一级倒立摆LQR控制器的设计.docx
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一级倒立摆LQR控制器的设计
一级倒立摆LQR控制器的设计
摘要：
倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。
对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题。
从理论和实践上对线性一级倒立摆作了深入的研究。
首先,用拉格朗日方法建立了倒立摆的数学模型。
在此基础上采用线性二次型最优控制方法设计了倒立摆的控制器。
最后通过MATLAB仿真和实际系统实验，实现对倒立摆的稳定控制。
通过试验验证了设计结果并给出了控制器的性能评价。
建立模型，确定参数，进行控制算法设计、系统调试和分析等步骤实现。
关键词：
倒立摆；建模，LQR控制器
1.前言
0.1倒立摆
倒立摆系统是理想的自动控制教学实验设备，使用它能全方位的满足自动控制教学的要求。
许多抽象的控制概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆直观的表现出来。
倒立摆最初研究开始于20世纪50年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备，而后人们又参照双足机器人控制问题研制二级倒立摆控制设备，从而提高了检验控制理论或方法的能力，也拓宽了控制理论或方法的检验范围。
三级倒立摆是由一、二级倒立摆演绎而来，它的实物系统控制实现已经是公认的难题。
北京航空航天大学张明廉教授领导的课题组应用“拟人智能控制理论”，于1994年8月成功地实现单电机控制的三级倒立摆。
这一成功，证实了“拟人智能控制理论”的正确性，并表明了在没有精确数学模型和不需要推理机的前提下，对一类复杂被控对象是可以控制的。
三级倒立摆控制的成功，对空间运动体的控制有直接参考价值。
北师大模糊系统与模糊信息研究中心暨复杂系统智能控制实验室采用李洪兴教授提出的“变论域自适应模糊控制”理论，成功地实现了四级倒立摆控制仿真实验，并于2002年8月11日实现了全球首例四级倒立摆实物系统控制。
而由此项理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。
：
各级倒立摆简介如下:
0.1.1单级摆：
结构相对简单，控制相对容易，控制算法比较简单。
适合本科生实验教学。
0.1.2二级摆：
结构相对复杂，控制难度相对大，控制算法也相对复杂。
可适合于研究生实验教学需要，也可以作为专业教师研究新型的控制算法之用。
0.1.3三级摆：
结构复杂，控制难度大，控制算法复杂。
主要适于理论研究、实验仿真之用。
0.1.4四级摆:
比三级倒立摆更复杂。
主要适用于半导体及精密仪器加工、机器人技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面。
此前，实现的一级至四级倒立摆均为直线运动倒立摆。
直线运动倒立摆实现的是在一个平面上的摆动，轨道较长、传动环节较多、占地空间较大，实践中常常由于传动机构的故障或误差，而不是控制方法本身的问题导致平衡控制失败。
随着科学技术的发展，被控对象日趋复杂，对控制性能的要求也日趋提高，直线倒立摆已不能满足复杂系统的需要，由此产生了圆形轨道倒立摆。
圆形轨道倒立摆实现了上、下、左、右、前、后任何方向的摆动，与传统的直线轨道倒立摆相比，圆形轨道倒立摆具有控制精度高、功能多、结构紧凑、性价比高等优点，所以圆形轨道倒立摆比传统的直线轨道倒立摆更具有竞争力和应用价值。
圆形轨道倒立摆实物系统控制的实现要比直线运动倒立摆实物系统控制的实现困难得多；这不仅是因为这样的系统其变量、非线性程度及不稳定性成倍地增加，而且有关机械和电子器件的实现或选用会遇到瓶颈性的困难。
因此，圆形轨道倒立摆实物系统是控制领域研究的重要课题之一。
倒立摆系统具有模块性好和品种多样化的优点，其基本模块既可是一维直线运动平台或旋转运动平台，也可以是两维运动平台。
通过增加角度传感器和一节倒立摆杆，可构成直线单节倒立摆、旋转单节倒立摆或两维单节倒立摆；通过增加两节倒立摆杆和相应的传感器，则可构成两节直线倒立摆和两节旋转倒立摆。
倒立摆的控制技巧和杂技运动员倒立平衡表演技巧有异曲同工之处，极富趣味性，学习自动控制课程的学生通过使用它来验证所学的控制理论和算法，加深对所学课程的理解。
由于倒立摆系统机械结构简单、易于设计和制造，成本廉价，因此在欧美发达国家的高等院校，它已成为常见的控制教学设备。
同时由于倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象，并不断从中发掘出新的控制理论和控制方法。
因此，倒立摆系统也是进行控制理论研究的理想平台。
直线运动型倒立摆外形美观、紧凑、可靠性好。
除了为每个子系列提供模块化的实现方案外，其控制系统的软件平台采用开放式结构，使学生建立不同的模
型，验证不同的控制算法，供不同层次的学生进行实验和研究。
由于采用了运动控制器和伺服电机进行实时运动控制，以及齿型带传动，固高公司的倒立摆系统还是一个典型的机电一体化教学实验平台，可以用来进行各种电机拖动、定位和速度跟踪控制实验，让学生理解和掌握机电一体化产品的部件特征和系统集成方法。
控制理论所涉及的三个基础学科：
力学、数学和电学（含计算机）有机的
结合起来，在倒立摆系统中进行综合应用。
在多种控制理论与方法的研究和应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的试验问题，将其理论和方法得到有效的经验，倒立摆为此提供一个从控制理论通往实践的桥梁。
控制理论在当前的工程技术界，主要是如何面向工程实际、面向工程应用的问题。
一项工程的实施也存在一种可行性的试验问题，用一套较好的、较完备的试验设备，将其理论及方法进行有效的检验，倒立摆可为此提供一个从控制理论通往实践的桥梁。
在教学过程中，不但使学生具有扎实的理论基础，还应掌握如何把理论知识应用到一个复杂的实际系统中，进一步达到提高教学质量的目的。
在稳定性控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。
倒立摆系统作为一个控制装置，结构简单、价格低廉，便于模拟和数字实现多种不同的控制方法，作为一个被控对象，它是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的快速系统，只有采用行之有效的控制策略，才能使其稳定。
倒立摆系统可以用多种理论和方法来实现其稳定控制，如PID、自适应、状态反馈、智能控制、模糊控制及人工神经元网络等多种理论和方法，都能在倒立摆系统控制上得到实现，而且当一种新的控制理论和方法提出以后，在不能用理论加以严格证明时，可以考虑通过倒立摆装置来验证其正确性和实用性。
用现代控制理论中的状态反馈方法来实现倒立摆系统的控制，就是设法调整闭环系统的极点分布，以构成闭环稳定的倒立摆系统，它的局限性是显而易见的。
只要偏离平衡位置较远，系统就成了非线性系统，状态反馈就难以控制。
实际上，用线性化模型进行极点配置求得的状态反馈阵，不一定能使倒立摆稳定竖起来，能使倒立摆竖立起来的状态反馈阵是实际2
调试出来的，这个调试出来的状态反馈阵肯定满足极点配置。
倒立摆系统机理的研究不仅具有重要的理论价值，而且具有重要的现实意义，是控制理论中经久不衰的研究课题。
长期以来，倒立摆系统的控制问题一直受到国内外学者的普遍关注和不懈探索。
课程设计要求：
熟悉倒立摆实际控制系统；对倒立摆系统建模；进行控制算法设计；进行系统调试和分析；利用Matlab高级语言编程，实现倒立摆稳定控制；实时输出波形，得出结论。
0.2LQR
.LQR（linearquadraticregulator）即线性二次型调节器,其对象是现代控制理论中以状态空间形式给出的线性系统,而目标函数为对象状态和控制输入的二次型函数。
LQR最优设计指设计是出的状态反馈控制器K要使二次型目标函数J取最小值,而K由权矩阵Q与R唯一决定,故此Q、R的选择尤为重要。
LQR理论是现代控制理论中发展最早也最为成熟的一种状态空间设计法。
特别可贵的是,LQR可得到状态线性反馈的最优控制规律,易于构成闭环最优控制。
而且Matlab的应用为LQR理论仿真提供了条件,更为我们实现稳、准、快的控制目标提供了方便。
对于线性系统的控制器设计问题，如果其性能指标是状态变量和（或）控制变量的二次型函数的积分，则这种动态系统的最优化问题称为线性系统二次型性能指标的最优控制问题，简称为线性二次型最优控制问题或线性二次问题。
线性二次型问题的最优解可以写成统一的解析表达式和实现求解过程的规范化，并可简单地采用状态线性反馈控制律构成闭环最优控制系统，能够兼顾多项性能指标，因此得到特别的重视，为现代控制理论中发展较为成熟的一部分。
LQR最优控制利用廉价成本可以使原系统达到较好的性能指标（事实也可以对不稳定的系统进行镇定）,而且方法简单便于实现,同时利用Matlab强大的功能体系容易对系统实现仿真。
本文利用Matlab对实例进行LQR最优控制设计,比较Q、R变化对系统动态性能的影响,说明LQR系统设计的简单而可行性及Q、R变化对系统性能影响的重要性。
0.3.最优控制（optimalcontrol）
最优控制是现代控制理论的核心，它研究的主要问题是：
在满足一定约束条件下，寻求最优控制策略，使得性能指标取极大值或极小值。
使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法，可概括为：
对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。
这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。
例如，确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少。
最优控制理论是50年代中期在空间技术的推动下开始形成和发展起来的。
美国学者R.贝尔曼1957年提出的动态规划和前苏联学者L.S.庞特里亚金1958年提出的极大值原理，两者的创立仅相差一年左右。
对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用。
线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题则是R.E.卡尔曼在60年代初提出和解决的。
0.3.1数学角度
从数学上看，确定最优控制问题可以表述为：
在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数（称为泛函）求取极值（极大值或极小值）。
解决最优控制问题的主要方法有古典变分法（对泛函求极值的一种数学方法）、极大值原理和动态规划。
最优控制已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等。
研究最优控制问题有力的数学工具是变分理论，而经典变分理论只能够解决控制无约束的问题，但是工程实践中的问题大多是控制有约束的问题，因此出现了现代变分理论。
0.3.2研究方法
现代变分理论中最常用的有两种方法。
一种是动态规划法，另一种是极小值原理。
它们都能够很好的解决控制有闭集约束的变分问题。
值得指出的是，动态规划法和极小值原理实质上都属于解析法。
此外，变分法、线性二次型控制法也属于解决最优控制问题的解析法。
最优控制问题的研究方法除了解析法外，还包括数值计算法和梯度型法。
2.线性二次最优控制LQR基本理论
1.1一级倒立摆建模
微分方程的推导，对于倒立摆系统，经过小心假设忽略掉一些次要因素后，倒立摆系统就是一个典型的刚体运动系统，可以在惯性坐标系统内应用景点力学理论建立系统的动力学方程。
微分方程的推导：
在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图1所示.
图1一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成图
做如下假设：
M:
小车质量
m：
摆杆质量
b：
小车摩擦系数
L：
摆杆转动轴心到杆质心的长度
I：
摆杆惯量
F：
加在小车上的力
x：
小车位置
φ：
摆杆与垂直向上方向的夹角
θ：
摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑带摆杆初始位置为竖直向下）
图2小车受力分析图
图3摆杆受力分析图
图2和图3是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N和P为小车和摆杆的相互作用力的水平和垂直方向的分量。
在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，所以矢量方向定义如图2所示，图示方向为矢量的正方向。
应用牛顿方法来建立系统的动力学方程过程如下：
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下的方程：
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面的等式：
将此等式代入上述等式中，可以得到系统的第一个运动方程：
为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面的方程：
力矩平衡方程如下：
注意：
此方程中力矩的方向，由于
故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：
1.2微分方程模型
设θ=π+φ，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角φ与1（单位是弧度）相比很小，即Φ<<1时，则可以进行如下近似处理：
线性化后得到该系统数学模型的微分方程表达式：
1.3传递函数模型
对上述方程组进行拉氏变换后得到：
解上述方程可得输入量为加速度，输出量为摆杆摆角的传递函数：
其中
。
输入量为力，输出量为摆角的传递函数：
其中
1.4状态空间数学模型
控制系统的状态空间方程可写成如下形式：
解代数方程可得如下解：
整理后可得系统的状态空间方程：
对于质量均匀分布的摆杆，其转动惯量为：
代入微分方程模型中得：
化简后可得：
设
则有：
1.5LQR控制器的二次最优控制原理
LQR控制器是应用线性二次型最优控制原理设计的控制器。
它的任务在于，当系统状态由于任何原因偏离了平衡状态时，能在不消耗过多能量的情况下，保持系统状态各分量仍接近于平衡状态。
线性二次型最优控制研究的系统是线性的或可线性化的，并且性能指标是状态变量和控制变量的二次型函数的积分。
线性二次最优控制LQR基本原理为，由系统方程：
确定下列最佳控制向量的矩阵K：
使得性能指标达到最小值：
式中Q正定（或正半定）厄米特或实对称阵
R______为正定厄米特或实对称阵
下面是最优控制LQR控制原理图：
图4最优控制LQR控制原理图
方程右端第二项是是考虑到控制能量的损耗而引进的，矩阵Q和R确定了误差和能量损耗的相对重要性。
并且假设控制向量u（t）是无约束的。
对线性系统：
根据期望性能指标选取Q和R，利用MATLAB命令lqr就可以得到反馈矩阵K的值。
K=lqr（A,B,Q,R）
改变矩阵Q的值，可以得到不同的响应效果，Q值越大（在一定范围之内），系统抵抗干扰的的能力越强，调整时间越短。
但是Q不能过大。
2.方案设计
直线一级倒立摆系统的系统状态方程：
四个状态量
，
，
，
分别代表小车位移、小车速度、摆杆角度和摆杆角速度，输出
包括小车位置和摆杆角度。
设计控制器使得当给系统施加一个阶跃输入时，摆杆会摆动，然后仍然回到垂直位置，小车可以到达新的指定位置。
假定全状态反馈可以实现（4个状态量都可测），找出确定反馈控制规律的向量K,用MATLAB中的lqr函数，可以得到最优控制器对应的K。
Lqr函数允许选择两个参数R和Q，这两个参数用来平衡输入量和状态量的权重。
假定R=1,Q=C'*C.其中
代表小车位置权重，而
是摆杆角度的权重，输入R是1。
3.软件编程
3.1求K值程序
程序如下：
clear;
A=[0100;
0000;
0001;
0029.40];（矩阵A）
B=[0103]';（矩阵B）
C=[1000;
0010];（矩阵C）
D=[00]';（矩阵D）
Q11=4000;Q33=100;（给矩阵Q赋值）
Q=[Q11000;
0000;
00Q330;
0000];（正定（或正半定）厄米特或实对称矩阵Q）
R=1;（正定厄米特或实对称矩阵R）
K=lqr（A,B,Q,R）（LQR控制器的反馈增益矩阵）
3.2系统的开环阶跃响应程序
程序如下：
clear
A=[0100;
0000;
0001;
0029.40];（矩阵A）
B=[0103]';（矩阵B）
C=[1000;
0010];（矩阵C）
D=[00]';（矩阵D）
3.3小车的状态程序
程序如下：
clear;
A=[0100;
0000;
0001;
0029.40];（矩阵A）
B=[0103]';（矩阵B）
C=[1000;
0010];（矩阵C）
D=[00]';（矩阵D）
Q11=4000;Q33=100;（给矩阵Q赋值）
Q=[Q11000;
0000;
00Q330;
0000];（正定（或正半定）厄米特或实对称矩阵Q）
R=1;（正定厄米特或实对称矩阵R）
K=lqr（A,B,Q,R）（LQR控制器的反馈增益矩阵）
Ac=[（A-B*K）];Bc=[B];Cc=[C];Dc=[D];（定义新矩阵）
T=0:
0.005:
5;（以0.005为单位，从0上升到5）
U=0.2*ones（size（T））;（0.2倍的以T的长度为矩阵大小设置全矩阵）
[Y,X]=lsim（Ac,Bc,Cc,Dc,U,T）;（绘制连续时间内作用于系统的零状态响应）
plot（T,X（:
1）,'-'）;holdon;（得出小车位移图像）
plot（T,X（:
2）,'-.'）;holdon;（得出小车速度图像）
plot（T,X（:
3）,'.'）;holdon;（得出摆杆角度图像）
plot（T,X（:
4）,'-'）（得出摆杆角速度图像）
legend（'CartPos','CartSpd','PendAng','PendSpd'）（命名各图像名称）
4.系统调试和结果分析
4.1得出K值
>>
K=
-63.2456-34.7901103.573119.0125
4.2系统的开环阶跃响应结果
图5系统开环阶跃响应图
4.3实际连接
根据方案设计结果，进行了设计电路的实际连接
4.3.1取
=1，
=2时，可得K=[-1.0000-1.788025.46524.6892]。
此时系统的响应曲线如下图：
图6系统响应图
从图中可以看出，响应的超调量很小，但稳定时间和上升时间偏大，小车的位置没有跟踪输入，而是反方向移动。
当缩短稳定时间和上升时间，可以发现：
在Q矩阵中，增加
使稳定时间和上升时间变短，并且使摆杆的角度变化减小。
4.3.2取
=4000，
=100，可得K=[-63.2456-34.7901103.573119.0125],系统响应曲线如下：
图7系统响应图
通过增大Q矩阵中的
和
，系统抵抗干扰的能力越强，系统的稳定时间变短，超调量和摆杆的角度变化也同时减小。
5.结论及进一步设想
该文先建立了一级倒立摆的数学模型，并设计了LQR控制器，用MATLAB语言实现了对控制系统的仿真，得到了一级倒立摆各状态量及控制量的响应曲线。
由实验结果可以看到，本次课设完成了要求，达到了目的。
当然由于知识有限设计还有一些缺陷。
参考文献：
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固高科技有限公司,2005年9月。
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机械工业出版社，2003年。
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西安电子科技大学出版社,2006年。
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28～32。
实验心得
这次课设可以来说是对整个学期以来自动控制原理的一个总结更是一个引深发展。
这次课设实践和平时做的实验有很大的区别。
平时做的实验是为了验证课堂上学到的理论。
而这次的实践则是完全从应用角度上来进行的。
在初建模时发现有很多物理公式，在回翻物理书本和仔细了解自动控制书之后完成建模的任务，再经过编程通过运用MATLAB进行运行仿真得到想要的图像。
在这个课设过程中，我发现自己许多自动控制原理知识自己都还没有掌握，而且欠缺一些理论应用的能力，但是我还是踏踏实实，努力解决问题，还去图书馆借了一些相关的图书，并认真翻阅查找知识点，不会的还向同学和老师请教，在得到老师和同学的帮助下，加深了彼此之间的认识，我还深深体会到团结合作的方式有利于工作效率的提高，特别感谢他们。
此外，我看到自己的不足，在日常学习的一些知识点不是特别扎实，没有熟练的运用好学到的知识点，偶尔还有点马虎大意，这都需要我以后努力改正，我会努力加油。
【2013年7月10号完成】
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