻的n阶无向简单图.

简单性质:

边数m=n（n-1）/2,∆=δ=n-1

n阶有向完全图:

每对顶点之间均有两条方向相反的有向边的n阶有向简单图.

简单性质:

边数m=n（n-1）,∆=δ=2（n-1）,

∆+=δ+=∆-=δ-=n-1

子图：

定义设G=,G'=是两个图

（1）若V'⊆V且E'⊆E,则称G'为G的子图,G为G'的

母图,记作G'⊆G

（2）若G'⊆G且V'=V，则称G'为G的生成子图

（3）若V'⊂V或E'⊂E，称G'为G的真子图

（4）设V'⊆V且V'≠∅,以V'为顶点集,以两端点都在

V'中的所有边为边集的G的子图称作V'的导

出子图，记作G[V']

（5）设E'⊆E且E'≠∅,以E'为边集,以E'中边关联的

所有顶点为顶点集的G的子图称作E'的导出子

图,记作G[E']

补图：

定义设G=为n阶无向简单图，以V为顶点集,所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记作

.

若G≅

则称G是自补图.

例对上一页K4的所有非同构子图,指出互为补图的每一对子图,并指出哪些是自补图.

7.2通路、回路、图的连通性

简单通（回）路,初级通（回）路,复杂通（回）路

定义给定图G=（无向或有向的），G中顶点与边的交替序列Γ=v0e1v1e2…elvl，

（1）若∀i（1≤i≤l）,vi-1,vi是ei的端点（对于有向图,要求vi-1是始点,vi是终点）,则称Γ为通路,v0是通路的起点,vl是通路的终点,l为通路的长度.又若v0=vl，则称Γ为回路.

（2）若通路（回路）中所有顶点（对于回路,除v0=vl）各异，则称为初级通路（初级回路）.初级通路又称作路径,初级回路又称作圈.

（3）若通路（回路）中所有边各异,则称为简单通路（简单回路）,否则称为复杂通路（复杂回路）.

说明:

表示方法

①用顶点和边的交替序列（定义）,如Γ=v0e1v1e2…elvl

②用边的序列,如Γ=e1e2…el

③简单图中,用顶点的序列,如Γ=v0v1…vl

④非简单图中,可用混合表示法,如Γ=v0v1e2v2e5v3v4v5

环是长度为1的圈,两条平行边构成长度为2的圈.

在无向简单图中,所有圈的长度≥3;在有向简单图中,所有圈的长度≥2.

在两种意义下计算的圈个数

①定义意义下

在无向图中,一个长度为l（l≥3）的圈看作2l个不同的圈.如v0v1v2v0,v1v2v0v1,v2v0v1v2,v0v2v1v0,v1v0v2v1,v2v1v0v2看作6个不同的圈.

在有向图中,一个长度为l（l≥3）的圈看作l个不同的圈.

②同构意义下

所有长度相同的圈都是同构的,因而是1个圈.

定理在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vi≠vj）存在通

路，则从vi到vj存在长度小于等于n-1的通路.

推论在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vi≠vj）存在通

路，则从vi到vj存在长度小于等于n-1的初级通路.

定理在一个n阶图G中，若存在vi到自身的回路，则

一定存在vi到自身长度小于等于n的回路.

推论在一个n阶图G中，若存在vi到自身的简单回

路，则一定存在长度小于等于n的初级回路.

无向图的连通性

设无向图G=,

u与v连通:

若u与v之间有通路.规定u与自身总连通.

连通关系R={|u,v∈V且u~v}是V上的等价关系

连通图:

任意两点都连通的图.平凡图是连通图.

连通分支:

V关于连通关系R的等价类的导出子图

设V/R={V1,V2,…,Vk},G[V1],G[V2],…,G[Vk]是G的连通分支,其个数记作p（G）=k.

G是连通图⇔p（G）=1

短程线与距离

u与v之间的短程线:

u与v之间长度最短的通路

（u与v连通）

u与v之间的距离d（u,v）:

u与v之间短程线的长度

若u与v不连通,规定d（u,v）=∞.

性质：

d（u,v）≥0,且d（u,v）=0⇔u=v

d（u,v）=d（v,u）

d（u,v）+d（v,w）≥d（u,w）

点割集与割点

记G-v:

从G中删除v及关联的边

G-V':

从G中删除V'中所有的顶点及关联的边

G-e:

从G中删除e

G-E':

从G中删除E'中所有边

定义设无向图G=,V'⊂V,若p（G-V'）>p（G）且∀V''⊂V',p（G-V''）=p（G）,则称V'为G的点割集.若{v}为点割集,则称v为割点.

边割集与割边（桥）

定义设无向图G=,E'⊆E,若p（G-E'）>p（G）且∀E''⊂E',

p（G-E''）=p（G）,则称E'为G的边割集.若{e}为边割集,则称e

为割边或桥.

在上一页的图中，{e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}，{e8}等是边割集，

e8是桥，{e7,e9,e5,e6}是边割集吗？

几点说明：

Kn无点割集

n阶零图既无点割集，也无边割集.

若G连通，E'为边割集，则p（G-E'）=2

若G连通，V'为点割集，则p（G-V'）≥2

有向图的连通性

设有向图D=

u可达v:

u到v有通路.规定u到自身总是可达的.

可达具有自反性和传递性

D弱连通（连通）:

基图为无向连通图

D单向连通:

∀u,v∈V，u可达v或v可达u

D强连通:

∀u,v∈V，u与v相互可达

强连通⇒单向连通⇒弱连通

定理（强连通判别法）D强连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的回路

定理（单向连通判别法）D单向连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的通路

有向图的短程线与距离

u到v的短程线:

u到v长度最短的通路（u可达v）

u与v之间的距离d:

u到v的短程线的长度

若u不可达v,规定d=∞.

性质：

d≥0,且d=0⇔u=v

d+d≥d

注意:

没有对称性

7.3图的矩阵表示

无向图的关联矩阵

定义设无向图G=,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em},令mij为vi与ej的关联次数，称（mij）n⨯m为G的关联矩阵，记为M（G）.

性质

（1）每一列恰好有两个1或一个2

有向图的关联矩阵

定义设无环有向图D=,V={v1,v2,…,vn},

E={e1,e2,…,em},令

性质

（1）每一列恰好有一个1和一个-1

（2）第i行1的个数等于d+（vi）,-1的个数等于d-（vi）

（3）1的总个数等于-1的总个数,且都等于m

（4）平行边对应的列相同

有向图的邻接矩阵

有向图的可达矩阵

7.4最短路径及关键路径

带权图G=,其中w:

E→R.

∀e∈E,w（e）称作e的权.e=（vi,vj）,记w（e）=wij.若vi,vj不

相邻,记wij=∞.

设L是G中的一条路径,L的所有边的权之和称作L的

权,记作w（L）.

u和v之间的最短路径:

u和v之间权最小的通路.

标号法（E.W.Dijkstra,1959）

PERT图与关键路径

PERT图（计划评审技术图）

设有向图G=,v∈V

v的后继元集Γ+（v）={x|x∈V∧∈E}

v的先驱元集Γ-（v）={x|x∈V∧∈E}

PERT图:

满足下述条件的n阶有向带权图D=,

（1）D是简单图,

（2）D中无回路,

（3）有一个入度为0的顶点,称作始点;有一个出度为0

的顶点,称作终点.

通常边的权表示时间,始点记作v1,终点记作vn

关键路径

关键路径:

PETR图中从始点到终点的最长路径

vi的最早完成时间TE（vi）:

从始点v1沿最长路径到vi

所需的时间

TE（v1）=0

TE（vi）=max{TE（vj）+wji|vj∈Γ-（vi）},i=2,3,⋯,n

vi的最晚完成时间TL（vi）:

在保证终点vn的最早完成

时间不增加的条件下,从始点v1最迟到达vi的时间

TL（vn）=TE（vn）

TL（vi）=min{TL（vj）-wij|vj∈Γ+（vi）},i=n-1,n-2,⋯,1

vi的缓冲时间TS（vi）=TL（vi）-TE（vi）,i=1,2,⋯,n

vi在关键路径上⇔TS（vi）=0

最晚完成时间

TL（v8）=12

TL（v7）=min{12-6}=6

TL（v6）=min{12-1}=11

TL（v5）=min{11-1}=10

TL（v4）=min{10-4}=6

TL（v3）=min{6-2,11-4,6-4}=2

TL（v2）=min{2-0,10-3,6-4}=2

TL（v1）=min{2-1,2-2,6-3}=0

缓冲时间

TS（v1）=0-0=0

TS（v2）=2-1=1

TS（v3）=2-2=0

TS（v4）=6-4=2

TS（v5=10-8=2

TS（v6）=11-9=2

TS（v7）=6-6=0

TS（v8）=12-12=0

关键路径:

v1v3v7v8