最新新课标三维人教B版数学必修42向量的分解与向量的坐标运算优秀名师资料.docx

1、最新新课标三维人教最新新课标三维人教 B 版数学必修版数学必修 42 向量的分解与向量向量的分解与向量的坐标运算优秀名师资料的坐标运算优秀名师资料 2016新课标三维人教 B版数学必修 42.2向量的分解与向量的坐标运算 向量的分解与向量的坐标运算 2(2.1 平面向量基本定理 预习课本 P96,98，思考并完成以下问题 (1)平面向量基本定理的内容是什么,(2)如何定义平面向量基底,(3)直线的向量参数方程式是什么,新知初探 1(平面向量基本定理 (1)定理 如果 e1和 e2 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量 a，存在唯一 的一对实数，aa，使 a,ae，ae.1211

2、22 版权所有:中国好课堂 (2)基底 把不共线向量，ee2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为 e(aee，a2e211211叫做向量 a 关于基底，ee的分解式(12 点睛 对平面向量基本定理的理解应注意以下三点:?e2e是同一平面内的两个不1 共线向量,?该平面内任意向量 a都可以用 e1线性表e2 示且这种表示是唯一的,?基底不唯一只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底(2(直线的向量参数方程式 已知 A，B是直线 l 上的任意两点，是 Ol 外一点(如图所示)，则对于,直线上任意一 l 点 P，存在唯一实数 t，使,(1,t)，t;反 OPOAOB之，对每一个实数 t，

3、在直线 l 上都有唯一的一个点 P 与之对应(向量等,式,(1,t)，t 叫做直线 l 的向量参数方程式，其中实数 t 叫做参变数，简称参OPOAOB,11数(当 t,时，,(，)，此时 P 点为线段 AB的中点，这是线段 A中点的向 B量 OPOAOB22 表达式(,点睛 直线的向量参数方程式中其 OAOB的系数和为 1.小试身手 1(判断下列命题是否正确(正确的打“?”，错误的打“”)(1)任意两个向量都可以作为基底()(2)一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底()(3)零向量不可以作为基底中的向量()答案:(1)(2)?(3)?2(如图，向量 e，e，a 的起

4、点与终点均在正方形网格的格点上，12 则向量 a用基底，ee2 表示为()1 版权所有:中国好课堂 A(e，e B(,2e，e 1212 C(2e,e D(2e，e 1212 答案:B 3(设 e，e2 是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是()1 A(e，e B(e，e3e，3e 121212,C(e5e D(e，e，e 1,2112 答案:B ,4(设 e，e2 为两个不共线的向量，若点 O是?ABCD的中心，,4e，,6e，BCAB112 则 3e,2e,_.21 1解析:3e,2e,(6e,4e)21212,11,(,),(,)BCABADAB22,1,BO,.B

5、D2,BO答案:(答案不唯一)用基底表示向量 ,AC典例 如图，在平行四边形 ABCD中，设对角线,a，BD,b，,BC 试用基底 a，b 表示 AB，.,1111AOOCACBOODBD解 法一:由题意知,a,b.2222,11AOOBAOBOAB所以,，,a,b 22 版权所有:中国好课堂 ,11,，,a，b BCBOOC22,法二:设,x,y则,y BCBCABAD,，,x，y,aBCACAB,又,则 y,x,b,ADABBD,1111所以 x,a,by,a，b 2222,1111即,a,b,a，b.BCAB2222 用基底表示向量的方法 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量基本方法有

6、两种:一种是运用向量的线性 运算法则对待求向量不断进行转化直至用基底表示为止,另一种是通过列向量方程或方程 组的形式利用基底表示向量的唯一性求解(活学活用 如图，已知梯形 ABCD 中，AD?BC，E，F分别是 AD，BC 边上,BC 中点，且 BC,3AD，,a，,b.试以 a，b为基底表示，BAEFDF的,CD.1解:?AD?BC且 AD,BC 3,11BCAD?,b.33?E为 AD的中点 ,11AEEDAD?,b.26 版权所有:中国好课堂 ,1?,BCBF2,1?,b BF2,?,，BAEFABBF 111,b,a，b,b,a 623,111,，,b，b,a,b,a DFDEEF63

7、6,，,(，)CDCFFCFDDF,11,(，),b,a，b DFBF,62 2,a,b.3 直线的向量参数方程式的应用 ,典例 已知平面内两定点 A，B，对该平面内任一动点 COC，总有 OA,3，(1,3),OB(?R，点 O为直线 AB外的一点)，则点 C 的轨迹是什么图形,简单说明理由(解 法一:3，(1,3),1 且?R结合直线的向量参数方程式可知点的轨迹是 C 直 线 AB.,OA法二:将已知向量等式两边同时减去得 ,OCOAOAOB,(3,1)，(1,3),OBOA,(1,3)(,),(1,3)AB ,ACAB即,(1,3)?R?ABC 三点共线即点 C 的轨迹是直线 AB.版权

8、所有:中国好课堂 直线的向量参数方程式的两方面应用 ,(1)若 ABC 三点共线则有,x，y且 x，y,1,OCOAOB,(2)若,x，y且 x，y,1则有 ABC(三点共线 OCOAOB 活学活用 ,1 在?ABC 中，D为 AB上一点，若,2，,，则,_.CDCACBADDB3,解析:法一:?,2 ADDB,22?,(,)(CBCAADAB33,212?在?ACD中,，,，(,),，CDCACACBCACACBAD333 2?,.3,法二:?,2?ABD三点共线 ADDB 12又?C 在直线 AB外则，,1?,.33 2答案:3 平面向量基本定理的应用 典例 如图，在?ABC 中，点 M

9、是 BC 的中点，点 N在 AC 上，且 AN,2NC，与AM BN相交于点 P，求 AP?PM 与 BP?PN.,CNBM解 设,e,e 12,ACCMBCCNAMBN 则,，,3e,e,，,2e，e.2112 版权所有:中国好课堂 ?APM 和 BPN分别共线 ,?存在实数 使得,AMAP,e,3e 12,2e，e.BPBN12,故,，,(，2)e，(3，)e.BABPPABPAP12,而,，,2e，3e由平面向量基本定理 BCCABA12,，2,2,得,3，,3 4,5 解得,3,.,5,43?,APAMBPBN55?AP?PM,4?1BP?PN,3?2.一题多变 ,CMCNCP1(变设

10、问在本例条件下，若,a，,b，试用 a，b表示，,2解:由本例解析知 BP?PN,3?2则,NPNB5,22CPCNCNCBCN,，,，,b，(,)NPNB55 4234,b，a,b,b，a.5555 2(变条件若本例中的点 N为 AC 的中点，其它条件不变，求 AP 与?BPPM?PN.解:版权所有:中国好课堂 ,如图设,e,e CNBM12,则,，,2e,e,，,2e，e.ACCMBCCNAMBN2112?APM 和 BPN分别共线 ,?存在实数 使得,AMAP,e,2e 12,2e，e.BPBN12,故,，,(，2)e，(2，)e.BABPPABPAP12,而 BCCA,，,2e，2e由

11、平面向量基本定理 BA12,，2,2,得,2，,2 2,3 解得,2,.,3,22?AP,AMBP,BN 33?AP?PM,2BP?PN,2.若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关 系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个 不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数建立方程或方程组解方程或方程组即得(版权所有:中国好课堂 层级一 学业水平达标 ,1(已知平行四边形 ABCD中，P 是对角线 AC 所在直线上一点，且,t，(t,BPBA,1)，则 t,()BC A(0 B(1 C(,1 D(任意实数 ,解析:选 B

12、共始点且 PAC 三点共线所以 t，t,1,1故 tBCBPBA,1故选 B.2(设点 O是?ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面 上表示其他所有向量的基底的是(),?与;?与;?与;?与.BCCADCODOBADABDA A(?B(?C(?D(?,CADC 解析:选 B 寻找不共线的向量组即可在?ABCD 中与不共线与 ADAB,BCODOB不共线,而?故?可作为基底(DA,AC3(若 AD是?ABC 的中线，已知,a，,b，则以 a，b为基底表示,()ABAD 11A.(a,b)B.(a，b)22 11C.(b,a)D.b，a 22 解析:选 B 如图AD

13、是?ABC 的中线则 D为线段的中点 BC从而,11DCACACBDADABADADAB,即,从而,(，),(a22，b)(,BCDCOC4(在矩形 ABCD 中，O是对角线的交点，若,e，,e，则,()12 版权所有:中国好课堂 11A.(e，e)B.(e,e)121222 11C.(2e,e)D.(e,e)212122,1解析:选 A 因为 O是矩形 ABCD 对角线的交点,e,e所以,(BCDCOCBC122,1，),(e，e)故选 A.DC122,5(全国?卷)设 D为?ABC 所在平面内一点，,3，则()BCCD,14A(,，ACADAB33,14B(,ACADAB33,41C(,，

14、ACADAB33,41D(,AC ADAB33,1111 解析:选 A 由题意得ACCDACBCACAC,，,，,，,ADAB3333,4AC，.AB3 6(已知向量 a，是一组基 b底，实数 x，y满足(3x,4y)a，(2x,3y)b,6a，3b，则 x,y 的值为_(解析:?ab 是一组基底?与 ab不共线?(3x,4y)a，(2x,3y)b,6a，3b ,3x,4y,6x,6,?解得?x,y,3.,2x,3y,3,y,3 答案:3 5k2,7(已知 e，e2 是两个不共线向量，ae,，k1,e与 b,2e，3e2共线，则实数k1121,2,_.版权所有:中国好课堂 5k1,2k22解析

15、:由题设知，5k,2,0,?3k23 1解得 k,2 或.3 1答案:,2 或 3,8(如下图，在正方形 ABCD中，设,a，,b，,c，则在以 a，b 为基底ABADBD,，可表示为_，在以 a为基底时，c，可表示为_(ACAC 时 ,解析:以 ac为基底时将平移使 B与 A 重合再由三角形法 BD 则或平行四边形法则即得(答案:a，b 2a，c ,1N，P 是?ABC 上的点，且,，9.如图所示，设 M，三边 BCCNBM3 ,11CAAC,，,，若,a，,b，试用 a，b将，APABABMNNPPM33 表示出来(,解:,NPAPAN,1212AC,a,b AB3333,121221CN

16、CMACCB,b,(a,b),a，b MN333333,1PM,MP,(MN，NP),(a，b)(3 10(证明:三角形的三条中线共点(,AB证明:如图所示设 ADBECF分别为?ABC 的三条中线令,ACBCa,b.则有,b,a.,AG211ADABBD 设 G在 AD上且,则有,，,a，(b,a),(a，AD322 版权所有:中国好课堂 b)(,1,b,a.BEAEAB2,2?,BGAGABADAB3 112,(a，b),a,b,a 333,212,b,a,.BE,323,2?G在 BE上同理可证,CGCF3 即 G在 CF上(故 ADBECF三线交于同一点(层级二 应试能力达标 ,1(在

17、?ABC中，点 D在 BC 边上，且,2DC，设,a，AC,b，则可用基底a，BDABAD b表示为()121A.(a，b)B.a，b 233 121C.a，b D.(a，b)333,2DCBC 解析:选 C?,2?,.BDBD3,221212BCACAC?AD,AB，BD,AB，,AB，(,AB),AB，,a，b.333333,AC2(在?ABC 中，M 为边 BC 上任意一点，为 NAM 的中点，AN,AB，则，的值为()11A.B.23 1C.D(1 4 版权所有:中国好课堂 解析:选 A?M 为边 BC 上任意一点 ,?可设,x，y.(x，y,1)ACAMAB?N为 AM 的中点 ,1

18、11?,x，y,，.ACACAMANABAB222 11?，,(x，y),.22 3(如果 e，e2 是平面 内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是()1 A(若存在实数，使得 1e，e,0，则,0 1212112B(平面 内任一向量 a都可以表示为 ea，,e，其中，?R 112212C(e，2e2 不一定在平面 内，?R 1112 D(对于平面 内任一向量 a，使 a,e，2e2 的实数，2有无数对 111 解析:选 B A中(，)e,0?，,0即,B符合平面向量基本定理,1211212 C 中e，2e2 一定在平面 内,D中2 有且只有一对(111,OAOBOPOAOB4(已知非

19、零向量，不共线，且 2,x，y，若,(?R)，PAAB 则 x，y满足的关系是()A(x，y,2,0 B(2x，y,1,0 C(x，2y,2,0 D(2x，y,2,0 ,OAOPOBOA解析:选 A 由,得,(,)PAAB,OPOAOBOPOAOB即,(1，),.又 2,x，y,x,2，2,?消去 得x，y,2.,y,2 5(设 e，e2 是平面内的一组基底，且 a，,2ee，b,e，e，则 e，e,_a1121212，_b.版权所有:中国好课堂 12e,a,b1,a,e，2e3312,解析:由解得,b,e，e1112 e,a，b.2,33 1211,故 e，e,a,b，a，b 12,3333

20、 21,a，,b.,33 21答案:,33 6(如图，在平行四边形 ABCD中，AC，BD相交于点 O，为线段 EAO,的中点，若,，(，?R)，则，,_.BABEBD,1111 解析:因为,，,，EB,，所以,，BOOEBABABEBDBDEBBE2224,113所以,，,.BD244 3答案:4 7(设 e，e2 是不共线的非零向量，且 a,2ee，b,e，3e.11212(1)证明:a，b可以作为一组基底;(2)以 a，b为基底，求向量 c,3e,e2的分解式;1(3)若 4e,3e,a，b，求，的值(12 解:(1)证明:若 ab 共线则存在?R使 a,b 则 e,2e,(e，3e)(

21、1212,1,1,由 ee2 不共线得?,12,3,2,.,3?不存在故 a与 b不共线可以作为一组基底(2)设 c,ma，nb(mn?R)则 版权所有:中国好课堂 3e,e,m(e,2e)，n(e，3e)121212,(m，n)e，(,2m，3n)e.12,m，n,3m,2,?，b.?c,2a,2m，3n,1,n,1.(3)由 4e,3e,a，b得 12 4e,3e,(e,2e)，(e，3e)121212,(，)e，(,2，3)e.12,，,4,3,?,2，3,3,1.故所求 的值分别为 3和 1.,318(若点 M 是?ABC 所在平面内一点，且满足:,，AC.AMAB44(1)求?ABM

22、与?ABC 的面积之比(,BO(2)若 N为 AB中点，AM 与 CN交于点 O，设,x，y，求 x，y的值(BMBN解:,31AC(1)如图由 AM,AB，可知 MBC 三点共线 44,BCBCACBMAMABBMABABAB 令,?,，,，,，(,),(1,),S?11ABMACAB，?,所以,即面积之比为 1?4.S4?4ABC,yxBOBOBOBCBMBNBMBABN(2)由,x，y?,x，,，y由OMA24 版权所有:中国好课堂 y4x，,1x,27三点共线及 ON三点共线 C?,x6，y,1y,.,47 2(2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算 预习课本 P99,102，思考

23、并完成以下问题 (1)两个向量垂直如何定义,(2)一个向量如何正交分解,(3)向量的直角坐标定义是什么,(4)如何由 a，b的坐标求 a，b，a,b，a的坐标,新知初探 1(两个向量的垂直与正交分解 如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直(如果基底的两个基向量，e2e互相垂，则称这个基直底为正交基底(在正交基底下分解 1 向量，叫做正交分解(2(向量的平面直角坐标的定义 (1)基底:在直角坐标系 xOy内，分别取与 x 轴和 y轴方向相同的两个单位向量，e.e12 这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底e，e(这个基底也叫做直角坐标系 xOy的 12 版权所有:中国好课堂 基底

24、(,(2)坐标分量:在坐标平面 xOy内，任作一向量 a(用有向线段表 AB 示)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，a)，使(a12 得 a,ae，ae，(a，a)就是向量 a在基底，ee下的坐标，即 a,11221212(a，a)，12 其中 a1叫做向量 a在轴上的坐 x 标分量，a2 叫做 a在 轴上的坐 y标分量(3(向量的坐标表示 ,若,xe，ye,(x，y)，则的坐标(x，y)?点 A的坐标(x，y)(OAOA12 4(向量的直角坐标运算 ，b)，则 a，b,(a，b，a，b)，a,b,(a,b，a,b)，a(1)若 a,(a，a)，b,(b121122112212,

25、(_a，a)(12 x，x12x,，,2(2)若 A(x，y)，B(x，y)，则,(x,x，y,y);线段 AB中点公式 AB11222121,y，y12 y,.,2 点睛(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关而与它们的具体位置无关(2)当向量确定以后向量的坐标就是唯一确定的因此向量在平移前后其坐标不变(小试身手 1(判断下列命题是否正确(正确的打“?”，错误的打“”)(1)相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关()(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关()(4)点的坐标与向量的坐标相同()版权所有:中国好课堂 答案:(1

26、)?(2)?(3)(4)2(若 a,(2,1)，b,(1,0)，则 3a，2b的坐标是()A(5,3)B(4,3)C(8,3)D(0，,1)答案:C ,3(若向量,(1,2)，,(3,4)，则,()BCACAB A(4,6)B(,4，,6)C(,2，,2)D(2,2)答案:A ,4(若点 M(3,5)，点 N(2,1)，用坐标表示向量,_.MN 答案:(,1，,4)平面向量的坐标表示 典例 如图，在边长为 1 的正方形 ABCD中，与 ABx 轴正半轴成 30?,角(求点 B和点的坐标和 D与的坐标(ABAD 解 由题知 BD分别是 30?120?角的终边与单位圆的交点(设 B(xy)D(xy

27、)(1122 由三角函数的定义得 3131,x,cos 30?,y,sin 30?,?B.11,2222 13x,cos 120?,y,sin 120?,2222 13,?D.,22 版权所有:中国好课堂 ,3113,?,.ABAD,2222 求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标(2)在求一个向量时可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标再运用终点坐标减 去起点坐标得到该向量的坐标(活学活用 ,已知 O是坐标原点，点 A在第一象限，|,43，?xOA,60?，OA,(1)求向量的坐标;OA,(2)若 B(3，,1)，求的坐标(BA 解:(1

28、)设点 A(xy)则 x,43cos 60?,23 ,y,43sin 60?,6即 A(236)OA,(236)(,(2),(236),(3,1),(37).BA 平面向量的坐标运算 ,CABC典例(1)已知三点 A(2，,1)，B(3,4)，C(,2,0)，则向量 3，2,_，AB,2,_.AB(2)已知向量 a，的坐标分 b 别是(,1,2)，(3，,5)，求 a，b，a,b,3a,2a，3b的坐标(解析(1)?A(2,1)B(3,4)C(,2,0),CABCAB?,(1,5),(4,1),(,5,4)(,CAAB?3，2,3(1,5)，2(4,1),(3，8,15,2),(11,13)(

29、版权所有:中国好课堂 ,2,(,5,4),2(1,5)BCAB,(,5,2,4,10),(,7,14)(答案(11,13)(,7，,14)(2)解:a，b,(,1,2)，(3,5),(2,3)a,b,(,1,2),(3,5),(,4,7)3a,3(,1,2),(,3,6)2a，3b,2(,1,2)，3(3,5),(,2,4)，(9,15),(7,11)(平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标则可先求出向量的坐标然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行(活学活用 1(设平面向量 a

30、,(3,5)，b,(,2,1)，则 a,2b,()A(7,3)B(7,7)C(1,7)D(1,3)解析:选A?2b,2(,2,1),(,4,2)?a,2b,(3,5),(,4,2),(7,3)(版权所有:中国好课堂 ,12(已知 M(3，,2)，N(,5，,1)，,，则 P 点坐标为_(MNMP2,解析:法一:设 P(xy),(x,3y，2)MP,(,8,1)MN,111,?,(,8,1),4 MPMN,222 x,3,4x,1,?,13y，2,.y,.,22,1法二:由,知 MNMP2 P 为 MN的中点 由中点坐标公式得 3,P 点坐标为,1,.,2 3,答案:,1，,2 向量坐标运算的综

31、合应用 ,OPOA典例 已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及,，t，t 为何值时，点 P在 x 轴上,AB 点 P 在 y轴上,点 P 在第二象限,OPOA解 因为,，tAB,(1,2)，t(3,3),(1，3t,2，3t)若点 P 在 x 轴上则 2，3t,0 2所以 t,.3 若点 P 在 y轴上则 1，3t,0 版权所有:中国好课堂 1所以 t,.3,1，3t,0,若点 P 在第二象限则,2，3t,0 21所以,t,.33 一题多变 1(变条件本例中条件“点 P 在 x 轴上，点 P 在 y轴上，点 P 在第二象限”若换为“B为线段 AP 的中点”试求 t 的值(解:由典例

32、知 P(1，3t,2，3t)1，1，3t,4,2则解得 t,2.,2，2，3t,5,2 2(变设问本例条件不变，试问四边形 OABP 能为平行四边形吗,若能，求出 t 值;若不能，说明理由(,OAOA解:,(1,2),(3,3t,3,3t)(若四边形 OABP 为平行四边形则,PBPB,3,3t,1,所以,3,3t,2 该方程组无解(故四边形 OABP 不能成为平行四边形(向量中含参数问题的求解 (1)向量的坐标含有两个量:横坐标和纵坐标如果横或纵坐标是一个变量则表示向量的点的坐标的位置会随之改变(2)解答这类由参数决定点的位置的题目关键是列出满足条件的含参数的方程(组)解这个方程(组)就能达

33、到解题的目的(版权所有:中国好课堂 层级一 学业水平达标 ,1(如果用 i，j 分别表示轴和 xy轴方向上的单位向量，且 A(2,3)，B(4,2)，则可以表示 AB 为()A(2i，3j B(4i，2j C(2i,j D(,2i，j ,解析:选 C 记 O为坐标原点则,2i，3j,4i，2j所以,OAOBOBOAAB,2i,j.,111,2(已知,a，且 A，4，B，2，又,，则 a等于()AB,242 11,A.,，,1 B.，3,84 11,C.，1 D.,，,3,84,111,解析:选 A?a,2,4,2 AB,424 11,?a,a,1.,28 3(已知向量 a,(1,2)，2a，b,(3,2)，则 b,()A(1，,2)B(1,2)C(5,6)D(2,0)解析:选 A b,(3,2),2a,(3,2),(2,4),(1,2)(,AC4(在平行四边形 ABCD中，为一条 AC 对