勒让德函数.docx

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勒让德函数勒让德函数勒让德函数作者:

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在特殊函数中的应用1作出4阶勒让德函数图形x=:

001：

1;yleendre（,）;y=leendre（1,）;y2genre（,x）;y3=legedre（3，）;ylegedr（4,x）;pot（，y0（1，:

），g*,x,y1（1,:

），b,x,y2（，:

）,ro,，y3（,：

），:

，x,y（,:

），r:

）legd（_0,_1,P_2,_3,_4）;itle（gedre）（仿真结果）作出二阶连带勒让德函数图形=0：

0.01:

1;y=leendr（2，x）;po（x，y（1,：

）,*,（2，:

）,+,x，y（，：

）,r）egd（P_2,2，_22）3作出三阶连带勒让德函数图形=0:

01:

1；y=leendre（3,x）;plot（x，y（1,:

），g,x,y（,:

），+,x，y（,：

）,ro，x，y（,:

），k:

）lged（_0,_31，_，P_3）作出整数阶贝塞尔函数的图形lry=besselj（:

（:

02：

10））；lot（0:

0.:

10），y）abl（j_v（）xlabel（x）egnd（_,J_，J_2,_3,J_4，J）tet（,0.，J_0（x））text（2，0.6，J（x）text（3，0.5，_2（x）txt（.，0.4,J_3（x）xt（5.1,.,4（x）txt（，04，J_5（x）Lgenre函数007年月1日星期四01：

0Leee函数在解圆平台上电势场时必然遇到的,是在极坐标下考察纬度变量时必然会遇到的。

.氢原子波函数的角度部分:

用AB来画一画：

l=，m0，即s轨道角度部分:

t：

0.0:

i；nleendre（,cos（t）,ch）;plar（t,y0n（1,:

）2）；1,m=0，,-1即p轨道角度部分：

t0:

2*pi;y1nleende（1，cos（）,sc）;polr（t,yn（1,：

）.2，r）;hoon;pola（t,y1n（2，:

）.,g）；l=2,=0,+1,1,+,2即轨道角度部分:

t=0:

.1:

*;y2n=legendr（,cs（t）,sch）;por（t，yn（1,:

）.2,r）;%d（z）hdn;ar（t,y（，:

）.2,g）；ar（t,y2n（3,:

）2,b）;Legende多项式函数（7.）由于展开式（7.3）而称为egere（勒让德）多项式的母函数。

展开项系数称为Lee多项式,下节将证明它满足gene方程式（11）。

称为阶。

将式（.13）左边利用二项式定理展开,有在上式中，含有的项只出现在含的项和以前各项中。

在这些项中，将含的各项展成幂级数,并找出所有含的项,其系数合为（7.1）其中，这是因为当时,求和中最低幂项是，当时,最低幂项是。

Legdre多项式的具体形式写成（.1）Lgende多项式的另一微商表达式是odrigue（洛德利格）公式（15）（.14）式和（7.5）的正确性可以代入Lgendre方程式（7）直接证明。

由式（.14）和（715）可得出前几阶Lgd多项式具体形式图显示在区间1,1上的图形，一般有图7.1ede函数第二类egenr函数值得一提的式,Lendre方程（11）应有另一个独立的解,这个解称为第二类Legen函数，记为。

其形式为等一般的形式是由于的对数形式，第二类Legend函数在边界是无界的（并非全部）。

因此不能构成Leed方程的本征函数系，所以，对将不在作讨论。

Lndre多项式的零点的零点都是一阶的,全部位于区域-,1内。

且与的零点相互穿插，在的两个相邻零点之间必有一个的零点；反之亦然。

23Lgnede多项式的性质Legee多项式的性质如下:

递推公式（7.）（.1）（71）（7.1）（.0）对称性（7.21）特殊点的值

（2）（7.23）（.）积分表达形式（7.5）Lap第一积分（76）取,由式（7.6）得取,由式（.2）得（.）Lal第二积分（7.8）积分公式（.2）（.0）（731）利用odigues公式（7.15）可证明积分公式,下面证明方程（.1）。

利用式（7.），有将积分作次分部积分，然后设，并利用积分公式得下面由母函数入手,证明gendre多项式得递推公式,将母函数式（7.2）写下（72）对式（7.12）两边取导数,得用乘上两边,得将上式左边中母函数再作展开,得等式（7.32）比较（7.3）式两边项得系数，得递推关系。

这是式（7.2）的结果。

同理,对式（）两边的求导,得将上式两边乘以,并将左边母函数展开,得（7.3）比较项的系数,得这就是式

（1）。

其它递推公式可依此导出，这里不再证明。

利用母函数,已证明egende式多项式

（1）满足递推公式（）（7.2）,则式（7.）是gde方程（.11）的解。

下面证明定理。

定理设函数是在,1区间上有一、二阶连续倒数的连续函数，若满足递推公式（7.1）和式（717）（70），则是Lgede方程的解。

将递推公式（7）两边对求导，得（34）再将式（76）乘以,得（35）将式（7.34）乘以,并与式（.3）相加,得（7.36）由式（71）,将换成，有（.7）将式（7.37）两边对求导，得（78）或写成（7.39）将式（73）代入式（.），得（7.4）再由式（71）将式（.40）中的项替代,最后，得到Lgee方程2.4Fouiged级数第章1.3讨论了区间，1上，Legndre方程的本征值为（.41）相应的本征函数是egr多项式（74）由Lgne方程（7.1）知,。

在边界,因而Legenr方程的解满足自然边界条件,因而有本征函数正交性（7.3）第6章14还讨论了函数在区间-,上用Lend函数展成的广义ouier级数,称为ForierLengendre级数。

模计算如下：

将母函数式（7.12）两边平方,得（7.47）ourierLngendre级数展开定理若在区间,上连续,或有限第一类间断点，那么，FurirLgedr级数（74）其中（7.5）（7.46）在,上的连续点收敛于;在的间断点,则收敛于平均值;在,收敛于；在,级数收敛于。

将方程（7.47）两边对从-1到1积分，并利用正交关系式（7.3）可知式（.4）右边的第二项积分等于零。

于是,有（7.8）式（8）左边的积分可完成为（.）将式（49）与式（7.48）的右边相比较,得【例7.】在1,1区间上,试求展成Furir-Lengnre级数。

解设根据积分公式（7.0）可知,当时,所有积分等于零,即利用式（729），计算得（被积函数是奇函数）于是有由上述计算可得出以下结论:

在的Four-gen级数中，若是奇数,只含奇数阶Lende多项式;若为偶数，只含偶数阶Lnende多项式。

且gedr多项式的阶数最高阶为。

下面列出部分的Fourengne多项式的阶数:

具有轴对称性的物理问题举例由本章1的讨论可归纳出具有轴对称性的物理问题的形式解。

把对称轴取作求坐标的轴,Hlmholt方程描写的轴对称问题形式解为（7.50）Lapl方程描写的轴对称问题的形式解:

（7.5）对于球内问题,有对于球外问题,应为零。

【例7.2】半径为的均匀带电圆环，总电量为,如图7.2，求圆环周围空间的电势。

图.2带电的圆环解先由Coulom（库仑）定律求在轴上的电势,（752）将式（7.52）作Lant（罗朗）展开,得（7.5）势（753）可看成是形式解（7.5）在的边界条件。

比较两式，且有,得【例.】半径为的半球导体，球面温度保持在,底面温度保持为，如图73,求半导体球内的稳定温度分布。

图7.半圆形导体解稳定时,导体内的温度分布满足Lpae方程。

温度分部具有轴对称性。

对于球内问题,由式（.51）有（7.5）边界条件是（7.5）（7.5）由式（55），有显然,只有当为奇数时才有。

因而,式（75）成为（7.7）由式（7.56）,有利用e-Legnde级数展开定理,有（7.8）最后一步积分是利用习题第题的结果求得的。

将式（75）换写成表达式,并代入式（7.7）,有（.9）*连带LGENDR多项式3.1连带LEENDR多项式上节讨论了对称的定解问题,当时，式（.5）转变成Lgedre方程（710）。

当物理问题是非轴对称时，将式（7.5）写下：

（7.）类似地，作代换,令，式（7.5）变成连带endre方程（760）式（760）的本征值是，只有当取等整数时,式（.60）才有本征函数解。

设（76）于是,有将上述结果代入式（7.60）得（.2）另则，由Leendre方程（7.1）对作次求导,得（.63）比较式（7.3）与（6）有（7.6）由式（7.61）得到满足方程（7.60）的连带Legendre多项式（.6）在以上推导中,阶导数表示为特别是3.2连带LEGENR多项式的性质积分表达式（.67）递推公式（.68）（.6）（7.0）（7.71）对称性（.72）（773）（7.74）正交关系（7.）（7.6）