初中奥数题及答案.docx
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初中奥数题及答案
初中奥数题试题及答案
初中奥数题试题一
一、选择题(每题1分,共10分)
1.如果a,b都代表有理数,并且a+b=0,那么()
A.a,b都是0
B.a,b之一是0
C.a,b互为相反数
D.a,b互为倒数
答案:
C
解析:
令a=2,b=-2,满足2+(-2)=0,由此a、b互为相反数。
2.下面的说法中正确的是()
A.单项式与单项式的和是单项式
B.单项式与单项式的和是多项式
C.多项式与多项式的和是多项式
D.整式与整式的和是整式
答案:
D
解析:
x²,x3都是单项式.两个单项式x3,x²之和为x3+x²是多项式,排除A。
两个单项式x²,2x2之和为3x2是单项式,排除B。
两个多项式x3+x2与x3-x2之和为2x3是个单项式,排除C,因此选D。
3.下面说法中不正确的是()
A.有最小的自然数
B.没有最小的正有理数
C.没有最大的负整数
D.没有最大的非负数
答案:
C
解析:
最大的负整数是-1,故C错误。
4.如果a,b代表有理数,并且a+b的值大于a-b的值,那么()
A.a,b同号
B.a,b异号
C.a>0
D.b>0
答案:
D
5.大于-π并且不是自然数的整数有()
A.2个
B.3个
C.4个
D.无数个
答案:
C
解析:
在数轴上容易看出:
在-π右边0的左边(包括0在内)的整数只有-3,-2,
-1,0共4个.选C。
6.有四种说法:
甲.正数的平方不一定大于它本身;
乙.正数的立方不一定大于它本身;
丙.负数的平方不一定大于它本身;
丁.负数的立方不一定大于它本身。
这四种说法中,不正确的说法的个数是()
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案:
B
解析:
负数的平方是正数,所以一定大于它本身,故丙错误。
7.a代表有理数,那么,a和-a的大小关系是()
A.a大于-a
B.a小于-a
C.a大于-a或a小于-a
D.a不一定大于-a
答案:
D
解析:
令a=0,马上可以排除A、B、C,应选D。
8.在解方程的过程中,为了使得到的方程和原方程同解,可以在原方程的两边()
A.乘以同一个数
B.乘以同一个整式
C.加上同一个代数式
D.都加上1
答案:
D
解析:
对方程同解变形,要求方程两边同乘不等于0的数,所以排除A。
我们考察方程x-2=0,易知其根为x=2.若该方程两边同乘以一个整式x-1,得(x-1)(x-2)=0,其根为x=1及x=2,不与原方程同解,排除B。
同理应排除C.事实上方程两边同时加上一个常数,新方程与原方程同解,对D,这里所加常数为1,因此选D.
9.杯子中有大半杯水,第二天较第一天减少了10%,第三天又较第二天增加了10%,那么,第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是()
A.一样多
B.多了
C.少了
D.多少都可能
答案:
C
解析:
设杯中原有水量为a,依题意可得,
第二天杯中水量为a×(1-10%)=0.9a;
第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a;
第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1,
所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了,选C。
10.轮船往返于一条河的两码头之间,如果船本身在静水中的速度是固定的,那么,当这条河的水流速度增大时,船往返一次所用的时间将()
A.增多
B.减少
C.不变D.增多、减少都有可能
答案:
A
二、填空题(每题1分,共10分)
1.19891990²-19891989²=______。
答案:
19891990²-19891989²
=(19891990+19891989)×(19891990-19891989)
=(19891990+19891989)×1=39783979。
解析:
利用公式a²-b²=(a+b)(a-b)计算。
2.1-2+3-4+5-6+7-8+…+4999-5000=______。
答案:
1-2+3-4+5-6+7-8+…+4999-5000
=(1-2)+(3-4)+(5-6)+(7-8)+…+(4999-5000)
=-2500。
解析:
本题运用了运算当中的结合律。
3.当a=-0.2,b=0.04时,代数式a²-b的值是______。
答案:
0
解析:
原式==(-0.2)²-0.04=0。
把已知条件代入代数式计算即可。
4.含盐30%的盐水有60千克,放在秤上蒸发,当盐水变为含盐40%时,秤得盐水的重是______千克。
答案:
45(千克)
解析:
食盐30%的盐水60千克中含盐60×30%(千克),
设蒸发变成含盐为40%的水重x克,
即60×30%=40%x
解得:
x=45(千克)。
遇到这一类问题,我们要找不变量,本题中盐的含量是一个不变量,通过它列出等式进行计算。
三、解答题
1.甲乙两人每年收入相等,甲每年储蓄全年收入的
,乙每月比甲多开支100元,三年后负债600元,求每人每年收入多少?
答案:
解:
设每人每年收入x元,甲每年开支4/5x元,依题意有:
3(4/5x+1200)=3x+600
即(3-12/5)x=3600-600
解得,x=5000
答:
每人每年收入5000元
所以S的末四位数字的和为1+9+9+5=24。
4.一个人以3千米/小时的速度上坡,以6千米/小时的速度下坡,行程12千米共用了3小时20分钟,试求上坡与下坡的路程。
答案:
设上坡路程为x千米,下坡路程为y千米.依题意则:
由②有2x+y=20, ③
由①有y=12-x,将之代入③得2x+12-x=20。
所以x=8(千米),于是y=4(千米)。
答:
上坡路程为8千米,下坡路程为4千米。
5.求和:
。
答案:
第n项为
所以
。
6.证明:
质数p除以30所得的余数一定不是合数。
证明:
设p=30q+r,0≤r<30,
因为p为质数,故r≠0,即0<r<30。
假设r为合数,由于r<30,所以r的最小质约数只可能为2,3,5。
再由p=30q+r知,当r的最小质约数为2,3,5时,p不是质数,矛盾。
所以,r一定不是合数。
解:
设
由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq,即
(4-m)pq+1=2(p+q)。
可知m<4.由①,m>0,且为整数,所以m=1,2,3.下面分别研究p,q。
(1)若m=1时,有
解得p=1,q=1,与已知不符,舍去.
(2)若m=2时,有
因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的,故m=2时无解.
(3)若m=3时,有
解之得
故p+q=8。
初中奥数题试题二
一、选择题
1.数1是()
A.最小整数
B.最小正数
C.最小自然数
D.最小有理数
答案:
C
解析:
整数无最小数,排除A;正数无最小数,排除B;有理数无最小数,排除D。
1是最小自然数,正确,故选C。
2.a为有理数,则一定成立的关系式是()
A.7a>a
B.7+a>a
C.7+a>7
D.|a|≥7
答案:
B
解析:
若a=0,7×0=0排除A;7+0=7排除C;|0|<7排除D,事实上因为7>0,必有7+a>0+a=a.选B。
3.3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)的值是()
A.6.1632
B.6.2832
C.6.5132
D.5.3692
答案:
B
解析:
3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)
=3.1416(7.5944-5.5944)=2×3.1416
=6.2832,选B。
4.在-4,-1,-2.5,-0.01与-15这五个数中,最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是()
A.225
B.0.15
C.0.0001
D.1
答案:
B
解析:
-4,-1,-2.5,-0.01与-15中最大的数是-0.01,绝对值最大的数是-15,(-0.01)×(-15)=0.15,选B。
二、填空题
1.计算:
(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=______。
答案:
(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=(-2)-(-1)=-1。
2.求值:
(-1991)-|3-|-31||=______。
答案:
(-1991)-|3-|-31||=-1991-28=-2019。
3.n为正整数,1990n-1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是8009。
则n的最小值等于______。
答案:
4
解析:
1990n的末四位数字应为1991+8009的末四位数字.即为0000,即1990n末位至少要4个0,所以n的最小值为4。
4.不超过(-1.7)²的最大整数是______。
答案:
2
解析:
(-1.7)²=2.89,不超过2.89的最大整数为2。
5.一个质数是两位数,它的个位数字与十位数字的差是7,则这个质数是______。
答案:
29
解析:
个位数比十位数大7的两位数有18,29,其中只有29是质数。
三、解答题
1.已知3x2-x=1,求6x3+7x2-5x+2000的值。
答案:
原式
=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000=2x×1+3×1-2x+2000=2003。
2.某商店出售的一种商品,每天卖出100件,每件可获利4元,现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润,根据经验,这种商品每涨价1元,每天就少卖出10件。
试问将每件商品提价多少元,才能获得最大利润?
最大利润是多少元?
答案:
原来每天可获利4×100元,若每件提价x元,则每件商品获利(4+x)元,但每天卖出为(100-10x)件。
如果设每天获利为y元,
则y=(4+x)(100-10x)
=400+100x-40x-10x2
=-10(x2-6x+9)+90+400
=-10(x-3)2+490。
所以当x=3时,y最大=490元,即每件提价3元,每天获利最大为490元。
3.如图1-96所示,已知CB⊥AB,CE平分∠BCD,DE平分∠CDA,∠1+∠2=90°。
求证:
DA⊥AB。
证明:
∵CE平分∠BCD,DE平分∠ADC及∠1+∠2=90°,
∴∠ADC+∠BCD=180°,
∴AD∥BC。
又∵ AB⊥BC,
∴AB⊥AD。
4.求方程|xy|-|2x|+|y|=4的整数解。
答案:
|x||y|-2|x|+|y|=4,即|x|(|y|-2)+(|y|-2)=2,
所以(|x|+1)(|y|-2)=2。
因为|x|+1>0,且x,y都是整数,所以
5.王平买了年利率7.11%的三年期和年利率为7.86%的五年期国库券共35000元,若三年期国库券到期后,把本息再连续存两个一年期的定期储蓄,五年后与五年期国库券的本息总和为47761元,问王平买三年期与五年期国库券各多少?
(一年期定期储蓄年利率为5.22%)
答案:
设设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元,则
因为 y=35000-x,
所以x(1+0.0711×3)(1+0.0522)2+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761,
所以1.3433x+48755-1.393x=47761,
所以0.0497x=994,
所以x=20000(元),y=35000-20000=15000(元)。
6.对k,m的哪些值,方程组
至少有一组解?
答案:
因为(k-1)x=m-4,①
m为一切实数时,方程组有唯一解.当k=1,m=4时,①的解为一切实数,所以方程组有无穷多组解。
当k=1,m≠4时,①无解。
所以,k≠1,m为任何实数,或k=1,m=4时,方程组至少有一组解。
初中奥数题试题三
一、选择题
1.下面给出的四对单项式中,是同类项的一对是()
A.x²y与-3x²z
B.3.22m²n3与n3m²
C.0.2a²b与0.2ab²
D.11abc与ab
答案:
B
解析:
字母相同,并且相同字母的指数也相同的两个式子叫同类项。
2.(x-1)-(1-x)+(x+1)等于()
A.3x-3
B.x-1
C.3x-1
D.x-3
答案:
C
解析:
(x-1)-(1-x)+(x+1)
=x-1-1+x+x+1=3x-1,选C。
3.两个10次多项式的和是()
A.20次多项式
B.10次多项式
C.100次多项式
D.不高于10次的多项式
答案:
D
解析:
多项式x10+x与-x10+x²之和为x²+x是个次数低于10次的多项式,因此排除了A、B、C,选D。
4.若a+1<0,则在下列每组四个数中,按从小到大的顺序排列的一组是()
A.a,-1,1,-a
B.-a,-1,1,a
C.-1,-a,a,1
D.-1,a,1,-a
答案:
A
解析:
由a+1<0,知a<-1,所以-a>1。
于是由小到大的排列次序应是a<-1<1<-a,选A。
5.a=-123.4-(-123.5),b=123.4-123.5,c=123.4-(-123.5),则()
A.c>b>a
B.c>a>b
C.a>b>c
D.b>c>a
答案:
B
解析:
易见a=-123.4+123.5=0.1,b=123.4-123.5<0,c=123.4-(-123.5)>123.4>a,所以b<a<c,选B。
6.若a<0,b>0,且|a|<|b|,那么下列式子中结果是正数的是()
A.(a-b)(ab+a)
B.(a+b)(a-b)
C.(a+b)(ab+a)
D.(ab-b)(a+b)
答案:
A
因为a<0,b>0.所以|a|=-a,|b|=b.由于|a|<|b|得-a<b,因此a+b>0,a-b<0。
ab+a<0,ab-b<0。
所以应有(a-b)(ab+a)>0成立,选A。
7.从2a+5b减去4a-4b的一半,应当得到()
A.4a-b
B.b-a
C.a-9b
D.7b
答案:
D
解析:
=2a+5b-2a+2b=7b,选D。
8.a,b,c,m都是有理数,并且a+2b+3c=m,a+b+2c=m,那么b与c()
A.互为相反数
B.互为倒数
C.互为负倒数
D.相等
答案:
A
解析:
因为a+2b+3c=m=a+b+2c,所以b+c=0,即b,c互为相反数,选A。
9.张梅写出了五个有理数,前三个有理数的平均值为15,后两个有理数的平均值是10,那么张梅写出的五个有理数的平均值是()
A.5
B.8
C.12
D.13
答案:
D
解析:
前三个数之和=15×3,后两个数之和=10×2。
所以五个有理数的平均数为(45+20)÷5=13,选D。
二、填空题(每题1分,共10分)
1.2+(-3)+(-4)+5+6+(-7)+(-8)+9+10+(-11)+(-12)+13+14+15=______。
答案:
29
解析:
前12个数,每四个一组,每组之和都是0.所以总和为14+15=29。
2.若P=a²+3ab+b²,Q=a²-3ab+b²,则代入到代数式P-[Q-2P-(-P-Q)]中,化简后,是______。
答案:
12ab。
解析:
因为P-[Q-2P-(-P-Q)]
=P-Q+2P+(-P-Q)
=P-Q+2P-P-Q
=2P-2Q=2(P-Q)
以P=a²+3ab+b²,Q=a²-3ab+b²代入,
原式=2(P-Q)=2[(a²+3ab+b²)-(a²-3ab+b²)]
=2(6ab)=12ab。
3.小华写出四个有理数,其中每三数之和分别为2,17,-1,-3,那么小华写出的四个有理数的乘积等于______。
答案:
-1728。
解析:
设这四个有理数为a、b、c、d,则
有3(a+b+c+d)=15,即a+b+c+d=5。
分别减去每三数之和后可得这四个有理数依次为3,-12,6,8,所以,这四个有理数的乘积=3×(-12)×6×8=-1728。
4.一种小麦磨成面粉后,重量要减少15%,为了得到4250公斤面粉,至少需要______公斤的小麦。
答案:
5000
解析:
设需要x公斤的小麦,则有
x(x-15%)=4250
x=5000
三、解答题
答案:
原式化简得6(a-1)x=3-6b+4ab,当a≠1时,
答案:
3.液态农药一桶,倒出8升后用水灌满,再倒出混合溶液4升,再用水灌满,这时农药的浓度为72%,求桶的容量。
答案:
去分母、化简得7x2-300x+800=0,即7x-20)(x-40)=0,
4.6.设P是△ABC内一点.求:
P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围。
答案:
如图1-105所示。
在△PBC中有BC<PB+PC,①
延长BP交AC于D.易证PB+PC<AB+AC,②
由①,②BC<PB+PC<AB+AC,③
同理AC<PA+PC<AC+BC,④
AB<PA+PB<AC+AB。
⑤
③+④+⑤得AB+BC+CA<2(PA+PB+PC)<2(AB+BC+CA)。
所以。
5.甲乙两人同时从东西两站相向步行,相会时,甲比乙多行24千米,甲经过9小时到东站,乙经过16小时到西站,求两站距离。
答案:
设甲步行速度为x千米/小时,乙步行速度为y千米/小时,则所求距离为(9x+16y)千米;
依题意得:
由①得16y2=9x2,③
由②得16y=24+9x,将之代入③得
即(24+9x)2=(12x)2.解之得
于是
所以两站距离为9×8+16×6=168(千米)。