最新新课标三维人教B版数学必修42向量的分解与向量的坐标运算优秀名师资料.docx
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最新新课标三维人教最新新课标三维人教B版数学必修版数学必修42向量的分解与向量向量的分解与向量的坐标运算优秀名师资料的坐标运算优秀名师资料2016新课标三维人教B版数学必修42.2向量的分解与向量的坐标运算向量的分解与向量的坐标运算2（2.1平面向量基本定理预习课本P96,98，思考并完成以下问题
（1）平面向量基本定理的内容是什么,
（2）如何定义平面向量基底,（3）直线的向量参数方程式是什么,新知初探1（平面向量基本定理
（1）定理如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数，aa，使a,ae，ae.121122版权所有:
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（2）基底把不共线向量，ee2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e（aee，a2e211211叫做向量a关于基底，ee的分解式（12点睛对平面向量基本定理的理解应注意以下三点:
?
e2e是同一平面内的两个不1共线向量,?
该平面内任意向量a都可以用e1线性表e2示且这种表示是唯一的,?
基底不唯一只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底（2（直线的向量参数方程式已知A，B是直线l上的任意两点，是Ol外一点（如图所示），则对于,直线上任意一l点P，存在唯一实数t，使,（1,t），t;反OPOAOB之，对每一个实数t，在直线l上都有唯一的一个点P与之对应（向量等,式,（1,t），t叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参OPOAOB,11数（当t,时，,（，），此时P点为线段AB的中点，这是线段A中点的向B量OPOAOB22表达式（,点睛直线的向量参数方程式中其OAOB的系数和为1.小试身手1（判断下列命题是否正确（正确的打“?
”，错误的打“”）
（1）任意两个向量都可以作为基底（）
（2）一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底（）（3）零向量不可以作为基底中的向量（）答案:
（1）
（2）?
（3）?
2（如图，向量e，e，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，12则向量a用基底，ee2表示为（）1版权所有:
中国好课堂A（e，eB（,2e，e1212C（2e,eD（2e，e1212答案:
B3（设e，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是（）1A（e，eB（e，e3e，3e121212,C（e5eD（e，e，e1,2112答案:
B,4（设e，e2为两个不共线的向量，若点O是?
ABCD的中心，,4e，,6e，BCAB112则3e,2e,_.211解析:
3e,2e,（6e,4e）21212,11,（,）,（,）BCABADAB22,1,BO,.BD2,BO答案:
（答案不唯一）用基底表示向量,AC典例如图，在平行四边形ABCD中，设对角线,a，BD,b，,BC试用基底a，b表示AB，.,1111AOOCACBOODBD解法一:
由题意知,a,b.2222,11AOOBAOBOAB所以,，,a,b22版权所有:
中国好课堂,11,，,a，bBCBOOC22,法二:
设,x,y则,yBCBCABAD,，,x，y,aBCACAB,又,则y,x,b,ADABBD,1111所以x,a,by,a，b2222,1111即,a,b,a，b.BCAB2222用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量基本方法有两种:
一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化直至用基底表示为止,另一种是通过列向量方程或方程组的形式利用基底表示向量的唯一性求解（活学活用如图，已知梯形ABCD中，AD?
BC，E，F分别是AD，BC边上,BC中点，且BC,3AD，,a，,b.试以a，b为基底表示，BAEFDF的,CD.1解:
?
AD?
BC且AD,BC3,11BCAD?
b.33?
E为AD的中点,11AEEDAD?
b.26版权所有:
中国好课堂,1?
BCBF2,1?
bBF2,?
，BAEFABBF111,b,a，b,b,a623,111,，,b，b,a,b,aDFDEEF636,，,（，）CDCFFCFDDF,11,（，）,b,a，bDFBF,622,a,b.3直线的向量参数方程式的应用,典例已知平面内两定点A，B，对该平面内任一动点COC，总有OA,3，（1,3）,OB（?
R，点O为直线AB外的一点），则点C的轨迹是什么图形,简单说明理由（解法一:
3，（1,3）,1且?
R结合直线的向量参数方程式可知点的轨迹是C直线AB.,OA法二:
将已知向量等式两边同时减去得,OCOAOAOB,（3,1），（1,3）,OBOA,（1,3）（,）,（1,3）AB,ACAB即,（1,3）?
R?
ABC三点共线即点C的轨迹是直线AB.版权所有:
中国好课堂直线的向量参数方程式的两方面应用,
（1）若ABC三点共线则有,x，y且x，y,1,OCOAOB,
（2）若,x，y且x，y,1则有ABC（三点共线OCOAOB活学活用,1在?
ABC中，D为AB上一点，若,2，,，则,_.CDCACBADDB3,解析:
法一:
?
2ADDB,22?
（,）（CBCAADAB33,212?
在?
ACD中,，,，（,）,，CDCACACBCACACBAD3332?
.3,法二:
?
2?
ABD三点共线ADDB12又?
C在直线AB外则，,1?
.332答案:
3平面向量基本定理的应用典例如图，在?
ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN,2NC，与AMBN相交于点P，求AP?
PM与BP?
PN.,CNBM解设,e,e12,ACCMBCCNAMBN则,，,3e,e,，,2e，e.2112版权所有:
中国好课堂?
APM和BPN分别共线,?
存在实数使得,AMAP,e,3e12,2e，e.BPBN12,故,，,（，2）e，（3，）e.BABPPABPAP12,而,，,2e，3e由平面向量基本定理BCCABA12,，2,2,得,3，,34,5解得,3,.,5,43?
APAMBPBN55?
AP?
PM,4?
1BP?
PN,3?
2.一题多变,CMCNCP1（变设问在本例条件下，若,a，,b，试用a，b表示，,2解:
由本例解析知BP?
PN,3?
2则,NPNB5,22CPCNCNCBCN,，,，,b，（,）NPNB554234,b，a,b,b，a.55552（变条件若本例中的点N为AC的中点，其它条件不变，求AP与?
BPPM?
PN.解:
版权所有:
中国好课堂,如图设,e,eCNBM12,则,，,2e,e,，,2e，e.ACCMBCCNAMBN2112?
APM和BPN分别共线,?
存在实数使得,AMAP,e,2e12,2e，e.BPBN12,故,，,（，2）e，（2，）e.BABPPABPAP12,而BCCA,，,2e，2e由平面向量基本定理BA12,，2,2,得,2，,22,3解得,2,.,3,22?
AP,AMBP,BN33?
AP?
PM,2BP?
PN,2.若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量（一般需建立两个不同的向量表达式），再根据待定系数法确定系数建立方程或方程组解方程或方程组即得（版权所有:
中国好课堂层级一学业水平达标,1（已知平行四边形ABCD中，P是对角线AC所在直线上一点，且,t，（t,BPBA,1），则t,（）BCA（0B（1C（,1D（任意实数,解析:
选B共始点且PAC三点共线所以t，t,1,1故tBCBPBA,1故选B.2（设点O是?
ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是（）,?
与;?
与;?
与;?
与.BCCADCODOBADABDAA（?
B（?
C（?
D（?
CADC解析:
选B寻找不共线的向量组即可在?
ABCD中与不共线与ADAB,BCODOB不共线,而?
故?
可作为基底（DA,AC3（若AD是?
ABC的中线，已知,a，,b，则以a，b为基底表示,（）ABAD11A.（a,b）B.（a，b）2211C.（b,a）D.b，a22解析:
选B如图AD是?
ABC的中线则D为线段的中点BC从而,11DCACACBDADABADADAB,即,从而,（，）,（a22，b）（,BCDCOC4（在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若,e，,e，则,（）12版权所有:
中国好课堂11A.（e，e）B.（e,e）12122211C.（2e,e）D.（e,e）212122,1解析:
选A因为O是矩形ABCD对角线的交点,e,e所以,（BCDCOCBC122,1，）,（e，e）故选A.DC122,5（全国?
卷）设D为?
ABC所在平面内一点，,3，则（）BCCD,14A（,，ACADAB33,14B（,ACADAB33,41C（,，ACADAB33,41D（,ACADAB33,1111解析:
选A由题意得ACCDACBCACAC,，,，,，,ADAB3333,4AC，.AB36（已知向量a，是一组基b底，实数x，y满足（3x,4y）a，（2x,3y）b,6a，3b，则x,y的值为_（解析:
?
ab是一组基底?
与ab不共线?
（3x,4y）a，（2x,3y）b,6a，3b,3x,4y,6x,6,?
解得?
x,y,3.,2x,3y,3,y,3答案:
35k2,7（已知e，e2是两个不共线向量，ae,，k1,e与b,2e，3e2共线，则实数k1121,2,_.版权所有:
中国好课堂5k1,2k22解析:
由题设知，5k,2,0,?
3k231解得k,2或.31答案:
2或3,8（如下图，在正方形ABCD中，设,a，,b，,c，则在以a，b为基底ABADBD,，可表示为_，在以a为基底时，c，可表示为_（ACAC时,解析:
以ac为基底时将平移使B与A重合再由三角形法BD则或平行四边形法则即得（答案:
a，b2a，c,1N，P是?
ABC上的点，且,，9.如图所示，设M，三边BCCNBM3,11CAAC,，,，若,a，,b，试用a，b将，APABABMNNPPM33表示出来（,解:
NPAPAN,1212AC,a,bAB3333,121221CNCMACCB,b,（a,b）,a，bMN333333,1PM,MP,（MN，NP）,（a，b）（310（证明:
三角形的三条中线共点（,AB证明:
如图所示设ADBECF分别为?
ABC的三条中线令,ACBCa,b.则有,b,a.,AG211ADABBD设G在AD上且,则有,，,a，（b,a）,（a，AD322版权所有:
中国好课堂b）（,1,b,a.BEAEAB2,2?
BGAGABADAB3112,（a，b）,a,b,a333,212,b,a,.BE,323,2?
G在BE上同理可证,CGCF3即G在CF上（故ADBECF三线交于同一点（层级二应试能力达标,1（在?
ABC中，点D在BC边上，且,2DC，设,a，AC,b，则可用基底a，BDABADb表示为（）121A.（a，b）B.a，b233121C.a，bD.（a，b）333,2DCBC解析:
选C?
2?
.BDBD3,221212BCACAC?
AD,AB，BD,AB，,AB，（,AB）,AB，,a，b.333333,AC2（在?
ABC中，M为边BC上任意一点，为NAM的中点，AN,AB，则，的值为（）11A.B.231C.D（14版权所有:
中国好课堂解析:
选A?
M为边BC上任意一点,?
可设,x，y.（x，y,1）ACAMAB?
N为AM的中点,111?
x，y,，.ACACAMANABAB22211?
，,（x，y）,.223（如果e，e2是平面内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是（）1A（若存在实数，使得1e，e,0，则,01212112B（平面内任一向量a都可以表示为ea，,e，其中，?
R112212C（e，2e2不一定在平面内，?
R1112D（对于平面内任一向量a，使a,e，2e2的实数，2有无数对111解析:
选BA中（，）e,0?
，,0即,B符合平面向量基本定理,1211212C中e，2e2一定在平面内,D中2有且只有一对（111,OAOBOPOAOB4（已知非零向量，不共线，且2,x，y，若,（?
R），PAAB则x，y满足的关系是（）A（x，y,2,0B（2x，y,1,0C（x，2y,2,0D（2x，y,2,0,OAOPOBOA解析:
选A由,得,（,）PAAB,OPOAOBOPOAOB即,（1，）,.又2,x，y,x,2，2,?
消去得x，y,2.,y,25（设e，e2是平面内的一组基底，且a，,2ee，b,e，e，则e，e,_a1121212，_b.版权所有:
中国好课堂12e,a,b1,a,e，2e3312,解析:
由解得,b,e，e1112e,a，b.2,331211,故e，e,a,b，a，b12,333321,a，,b.,3321答案:
336（如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，为线段EAO,的中点，若,，（，?
R），则，,_.BABEBD,1111解析:
因为,，,，EB,，所以,，BOOEBABABEBDBDEBBE2224,113所以,，,.BD2443答案:
47（设e，e2是不共线的非零向量，且a,2ee，b,e，3e.11212
（1）证明:
a，b可以作为一组基底;
（2）以a，b为基底，求向量c,3e,e2的分解式;1（3）若4e,3e,a，b，求，的值（12解:
（1）证明:
若ab共线则存在?
R使a,b则e,2e,（e，3e）（1212,1,1,由ee2不共线得?
12,3,2,.,3?
不存在故a与b不共线可以作为一组基底
（2）设c,ma，nb（mn?
R）则版权所有:
中国好课堂3e,e,m（e,2e），n（e，3e）121212,（m，n）e，（,2m，3n）e.12,m，n,3m,2,?
，b.?
c,2a,2m，3n,1,n,1.（3）由4e,3e,a，b得124e,3e,（e,2e），（e，3e）121212,（，）e，（,2，3）e.12,，,4,3,?
2，3,3,1.故所求的值分别为3和1.,318（若点M是?
ABC所在平面内一点，且满足:
，AC.AMAB44
（1）求?
ABM与?
ABC的面积之比（,BO
（2）若N为AB中点，AM与CN交于点O，设,x，y，求x，y的值（BMBN解:
31AC
（1）如图由AM,AB，可知MBC三点共线44,BCBCACBMAMABBMABABAB令,?
，,，,，（,）,（1,）,S?
11ABMACAB，?
所以,即面积之比为1?
4.S4?
4ABC,yxBOBOBOBCBMBNBMBABN
（2）由,x，y?
x，,，y由OMA24版权所有:
中国好课堂y4x，,1x,27三点共线及ON三点共线C?
x6，y,1y,.,472（2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算预习课本P99,102，思考并完成以下问题
（1）两个向量垂直如何定义,
（2）一个向量如何正交分解,（3）向量的直角坐标定义是什么,（4）如何由a，b的坐标求a，b，a,b，a的坐标,新知初探1（两个向量的垂直与正交分解如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直（如果基底的两个基向量，e2e互相垂，则称这个基直底为正交基底（在正交基底下分解1向量，叫做正交分解（2（向量的平面直角坐标的定义
（1）基底:
在直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，e.e12这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底e，e（这个基底也叫做直角坐标系xOy的12版权所有:
中国好课堂基底（,
（2）坐标分量:
在坐标平面xOy内，任作一向量a（用有向线段表AB示），由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，a），使（a12得a,ae，ae，（a，a）就是向量a在基底，ee下的坐标，即a,11221212（a，a），12其中a1叫做向量a在轴上的坐x标分量，a2叫做a在轴上的坐y标分量（3（向量的坐标表示,若,xe，ye,（x，y），则的坐标（x，y）?
点A的坐标（x，y）（OAOA124（向量的直角坐标运算，b），则a，b,（a，b，a，b），a,b,（a,b，a,b），a
（1）若a,（a，a），b,（b121122112212,（_a，a）（12x，x12x,，,2
（2）若A（x，y），B（x，y），则,（x,x，y,y）;线段AB中点公式AB11222121,y，y12y,.,2点睛
（1）向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关而与它们的具体位置无关
（2）当向量确定以后向量的坐标就是唯一确定的因此向量在平移前后其坐标不变（小试身手1（判断下列命题是否正确（正确的打“?
”，错误的打“”）
（1）相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关（）
（2）当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标（）（3）两向量差的坐标与两向量的顺序无关（）（4）点的坐标与向量的坐标相同（）版权所有:
中国好课堂答案:
（1）?
（2）?
（3）（4）2（若a,（2,1），b,（1,0），则3a，2b的坐标是（）A（5,3）B（4,3）C（8,3）D（0，,1）答案:
C,3（若向量,（1,2），,（3,4），则,（）BCACABA（4,6）B（,4，,6）C（,2，,2）D（2,2）答案:
A,4（若点M（3,5），点N（2,1），用坐标表示向量,_.MN答案:
（,1，,4）平面向量的坐标表示典例如图，在边长为1的正方形ABCD中，与ABx轴正半轴成30?
角（求点B和点的坐标和D与的坐标（ABAD解由题知BD分别是30?
120?
角的终边与单位圆的交点（设B（xy）D（xy）（1122由三角函数的定义得3131,x,cos30?
y,sin30?
?
B.11,222213x,cos120?
y,sin120?
222213,?
D.,22版权所有:
中国好课堂,3113,?
.ABAD,2222求点和向量坐标的常用方法
（1）求一个点的坐标可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标
（2）在求一个向量时可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标（活学活用,已知O是坐标原点，点A在第一象限，|,43，?
xOA,60?
，OA,
（1）求向量的坐标;OA,
（2）若B（3，,1），求的坐标（BA解:
（1）设点A（xy）则x,43cos60?
23,y,43sin60?
6即A（236）OA,（236）（,
（2）,（236）,（3,1）,（37）.BA平面向量的坐标运算,CABC典例
（1）已知三点A（2，,1），B（3,4），C（,2,0），则向量3，2,_，AB,2,_.AB
（2）已知向量a，的坐标分b别是（,1,2），（3，,5），求a，b，a,b,3a,2a，3b的坐标（解析
（1）?
A（2,1）B（3,4）C（,2,0）,CABCAB?
（1,5）,（4,1）,（,5,4）（,CAAB?
3，2,3（1,5），2（4,1）,（3，8,15,2）,（11,13）（版权所有:
中国好课堂,2,（,5,4）,2（1,5）BCAB,（,5,2,4,10）,（,7,14）（答案（11,13）（,7，,14）
（2）解:
a，b,（,1,2），（3,5）,（2,3）a,b,（,1,2）,（3,5）,（,4,7）3a,3（,1,2）,（,3,6）2a，3b,2（,1,2），3（3,5）,（,2,4），（9,15）,（7,11）（平面向量坐标运算的技巧
（1）若已知向量的坐标则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行
（2）若已知有向线段两端点的坐标则可先求出向量的坐标然后再进行向量的坐标运算（3）向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行（活学活用1（设平面向量a,（3,5），b,（,2,1），则a,2b,（）A（7,3）B（7,7）C（1,7）D（1,3）解析:
选A?
2b,2（,2,1）,（,4,2）?
a,2b,（3,5）,（,4,2）,（7,3）（版权所有:
中国好课堂,12（已知M（3，,2），N（,5，,1），,，则P点坐标为_（MNMP2,解析:
法一:
设P（xy）,（x,3y，2）MP,（,8,1）MN,111,?
（,8,1）,4MPMN,222x,3,4x,1,?
13y，2,.y,.,22,1法二:
由,知MNMP2P为MN的中点由中点坐标公式得3,P点坐标为,1,.,23,答案:
1，,2向量坐标运算的综合应用,OPOA典例已知点O（0,0），A（1,2），B（4,5）及,，t，t为何值时，点P在x轴上,AB点P在y轴上,点P在第二象限,OPOA解因为,，tAB,（1,2），t（3,3）,（1，3t,2，3t）若点P在x轴上则2，3t,02所以t,.3若点P在y轴上则1，3t,0版权所有:
中国好课堂1所以t,.3,1，3t,0,若点P在第二象限则,2，3t,021所以,t,.33一题多变1（变条件本例中条件“点P在x轴上，点P在y轴上，点P在第二象限”若换为“B为线段AP的中点”试求t的值（解:
由典例知P（1，3t,2，3t）1，1，3t,4,2则解得t,2.,2，2，3t,5,22（变设问本例条件不变，试问四边形OABP能为平行四边形吗,若能，求出t值;若不能，说明理由（,OAOA解:
（1,2）,（3,3t,3,3t）（若四边形OABP为平行四边形则,PBPB,3,3t,1,所以,3,3t,2该方程组无解（故四边形OABP不能成为平行四边形（向量中含参数问题的求解
（1）向量的坐标含有两个量:
横坐标和纵坐标如果横或纵坐标是一个变量则表示向量的点的坐标的位置会随之改变
（2）解答这类由参数决定点的位置的题目关键是列出满足条件的含参数的方程（组）解这个方程（组）就能达到解题的目的（版权所有:
中国好课堂层级一学业水平达标,1（如果用i，j分别表示轴和xy轴方向上的单位向量，且A（2,3），B（4,2），则可以表示AB为（）A（2i，3jB（4i，2jC（2i,jD（,2i，j,解析:
选C记O为坐标原点则,2i，3j,4i，2j所以,OAOBOBOAAB,2i,j.,111,2（已知,a，且A，4，B，2，又,，则a等于（）AB,24211,A.,，,1B.，3,8411,C.，1D.,，,3,84,111,解析:
选A?
a,2,4,2AB,42411,?
a,a,1.,283（已知向量a,（1,2），2a，b,（3,2），则b,（）A（1，,2）B（1,2）C（5,6）D（2,0）解析:
选Ab,（3,2）,2a,（3,2）,（2,4）,（1,2）（,AC4（在平行四边形ABCD中，为一条AC对
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