第十九章 平行四边形.docx

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第十九章第十九章平行四边形平行四边形第十九章平行四边形19.1.1平行四边形及其性质

（一）一、教学目标：

1理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质2会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证3培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力二、重点、难点1重点：

平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用2难点：

运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算三、例题的意图分析例1是教材P93的例1，它是平行四边形性质的实际应用，题目比较简单，其目的就是让学生能运用平行四边形的性质进行有关的计算，讲课时，可以让学生来解答例2是补充的一道几何证明题，即让学生学会运用平行四边形的性质进行有关的论证，又让学生从较简单的几何论证开始，提高学生的推理论证能力和逻辑思维能力，学会演绎几何论证的方法此题应让学生自己进行推理论证四、课堂引入1我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？

平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？

你能总结出平行四边形的定义吗？

（1）定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）表示：

平行四边形用符号“”来表示如图，在四边形ABCD中，ABDC，ADBC，那么四边形ABCD是平行四边形平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”AB/DC,AD/BC，四边形ABCD是平行四边形（判定）；四边形ABCD是平行四边形AB/DC，AD/BC（性质）注意：

平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角（教学时要结合图形，让学生认识清楚）2【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？

我们一起来探究一下让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？

度量一下，是不是和你猜想的一致？

（1）由定义知道，平行四边形的对边平行根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角（相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角注意和第一章的邻角相区别教学时结合图形使学生分辨清楚）

（2）猜想平行四边形的对边相等、对角相等下面证明这个结论的正确性已知：

如图ABCD，求证：

ABCD，CBAD，BD，BADBCD分析：

作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成ABC和CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题）证明：

连接AC，ABCD，ADBC，13，24又ACCA，ABCCDA（ASA）ABCD，CBAD，BD又1423，BADBCD由此得到：

平行四边形性质1平行四边形的对边相等平行四边形性质2平行四边形的对角相等五、例习题分析例1（教材P93例1）例2（补充）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：

AF=CE分析：

要证AF=CE，需证ADFCBE，由于四边形ABCD是平行四边形，因此有D=B，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF由“边角边”可得出所需要的结论证明略六、随堂练习1填空：

（1）在ABCD中，A=，则B=度，C=度，D=度

（2）如果ABCD中，AB=240，则A=度，B=度，C=度，D=度（3）如果ABCD的周长为28cm，且AB：

BC=25，那么AB=cm，BC=cm，CD=cm，CD=cm2如图4.39，在ABCD中，AC为对角线，BEAC，DFAC，E、F为垂足，求证：

BEDF七、课后练习1（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（）（A）对角相等（B）对角互补（C）邻角互补（D）内角和是2在ABCD中，如果EFAD，GHCD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（）（A）4个（B）5个（C）8个（D）9个3如图，ADBC，AECD，BD平分ABC，求证AB=CE19.1.1平行四边形的性质

（二）三、教学目标：

1理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质2能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题3培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力四、重点、难点1重点：

平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用2难点：

综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算三、例题的意图分析本节课安排了两个例题，例1是一道补充题，它是性质3的直接运用，然后对例1进行了引申，可以根据学生的实际情况选讲，并归纳结论：

过平行四边形对角线的交点作直线交对边或对边的延长线，所得的对应线段相等例1与后面的三个图形是一组重要的基本图形，熟悉它的性质对解答复杂问题是很有帮助的例2是教材P94的例2，这是复习巩固小学学过的平行四边形面积计算这个例题比小学计算平行四边形面积的题加深了一步，需要应用勾股定理，先求得平行四边形一边上的高，然后才能应用公式计算在以后的解题中，还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题，在教学中要注意使学生掌握其方法四、课堂引入1复习提问：

（1）什么样的四边形是平行四边形？

四边形与平行四边形的关系是：

（2）平行四边形的性质：

具有一般四边形的性质（内角和是）角：

平行四边形的对角相等，邻角互补边：

平行四边形的对边相等2【探究】：

请学生在纸上画两个全等的ABCD和EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它们分别交于点O把这两个平行四边形落在一起，在点O处钉一个图钉，将ABCD绕点O旋转，观察它还和EFGH重合吗？

你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？

进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？

结论：

（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；

（2）平行四边形的对角线互相平分五、例习题分析例1（补充）已知：

如图421，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F求证：

OEOF，AE=CF，BE=DF证明：

在ABCD中，ABCD，1234又OAOC（平行四边形的对角线互相平分），AOECOF（ASA）OEOF，AE=CF（全等三角形对应边相等）ABCD，AB=CD（平行四边形对边相等）ABAE=CDCF即BE=FD【引申】若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？

若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c和图d），例1的结论是否成立，说明你的理由解略例2（教材P94的例2）已知四边形ABCD是平行四边形，AB10cm，AD8cm，ACBC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积分析：

由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在RtABC中，由勾股定理可得AC的长再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：

平行四边形的面积=底高（高为此底上的高），可求得ABCD的面积（平行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了）3.平行四边形的面积计算解略（参看教材P94）六、随堂练习1在平行四边形中，周长等于48，1已知一边长12，求各边的长2已知AB=2BC，求各边的长3已知对角线AC、BD交于点O，AOD与AOB的周长的差是10，求各边的长2如图，ABCD中，AEBD，EAD=60，AE=2cm，AC+BD=14cm，则OBC的周长是__cm3ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成，的两条线段，则ABCD的周长是__七、课后练习1判断对错

（1）在ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD（）

（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等（）（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等（）（4）平行四边形是轴对称图形（）2在ABCD中，AC6、BD4，则AB的范围是__3在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是4公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB15cm，AD12cm，ACBC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积19.1.2

（一）平行四边形的判定一、教学目标：

1在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法2会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题3培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题二、重点、难点3重点：

平行四边形的判定方法及应用4难点：

平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用三、例题的意图分析本节课安排了3个例题，例1是教材P96的例3，它是平行四边形的性质与判定的综合运用，此题最好先让学生说出证明的思路，然后老师总结并指出其最佳方法例2与例3都是补充的题目，其目的就是让学生能灵活和综合地运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题例3是一道拼图题，教学时，可以让学生动起来，边拼图边说明道理，即可以提高学生的动手能力和学生的思维能力，又可以提高学生的学习兴趣如让学生再用四个不等边三角形拼一个如图的大三角形，让学生指出图中所有的平行四边形，并说明理由四、课堂引入1欣赏图片、提出问题展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？

你是怎样判断的？

2【探究】：

小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？

让学生利用手中的学具硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：

（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？

（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？

（3）你能说出你的做法及其道理吗？

（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？

你能用文字语言表述出来吗？

（5）你还能找出其他方法吗？

从探究中得到：

平行四边形判定方法1两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

平行四边形判定方法2对角线互相平分的四边形是平行四边形。

五、例习题分析例1（教材P96例3）已知：

如图ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF求证：

四边形BFDE是平行四边形分析：

欲证四边形BFDE是平行四边形可以根据判定方法2来证明（证明过程参看教材）问；你还有其它的证明方法吗？

比较一下，哪种证明方法简单例2（补充）已知：

如图，ABBA，BCCB，CAAC求证：

（1）ABCB，CABA，BCAC；

（2）ABC的顶点分别是BCA各边的中点证明：

（1）ABBA，CBBC，四边形ABCB是平行四边形ABCB（平行四边形的对角相等）同理CABA，BCAC

（2）由

（1）证得四边形ABCB是平行四边形同理，四边形ABAC是平行四边形ABBC，ABAC（平行四边形的对边相等）BCAC同理BACA，ABCBABC的顶点A、B、C分别是BCA的边BC、CA、AB的中点例3（补充）小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形你能在图中找出所有的平行四边形吗？

并说说你的理由解：

有6个平行四边形，分别是ABOF，ABCO，BCDO，CDEO，DEFO，EFAO理由是：

因为正ABO正AOF，所以AB=BO，OF=FA根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形其它五个同理六、随堂练习1如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，

（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=__cm，CD=__cm时，四边形ABCD为平行四边形；

（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__cm，DO=__cm时，四边形ABCD为平行四边形2已知：

如图，ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DFBE，EF交BD于点O求证：

EO=OF3灵活运用课本P89例题，如图：

由火柴棒拼出的一列图形，第n个图形由（n+1）个等边三角形拼成，通过观察，分析发现：

第4个图形中平行四边形的个数为__（6个）第8个图形中平行四边形的个数为__（20个）七、课后练习1（选择）下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（）（A）对角线互相垂直（B）对角线相等（C）对角线互相垂直且相等（D）对角线互相平分2已知：

如图，ABC，BD平分ABC，DEBC，EFBC，求证：

BE=CF19.1.2

（二）平行四边形的判定一、教学目标：

1掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法2会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题3通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力二、重点、难点1重点：

平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法2难点：

平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用三、例题的意图分析本节课的两个例题都是补充的题目，目的是让学生能掌握平行四边形的第三种判定方法和会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题学生程度好一些的学校，可以适当地自己再补充一些题目，使同学们会应用这些方法进行几何的推理证明，通过学习，培养学生分析问题、寻找最佳解题途径的能力四、课堂引入1平行四边形的性质；2平行四边形的判定方法；3【探究】取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？

结论：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形五、例习题分析例1（补充）已知：

如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：

BE=DF分析：

证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明四边形BEDF是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单证明：

四边形ABCD是平行四边形，ADCB，AD=CDE、F分别是AD、BC的中点，DEBF，且DE=AD，BF=BCDE=BF四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）BE=DF此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次有三，且利用知识较多，因此应使学生获得清晰的证明思路例2（补充）已知：

如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BEAC于E，DFAC于F求证：

四边形BEDF是平行四边形分析：

因为BEAC于E，DFAC于F，所以BEDF需再证明BE=DF，这需要证明ABE与CDF全等，由角角边即可证明：

四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，且ABCDBAE=DCFBEAC于E，DFAC于F，BEDF，且BEA=DFC=90ABECDF（AAS）BE=DF四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）六、课堂练习1（选择）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）（A）ABCD，AD=BC（B）A=B，C=D（C）AB=CD，AD=BC（D）AB=AD，CB=CD2已知：

如图，ACED，点B在AC上，且AB=ED=BC，找出图中的平行四边形，并说明理由3已知：

如图，在ABCD中，AE、CF分别是DAB、BCD的平分线求证：

四边形AFCE是平行四边形七、课后练习1判断题：

（1）相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形；（）

（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（）（3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；（）（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（）（5）对角线相等的四边形是平行四边形；（）（6）对角线互相平分的四边形是平行四边形（）2延长ABC的中线AD至E，使DE=AD求证：

四边形ABEC是平行四边形3在四边形ABCD中，

（1）ABCD；

（2）ADBC；（3）ADBC；（4）AOOC；（5）DOBO；（6）ABCD选择两个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的共有_对（共有9对）19.1.2（三）平行四边形的判定三角形的中位线三、教学目标：

1理解三角形中位线的概念，掌握它的性质2能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算3经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力4能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法四、重点、难点1重点：

掌握和运用三角形中位线的性质2难点：

三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）三、例题的意图分析例1是教材P98的例4，这是三角形中位线性质的证明题，教材采用的是先证明后引出概念与性质的方法，它一是要练习巩固平行四边形的性质与判定，二是为了降低难度，因此教师们在教学中要把握好度建议讲完例1，引出三角形中位线的概念和性质后，马上做一组练习，以巩固三角形中位线的性质，然后再讲例2例2是一道补充题，选自老教材的一个例题，它是三角形中位线性质与平行四边形的判定的混合应用题，题型挺好，添加辅助线的方法也很巧，结论以后也会经常用到，可根据学生情况适当的选讲例2教学中，要把辅助线的添加方法讲清楚，可以借助与多媒体或教具四、课堂引入1平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？

2你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？

（答：

平行四边形知识的运用包括三个方面：

一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题）3创设情境实验：

请同学们思考：

将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？

（答案如图）图中有几个平行四边形？

你是如何判断的？

五、例习题分析例1（教材P98例4）如图，点D、E、分别为ABC边AB、AC的中点，求证：

DEBC且DE=BC分析：

所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形方法1：

如图

（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由ADECFE，可得ADFC，且AD=FC，因此有BDFC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形所以DFBC，DF=BC，因为DE=DF，所以DEBC且DE=BC（也可以过点C作CFAB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）方法2：

如图

（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形所以ADFC，且AD=FC因为AD=BD，所以BDFC，且BD=FC所以四边形ADCF是平行四边形所以DFBC，且DF=BC，因为DE=DF，所以DEBC且DE=BC定义：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线【思考】：

（1）想一想：

一个三角形的中位线共有几条？

三角形的中位线与中线有什么区别？

（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？

（答：

（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线

（2）三角形的中位线与第三边的关系：

三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半）三角形中位线的性质：

三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半拓展利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？

（让学生口述理由）例2（补充）已知：

如图

（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点求证：

四边形EFGH是平行四边形分析：

因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证证明：

连结AC（图

（2），DAG中，AH=HD，CG=GD，HGAC，HG=AC（三角形中位线性质）同理EFAC，EF=ACHGEF，且HG=EF四边形EFGH是平行四边形此题可得结论：

顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形六、课堂练习1（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20m，那么A、B两点的距离是m，理由是2已知：

三角形的各边分别为8cm、10cm和12cm，求连结各边中点所成三角形的周长3如图，ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，

（1）若EF=5cm，则AB=cm；若BC=9cm，则DE=cm；

（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？

证明你的猜想七、课后练习1（填空）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是cm2（填空）已知：

ABC中，点D、E、F分别是ABC三边的中点，如果DEF的周长是12cm，那么ABC的周长是cm3已知：

如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点求证：

四边形EFGH是平行四边形