勒让德函数.docx

1、勒让德函数勒让德函数 勒让德函数 作者:日期：在特殊函数中的应用 1 作出4阶勒让德函数图形 x=:001：1;yleendre(,);y=leendre(1,);y2genre(,x);y3=legedre(3，);ylegedr(4,x);pot（，y0(1，:），g*,x,y1(1,:)，b,x,y2(，:),ro,，y3(,：），:，x,y(,:)，r:)legd(_0,_1,P_2,_3,_4);itle（gedre）（仿真结果)作出二阶连带勒让德函数图形=0：0.01:1;y=leendr（2，x);po（x，y（1,：),*,(2，:),+,x，y(，：),r)egd(P_2,2

2、，_22）3 作出三阶连带勒让德函数图形=0:01:1；y=leendre(3,x）;plot（x，y(1,:)，g,x,y(,:)，+,x，y(,：),ro，x，y(,:），k:）lged(_0,_31，_，P_3)作出整数阶贝塞尔函数的图形 lr y=besselj(:,(:02：10)）；lot(0:0.:10)，y)abl(j_v()xlabel(x）egnd(_,J_，J_2,_3,J_4，J)tet（,0.，J_0(x)）text(2，0.6，J(x)text(3，0.5，_2(x)txt(.，0.4,J_3(x)xt(5.1,.,4(x)txt(，04，J_5(x)Lgenre函

3、数 007年月 1日 星期四 01：0 Leee函数在解圆平台上电势场时必然遇到的,是在极坐标下考察纬度变量时必然会遇到的。.氢原子波函数的角度部分:用AB来画一画：l=，m0，即 s 轨道角度部分:t：0.0:i；nleendre(,cos(t),ch);plar(t,y0n(1,:）2)；1,m=0，,-1 即 p 轨道角度部分：t0:2*pi;y1nleende(1，cos（),sc);polr(t,yn（1,：).2，r);ho on;pola（t,y1n(2，:).,g）；l=2,=0,+1,1,+,2 即轨道角度部分:t=0:.1:*;y2n=legendr(,cs(t),sch)

4、;por(t，yn(1,:）.2,r);%d(z)hd n;ar(t,y(，:）.2,g）；ar(t,y2n（3,:）2,b);Legende多项式 函数 （7.)由于展开式 (7.3)而称为egere（勒让德)多项式的母函数。展开项系数 称为 Lee多项式,下节将证明它满足gene方程式（11）。称为阶。将式（.13）左边利用二项式定理展开,有 在上式中，含有 的项只出现在含 的项和以前各项中。在这些项中，将含 的各项展成幂级数,并找出所有含 的项,其系数合为 （7.1)其中，这是因为当 时,求和中最低幂项是 ，当 时,最低幂项是 。Legdre多项式的具体形式写成 （.1)Lgende多项

5、式的另一微商表达式是odrigue(洛德利格)公式 (15)(.14)式和（7.5)的正确性可以代入 Lgendre方程式(7)直接证明。由式(.14)和(715)可得出前几阶 Lgd多项式具体形式 图显示 在区间1,1上的图形，一般有 图 7.1 ede 函数 第二类egenr函数 值得一提的式,Lendre方程（11)应有另一个独立的解,这个解称为第二类Legen函数，记为 。其形式为 等一般的形式是 由于 的对数形式，第二类 Legend函数在边界 是无界的(并非全部 )。因此不能构成 Leed方程的本征函数系，所以，对 将不在作讨论。Lndre多项式的零点 的零点都是一阶的,全部位于区

6、域-,1内。且 与 的零点相互穿插，在 的两个相邻零点之间必有一个 的零点；反之亦然。23 Lgnede多项式的性质 Legee多项式的性质如下:递推公式 (7.)（.1)(71）(7.1）（.0)对称性 （7.21）特殊点的值 (2）(7.23)（.）积分表达形式 (7.5）Lap第一积分 (76)取 ,由式(7.6)得 取 ,由式（.2）得 (.)Lal第二积分 (7.8)积分公式 (.2)(.0）(731)利用odigues 公式(7.15)可证明积分公式,下面证明方程（.1）。利用式(7.)，有 将积分作 次分部积分，然后设 ，并利用积分公式 得 下面由母函数入手,证明gendre多项

7、式得递推公式,将母函数式(7.2)写下 (72)对式(7.12)两边取 导数,得 用 乘上两边,得 将上式左边中母函数再作展开,得等式 (7.32）比较(7.3)式两边项得系数，得递推关系。这是式（7.2)的结果。同理,对式()两边的求导,得 将上式两边乘以 ,并将左边母函数展开,得 (7.3）比较 项的系数,得 这就是式(1）。其它递推公式可依此导出，这里不再证明。利用母函数,已证明egende式多项式(1)满足递推公式（）(7.2),则式(7.)是gde方程(.11)的解。下面证明定理。定理 设函数是 在,1区间上有一、二阶连续倒数的连续函数，若 满足递推公式(7.1)和式（717)（70

8、），则 是 Lgede方程 的解。将递推公式（7)两边对 求导，得 (34)再将式（76)乘以 ,得 (35)将式（7.34)乘以 ,并与式(.3)相加,得 (7.36)由式（71）,将 换 成，有 （.7）将式(7.37)两边对 求导，得 (78)或写成 （7.39)将式(73）代入式（.），得 （7.4）再由式（71）将式(.40)中的 项替代,最后，得到 Lgee方程 2.4 Fouiged级数 第章 1.3讨论了区间，1上，Legndre方程的本征值为 (.41）相应的本征函数是egr多项式 （74）由 Lgne方程（7.1)知 ,。在 边界,因而 Legenr方程的解满足自然边界条件

9、,因而有本征函数正交性 (7.3）第 6章 14 还讨论了函数 在区间-,上用 Lend函数展成的广义ouier级数,称为 ForierLengendre级数。模 计算如下：将母函数式(7.12）两边平方,得 (7.47)ourierLngendre 级数展开定理 若在区间,上连续,或有限第一类间断点，那么，FurirLgedr级数 (74)其中 (7.5)（7.46)在,上的连续点收敛于 ;在 的间断点,则收敛于平均值 ;在 ,收敛于 ；在 ,级数收敛于 。将方程(7.47)两边对 从-1 到 1积分，并利用正交关系式(7.3）可知式（.4）右边的第二项积分等于零。于是,有 （7.8)式（8

10、）左边的积分可完成为 (.）将式（49)与式(7.48)的右边相比较,得 【例 7.】在1,1区间上,试求 展成 Furir-Lengnre级数。解 设 根据积分公式（7.0）可知,当 时,所有积分等于零,即 利用式（729），计算得 (被积函数是奇函数）于是有 由上述计算可得出以下结论:在的 Four-gen级数中，若是奇数,只含奇数阶 Lende多项式;若为偶数，只含偶数阶 Lnende多项式。且gedr多项式的阶数最高阶为。下面列出部分的 Fourengne 多项式的阶数:具有轴对称性的物理问题举例 由本章 1 的讨论可归纳出具有轴对称性的物理问题的形式解。把对称轴取作求坐标的轴,Hlm

11、holt方程描写的轴对称问题形式解为 (7.50）Lapl方程描写的轴对称问题的形式解:(7.5)对于球内问题,有 对于球外问题,应为零。【例 7.2】半径为的均匀带电圆环，总电量为 ,如图 7.2，求圆环周围空间的电势。图.2 带电的圆环 解 先由 Coulom(库仑)定律求在 轴上的电势,(752)将式(7.52）作 Lant(罗朗)展开,得 （7.5)势(753）可看成是形式解（7.5）在 的边界条件。比较两式，且有 ,得 【例.】半径为的半球导体，球面温度保持在,底面温度保持为，如图 73,求半导体球内的稳定温度分布。图 7.半圆形导体 解 稳定时,导体内的温度分布满足 Lpae方程。

12、温度分部具有轴对称性。对于球内问题,由式(.51）有 (7.5)边界条件是 (7.5)(7.5）由式(55），有 显然,只有当 为奇数 时才有 。因而,式（75）成为 （7.7）由式(7.56),有 利用e-Legnde级数展开定理,有 (7.8）最后一步积分是利用习题第 题的结果求得的。将式（75)换写成 表达式,并代入式(7.7),有 （.9）*连带 LGENDR多项式 3.1 连带 LEENDR多项式 上节讨论了对称的定解问题,当 时，式(.5）转变成 Lgedre方程（710）。当物理问题是非轴对称时，将式（7.5）写下：(7.)类似地，作代换,令 ，式（7.5）变成连带endre方程 （760)式(760)的本征值是 ，只有当 取 等整数时,式(.60）才有本征函数解。设 （76)于是,有 将上述结果代入式（7.60)得 （.2)另则，由 Leendre方程（7.1）对 作 次求导,得 (.63)比较式(7.3）与(6)有 (7.6）由式（7.61)得到满足方程（7.60)的连带 Legendre多项式 (.6）在以上推导中,阶导数表示为 特别是 3.2 连带 LEGENR多项式的性质 积分表达式 (.67)递推公式 (.68)(.6)(7.0）(7.71)对称性 (.72)(773）（7.74)正交关系 (7.）(7.6）