新编数学教学论期末复习南师大.docx
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新编数学教学论期末复习南师大
第1章数学教育目的
一、对数学教育价值观的一般性认识：
①实践价值。
指数学科学对于认识客观世界、改造客观世界的实践活动所具有的教育作用和意义。
在这一层面上，一般可论及的是数学作为计算的工具、作为科学的语言、作为科学抽象的手段……等等方面。
②认识价值。
指学习和掌握数学知识及其过程在发展人的认识能力上所具有的教育作用和意义。
实现这一价值的主要支撑点是“数学是锻炼思维的体操”，数学教育可以培养以思维能力为核心的诸多功能。
③德育价值。
指数学在形成和发展人的科学态度和世界观、道德素养和个性特征方面所具有的教育作用和意义。
体现这一价值的要点是辩证唯物主义世界观，求真、严谨、刻苦的品质锻炼。
④美育价值。
指数学在培养发展学生审美情趣和能力方面所具有的教育作用和意义。
如对数学美的感悟、欣赏及数学美育教育等。
第2章数学学习理论
一、几种学习理论
1．行为主义学习理论
代表人物：
桑代克、斯金纳
（1）桑代克试误学习理论
著名的实验：
迷箱实验
桑代克由此否定了顿悟类型的学习，指出如果猫是突然获得观念的话,那么学习曲线应呈一种突然改善之势，但是实际上呈现的是一种由慢到快的渐进过程。
猫学到的不是观念之间的联结，而是刺激和反应之间的直接联结。
行为改进是通过一种机械过程自动地完成的，不需要观念和顿悟。
学习是在一种几乎没有意识和思维参与的情况下自动地形成刺激-反应联结的过程。
在此实验的基础之上，桑代克提出了他的试误学习理论。
基本观点：
——学习即形成刺激-反应联结
——教学则是安排各种情境，以便导致理想的联结并感到满意
（2）斯金纳操作学习理论
实验：
斯金纳箱实验
斯金纳（B.Skinner）在刺激与反应的联接中更强调“强化”的作用。
行为主义认为学习过程就是形成刺激和反应之间联结的过程，同时认为动物和人的学习过程是相同的。
它把人的学习过程看作和动物鸽子、白鼠的学习过程相同。
两者都是通过情景反复刺激、养成行为习惯反应的过程。
情景刺激反应
行为主义学习理论在实际的教学和教育工作中有着非常广泛的应用。
这些应用中影响最大的就是程序教学。
程序教学是20世纪第一个具有全球影响的教学改革运动，深刻地影响到当时美国及世界其它国家地教学改革运动。
简单地说，程序教学是通过教学机器呈现程序化教材而进行自学的一种方法。
它把一门课程的总目标分为几个单元，再把每个单元分成许多小步子。
学生在学完每一步骤的课程之后，马上就能知道自己的学习结果。
在学习过程中，学生可以自定学习步调，自主进行反应，逐步达到总目标。
2．认知主义学习理论
认知主义学习理论起源于德国格式塔心理学派的完形理论。
格式塔的德语名词是Gestait，含义是完形，指被分离的整体或组织结构。
格式塔心理学是以反对元素分析、强调心理的整体组织为其基本特征的。
它认为每一种心理现象都是一个分离的整体，是一个格式塔，是一种完形。
人脑对环境作组织的反应，提供一种组织或完形，即顿悟，其作用就是学习。
格式塔心理学的创始人是德国心理学家魏特墨（M.Wertheimer）、科夫卡（K.Koffka）和克勒。
克勒发挥了格式塔理论，提出了顿悟说：
1．学习是组织、构造一种完形，而不是刺激与反应的简单联结。
1917年克勒在《猩猩的智慧》一书中发表了他的顿悟学习理论。
认为学习并非是简单的刺激—反应联结，也不是侥幸的试误，而是通过对学习情境中事物关系的理解构成一种完形而实现的，是通过有目的的主动的了解和顿悟而组织起来的一种完形。
例如，黑猩猩接起短棒打下高处的香蕉的实验
2．学习是顿悟，而不是通过尝试错误来实现的。
总之，顿悟说重视的是刺激和反应之间的组织作用，认为这种组织表现为知觉经验中旧的组织结构（格式塔）的豁然改组或新结构的顿悟。
认知主义学习理论认为在人类行为的背后都有一个思维过程，人的学习有主动积极的思维活动，是复杂的过程。
三要素：
情景刺激——心理活动——行为反应
现代认知学习理论的代表人物是布鲁纳和奥苏贝尔。
他们都强调学习者的原有认知结构的作用和学习材料本身的结构的作用，都重视内在的学习动机与学习活动本身带来的内在强化作用。
但对于如何获得新的知识的过程，他们强调的重点却有所不同，布鲁纳强调发现，而奥苏贝尔强调接受。
①布鲁纳的学习理论。
布鲁纳非常重视人的主动性，把学习看成是主动的过程，同时，也十分重视已有经验的作用和学习的内在动机，以及发展学生的思维。
布鲁纳提倡发现学习。
②奥苏贝尔的学习理论。
美国心理学家奥苏贝尔提出的有意义学习理论，不像布鲁纳那样强调发现学习，而是强调有意义的接受学习。
有意义学习，既包括有意义的发现学习，也包括有意义的接受学习，但不能把接受学习和机械学习等同起来。
只要注意加强学习者有意义的理解，接受学习就不一定是被动的、机械的，而完全可以是主动的、有意义的。
认知学习理论的不足之处，是没有揭示学习过程的心理结构。
3．建构主义学习理论
建构主义学习理论是行为主义发展到认知主义以后的进一步发展。
建构主义对学习的理解：
学习是获取知识的过程，知识不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得。
建构主义认为世界虽然是客观的，但是对于世界的理解和赋予意义却是由每个人自己决定的。
当今建构主义者主张：
学习者是以自己的经验为基础来建构现实，或者至少说是在解释现实，学习者个人的经验世界是用他自己的头脑创建的，由于学习者的经验以及对经验的信念不同，于是学习者对外部世界的理解也是不同的。
因而，他们更关注如何以原有的经验、心理结构和信念为基础构建知识。
他们强调学习的主动性、社会性和情境性。
二、数学学习的分类
1．根据学生对学习内容的理解，数学学习分为机械学习与有意义学习
机械学习是指学生并未理解由符号所代表的知识，仅仅记住某个数学符号、数学概念、公式、定理等。
有意义学习则是指学生经过思考，掌握并理解了由符号所代表的数学知识，并能融会贯通。
2．根据学生进行学习的方式，数学学习分为接受学习与发现学习
接受学习是指学习的全部数学内容是以定论的形式呈现给学习者的，这种学习不涉及学习者任何独立的发现，只需要他将所学的心知识与旧的知识有机地结合起来，以便以后的再现和运用。
发现学习是指一般只提出问题或提供背景材料，主要内容要由学生自己独立发现。
接受学习与发现学习不能绝对化。
三、数学学习过程的一般模式（两种最基本的形式：
同化和顺应）
根据学习的认知理论，我们认为数学学习过程是一个数学认知过程，即新的学习内容和学生原有数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程。
依据学生认知结构的变化，我们认为数学学习过程的一般模式如下图：
新学习的内容输入原数学认知结构相互作用新的认知结构雏形操作初步形成新的数学认知结构解决问题形成新的认知结构，达到预期目标
四个阶段：
输入阶段、相互作用阶段、操作阶段、输出阶段。
输入阶段：
学习起源于新的学习情境。
输入阶段实际上就是给学生提供新的学习内容，创造学习情境。
相互作用阶段：
产生学习的需要之后，学生原有的数学认知结构和新的学习内容就发生作用，数学学习便进入相互作用阶段。
学生原有认知结构和新的学习内容的相互作用有两种最基本的形式：
同化和顺应。
所谓同化，就是把新学习的内容纳入到原数学认知结构中去，从而扩大原有认知结构的过程；
所谓顺应，就是当原有认知结构不能接纳新的学习内容时，必须改造原有的认知结构，以适应新学习内容的过程。
（举例说明？
？
？
）
操作阶段：
操作阶段实质是在第二阶段产生新的认知结构雏形的基础上，通过练习等活动初步形成新的认知结构的过程。
这里的操作是指数学思维活动。
操作阶段的目的在于使刚产生的数学认知结构变得完善。
输出阶段：
在第三阶段初步形成新的认知结构的基础上，通过解决数学问题，使新学习的知识完全融化于原有的数学认知结构之中，形成新的认知结构的过程。
第3章数学教学的理论与实践
专题一：
数学概念的教学
一、概念间的关系（对具体概念举例说明？
？
）
（1）相容关系
如果两个概念A和B的外延集合的交集非空，就称这两个概念的关系为相容关系。
相容关系又可分为下面三种情形。
·同一关系。
·交叉关系。
·从属关系。
（2）不相容关系
如果两个概念A和B是属于同一属概念下的种概念，并且它们的外延集合的交集为空集，那么称这两个概念间的关系是不相容关系。
不相容关系又分成下面两种。
·反对关系（对立关系）。
·矛盾关系。
二、概念的定义（中学数学里给概念下定义的两种主要方法是什么？
）
（1）给概念下定义的意义和定义的结构
任何定义都由被定义项、定义项和定义联项三部分组成。
“三边相等的三角形叫做等边三角形”
定义项定义联项被定义项
（2）定义的方法
A、邻近的属加种差定义法“邻近的属+种差=被定义概念”
如果一个概念的属概念中，其内涵与这个概念的内涵的差为最小（内涵最多）叫做这个概念的邻近的属。
种差是指被定义概念与同一属概念之下其他种概念之间的差别，即被定义概念具有而它的属概念的其他种概念不具有的属性。
例如，平行四边形的概念邻近的属是四边形，平行四边形区别于四边形的其他种概念的属性即种差是“一组对边平行并且相等”，这样即可给平行四边形下定义为“一组对边平行并且相等的四边形叫做平行四边形”。
利用邻近的属加种差定义方法给概念下定义，一般情况下，应找出被定义概念最邻近的属，这样可使种差简单一些。
等边的矩形叫做正方形；
等边且等角的四边形叫做正方形。
对于同一个概念，选择同一个属的不同种差，可以作出不同的定义。
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
两组对边分别相等的四边形叫平行四边形。
两对角线互相平分的四边形叫平行四边形。
选择的属都是“四边形”，但种差不同。
邻近的属加种差的定义方法有两种特殊形式：
一是发生式定义方法。
它是以被定义概念所反映的对象产生或形成的过程作为种差来下定义的。
二是关系定义法。
它是以被定义概念所反映的对象与另一对象之间关系或它与另一对象对第三者的关系作为种差的一种定义方式。
B、揭示外延的定义方法
三、数学概念学习的两种基本形式是什么？
（书本105、106）
1、概念形成
2、概念同化
四、数学概念的教学过程以及一般方法
根据数学概念学习的心理过程及特征，数学概念的教学一般分为三个阶段：
引入概念；理解和明确概念；巩固和应用概念。
（一）引入方式
1．开门见山的方式
以定义的形式给出，由学生主动地与自己认知结构中原有的有关概念相互联系、相互作用以领会它的意义，从而获得新概念。
案例：
在讲《二面角》的内容时，这样引入：
“两条直线所成的角、直线和平面所成的角，我们已经掌握了它们的度量方法，那么两个平面所成的角怎样度量呢？
这节课我们就来学习这个内容——二面角和它的平面角！
”（板书课题），这样导入，直截了当，促使学生迅速地把精力集中到新知识的探索中。
开门见山的引入方法，教学重点突出，能使学生很快地把注意力集中在教学内容最本质、最重要的问题研究之上。
一般来说，陈述性概念中那些外延定义的概念、人为定义的概念和内涵简单、外延清楚的概念、难以借助旧知识引入的新概念，适用开门见山的方式。
另外，随着学生抽象思维水平的提高，对高年级的学生学习数学概念可以适当多采用这种方式。
2．温故知新的方式
在复习旧知识的基础上提出新问题引入新的概念，是教学中被广泛应用的一种方式。
（1）相关化的方式
案例：
“乘法”的概念可从“加法”来引入，“整除”的概念可从除法中的“除尽”来引入。
（2）特殊化的方式
案例：
矩形
可以在平行四边形概念的基础上直接给出，“有一个角是直角的平行四边形是矩形。
”这样的定义实质上是将平行四边形概念特殊化，使其内涵扩大，因此得到的新概念矩形的外延就缩小了。
（3）一般化的方式
案例：
角的推广
从图形形状来定义角，是一种静态定义，角的范围是
，用旋转来定义角，则是动态定义，角的范围突破了
，角不仅可以任意大还有正负之分。
（4）类比迁移的方式
对于两个平行或并列的概念，我们可以采用类比的方法，进行新概念的教学，一方面可以发现两者相同之处，另一方面也会发现两者的区别。
3．活动建构的方式
（1）抽象归纳的方式
多数抽象的概念，我们可以找到其具体的实例。
在教学过程中，我们可以通过呈现具体实例，让学生通过观察，进一步归纳出抽象概念的性质和特点。
一般来说，数学概念中的原始概念难以下定义，只能利用现实中的大量丰富的实物去促进学生理解，如点、线、面等，变化式数学概念比较抽象，需要通过丰富的背景让学生去寻找其共性，因此它们比较适合采用抽象归纳的引入方式。
（2）操作活动的方式
有些概念，仅靠抽象的思维活动难以形成真正的理解，要让学生在操作性活动中接触概念，使用概念，体验概念。
（3）数学探究的方式
有些概念要认识其本质，不是靠教师的告诉，而是需要学生经历数学探究的活动方能体验。
（4）创设情境的方式
以问题的形式引入新概念，也是教学中常常采用的，往往是在解决问题的过程中自然涉及到了一个新概念，问题可以是现实问题，也可以是数学问题。
（二）明确和理解概念
概念引入后，要对概念加以明确和理解。
对于不同的概念，由于在相关学习主题的地位和作用是不同的，所以在教学中给予的关注点是不同的。
1．在定义的辨析中明确和理解概念
有些概念本身的性质是解题的依据或是进行判断、推理和建立定理的依据，对此在概念教学中，从正面揭示概念的内涵以后，为了强化学生对概念本质属性的理解，可以采用定义辨析的方式去突出概念的本质属性。
如算术平方根的概念，用数学符号表示就是：
为了帮助学生理解“非负”的内涵，可以提出一系列问题，如a为何值时，
？
等等。
2．在实例的寻找中明确和理解概念
概念是抽象的，又是具体的，让学生自行举例是帮助学生较好地理解与掌握抽象的数学概念一种手段。
3．在操作活动中明确和理解概念（更多用于几何）
在学习获得数学概念之后，可要求学生根据自己的理解用不同的方式（画、折、剪、拼）重现概念，进一步丰富学习对新概念的认识。
4．在模型的认识中明确和理解概念
对数学模型尤其是重要的数学模型，我们不能仅仅关注如何利用模型去解决实际问题，首先要关注对模型本身的认识，这样才能在教学中准确把握。
同样，如果一个新概念本身就是一个重要的数学模型，那么在新概念引入过程中以及其后，应关注对模型本身的认识。
（三）概念的应用
概念的获得，还不能离开概念的应用，只有达到对概念的应用水平，才能认为是掌握和巩固了概念。
1．概念应用的形式
（1）根据概念填空。
（2）应用概念进行判断。
（3）应用概念进行推理。
（4）应用概念解决问题。
2．概念应用的水平
从内容纬度来分，可分为数学上的应用和实际上（包括相邻学科）的应用。
从难度纬度来分，心理学上将概念的应用分为知觉水平上的应用和思维水平上的应用。
所谓知觉水平上应用，指学生获得同类事物的概念以后，当遇到这类事物的特例时，就能立即把它看作是这类事物中的具体例子，将其归入一定的知觉类型。
概念在思维水平上应用，指学生学习的新概念被类属于包摄水平较高的原有概念中，因而新概念的应用必须对原有概念进行重新组织和加工，以满足解当前问题的需要。
对数学概念来说，知觉水平上的应用就相当于相关基础知识的简单应用，而思维水平上的应用相当于一定的变式或拓展。
这两种水平上的应用都是必须的。
3．概念应用应注意的问题
教学中主要是通过练习达到概念应用的目的。
练习时需要注意以下几点：
（1）练习的目的要明确。
在练习时必须明确每项练习的目的，使每项练习都突出重点，充分体现练习的意图，做到有的放矢，使练习真正有助于学生理解新学概念，有利于发展学生的思维。
如为了帮助学生巩固新学概念和形成基本技能，可以设计针对性练习；为了帮助学生克服定式的干扰，进一步明确概念的内涵和外延，可以设计变式练习；为了帮助学生分清容易混淆的概念，可以设计对比练习；为了帮助学生扩展知识的应用范围，加深学生对新学概念的理解，培养学生的创造性思维，可以设计开放性练习；为了帮助学生沟通新学概念与其他知识的横向、纵向联系，促进概念系统的形成，培养学生综合运用知识的能力，可以设计综合性练习等。
（2）练习的层次要清楚。
学生认识事物往往不能一次完成，需要一个逐步深化和提高的过程。
因此练习时要按照由简到繁、由易到难、由浅入深的原则，逐步加深练习的难度。
①基本练习，在刚学完新课之后的单项的、带有模仿性的练习，它可以帮助学生巩固知识，形成正确的认知结构。
②发展练习，在学生已基本掌握了概念和初步形成一定的技能之后的练习，它可以帮助学生形成熟练的技能技巧。
③综合练习，可以使学生进一步深化概念，提高解题的灵活性，培养学生的数学思维能力，实现由技能到能力的转化。
专题二：
数学命题的教学
数学中的命题，包括公理、定理、公式、法则、数学对象的性质等。
一、数学命题学习的三种形式
根据命题中的概念与原认知结构中有关知识的关系，现代认知心理学把数学命题的学习分为下面三种形式：
1．下位学习
当原认知结构中的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的命题，这种学习便称为下位学习。
下位学习是数学命题学习中应用较多的形式。
中学数学教材中知识的编排顺序，大部分是下位学习的形式。
2．上位学习
当认知结构中已经形成了几个观念，在这些观念的基础上学习一个包摄程度更高的命题的学习形式称为上位学习。
上位学习是通过对已有的概念、命题进行分析归纳，发现新的关系，从而概括出新的命题的过程。
因此可以看出，下位学习主要是通过“分化”去获得命题，上位学习则是通过“概括”获得命题。
3．并列学习
若新命题与原认知结构中的有关知识具有一定的联系，但既非上位关系，也非下位关系，则称这种新命题的学习为并列学习。
在下位学习和上位学习中，由于新命题与原认知结构中的观念都有着直接的关系，所以新命题中概念之间的关系比较容易揭示，而在并列学习中由于缺少这种直接的关系，只能利用一般的和非特殊的有关内容起同化作用，所以并列学习相对来说就要困难些。
并列学习的关键在于寻找新命题与原来认知结构中有关命题的联系，使得它们可以在一定的意义下进行类比。
二、数学命题教学过程及一般方法
（Ⅰ）数学命题的引入
（一）直接展示命题
如果要提出的数学命题比较容易或比较难或此数学命题学习的重心在于命题的探索证明和应用，在教学中就可直接向学生展示命题。
（二）由实际问题提出命题
为了解决一些现实生活和生产实践中的问题，有时需要运用数学的方法，而这种数学方法往往会产生出很有用处的定理、法则。
因此，由实际问题的需要，以问题的形式去探求命题，也是教学中常用的命题引入方式。
（三）通过观察实验提出命题
有些命题由教师提供素材，让学生通过观察实验的方法不难发现数学命题。
在教学中不妨采用观察实验的方法，训练学生观察发现的能力。
如轴对称的性质等等。
（四）问题探究的方式提出命题
有时我们关注数学问题内部关系的挖掘和数学问题相互之间的转化，也可获得新的命题。
（五）操作活动的方式提出命题
有时可以在操作活动中让学生得到或发现新的数学命题。
（Ⅱ）具体数学命题教学
（一）数学公理的教学
由于数学借助形式逻辑来建立知识体系，每一个真实命题都是由已知的真命题推导出来的。
这样依次向上追溯，总有些真命题不能依靠其他数学真命题来推导，这些命题就称为公理。
所谓公理，是指那些普遍性的，任何数学学科都需要的原理。
1.公理系统的基本要求
公理是对诸基本概念相互关系的规定，这些规定必须是必要的而且是合理的。
因此，一个严格完善的公理系统，对于公理的选取和设置，必须具备如下三个基本要求：
（1）相容性（或称无矛盾性、协调性）。
这一要求是指在一个公理系统中，不允许同时能证明某一定理及其否定理。
反之，如果能从该公理系统中导出命题A和否命题非A，从A与非A并存就说明出现了矛盾，而矛盾的出现归根到底是由于公理系统本身存在着矛盾的认识，这是思维规律所不容许的。
因此，公理系统的无矛盾性要求是一个基本要求，任何学科，理论体系都必须满足这个要求。
（2）独立性。
这一要求是指在一个公理系统中的每一条公理都独立存在，不允许有一条公理能用其它公理把它推导出来，同时使公理的数目减少到最低限度。
（3）完备性。
这就是要求确保从公理系统中能推出所研究的数学分支的全部命题，也就是说，必要的公理不能减少，否则这个数学分支的许多真实命题将得不到理论的证明或者造成一些命题的证明没有充足的理由。
从理论上讲，一个公理系统的上述三条要求是必要的，同时也是合理的。
至于某个所讨论的公理系统是否满足或能否满足上述要求，甚至能否在理论上证明满足上述要求的公理系统确实存在等，则是另外一回事了。
应该指出的是，对于一个较复杂的公理体系来说，要逐一验证这三条要求相当困难，甚至至今不能彻底实现。
几何公理方法的重要实例——希尔伯特公理体系
2.中学几何公理体系及处理方法
特点：
（1）不明确指出哪些是原始概念；
（2）对一些理应严格定义的概念，也采用直观描述的方法；
（3）扩大公理体系；
初中阶段的几何公理（基本事实）：
①两点确定一条直线．（公理）
②两点间直线段最短．
③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
④两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行．
⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．（公理）
⑥两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．
⑦两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．
⑧两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
⑨三边分别相等的两个三角形全等．
（4）公理不完备。
中学教材虽然比《原本》增加了许多公理，但是仍然不满足完备性的要求，与《原本》一样，缺少顺序公理和连续公理。
因此，在推理过程中，常常需要借助于直观或默认一些事实。
例如默认了直线，含有无穷多个点；线段的中点、角的平分线存在且唯一等等。
“任何三角形都是等腰三角形”
3.数学公理的教学
公理是人们长期经验的总结，是其他命题真假的判断依据。
在数学上它是根据需要做的少数思想的约定。
因此公理的教学直接关系到学生的数学思维方法的养成，既要让学生认识到公理的真实性，又不能对这种真实性加以证明。
如何处理好这个矛盾便是公理教学成败的关键。
公理的引入一般采用归纳的方式，具体地：
一种是从学生熟悉的事例归纳出公理。
通过学生熟知的社会生活和生产实践中的事例来说明公理的含义和现实来源，使学生体会到公理的真实性和意义。
另一种是在学生实践的基础上归纳出公理。
基本教学模式：
生活实例或实践归纳公理举例、解决问题进一步验证公理的真实性
2.提倡证明方法的多样化
对一个命题采用多种证明方法，不仅可以开拓学生的思路，训练思维能力，而且还能使学生从横向和纵向方面把握命题，加深对命题的理解。
当然，这里提倡证明方法多样化，也是对学生群体的要求，而不是个体的要求。
3.注重数学定理的应用
数学定理是求解和证明数学问题的工具，在教学中要及时介绍相关定理的应用，精心设置例题和习题。
4.注意揭示数学思想方法
数学思想方法是内隐在具体数学知识之中，而一个数学命题的产生，往往本身就包含着一定的数学思想方法。
在教学中，要及时向学生揭示隐含在其中的数学思想方法。
如圆周角定理的证明，要突出“分类思想”，等等。
5.注意定理的拓展与引申
对定理作适当的拓展与引申，一方面为后续的学习作铺垫，另一方面可以为学有余力的学生提供学习的空间。
命题的拓展与引申主要方法：
（1）讨论命题的另外三种形式
逆命题的构造：
实质不同的命题只有原命题和逆命题两种，其他两种只
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