6函数模型及其应用.docx

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6函数模型及其应用函数模型及其应用2010年高考数学一轮复习精品学案（人教版A版）函数模型及其应用一【课标要求】1利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；2收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。

二【命题走向】函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。

高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。

出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。

预测2010年的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。

（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；

（2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象三【要点精讲】1解决实际问题的解题过程

（1）对实际问题进行抽象概括：

研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；

（2）建立函数模型：

将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：

根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：

2解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：

（1）阅读理解、整理数据的能力：

通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；

（2）建立函数模型的能力：

关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；（3）求解函数模型的能力：

主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用四【典例】题型1：

正比例、反比例和一次函数型例

（1）（2009山东卷理）（本小题满分12分）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：

垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.

（1）将y表示成x的函数；

（2）讨论

（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？

若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。

（2）某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。

根据此表所给的信息进行预测：

（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；

（2）如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？

观测时间1996年底1997年底1998年底1999年底2000年底该地区沙漠比原有面积增加数（万公顷）0.20000.40000.60010.79991.0001例2（2009湖南卷理）（本小题满分13分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。

假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。

（）试写出关于的函数关系式；（）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？

题型2：

二次函数型例3一辆中型客车的营运总利润y（单位：

万元）与营运年数x（xN）的变化关系如表所示，则客车的运输年数为（）时该客车的年平均利润最大（A）4（B）5（C）6（D）7x年468（万元）7117例4（2009福州八中）某造船公司年造船量是20艘，已知造船艘的产值函数为R（x）=3700x+45x2-10x3（单位：

万元），成本函数为C（x）=460x+5000（单位：

万元），又在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）。

（）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；（提示：

利润=产值成本）（）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？

（）求边际利润函数MP（x）单调递减时x的取值范围，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

例5（2008湖南理21）已知函数有三个极值点（I）证明：

；（II）若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。

题型3：

分段函数型例6（2009福建省）已知某企业原有员工2000人,每人每年可为企业创利润3.5万元.为应对国际金融危机给企业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部分员工待岗.为维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的5,并且每年给每位待岗员工发放生活补贴O.5万元.据评估,当待岗员工人数x不超过原有员工1时,留岗员工每人每年可为企业多创利润（1-）万元；当待岗员工人数x超过原有员工1时,留岗员工每人每年可为企业多创利润O.9595万元.为使企业年利润最大,应安排多少员工待岗?

例7（2008广东，17）（本小题满分12分）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x（x10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：

元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

（注：

平均综合费用平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用）题型4：

三角函数型例8某港口水的深度y（m）是时间t（0t24，单位：

h）的函数，记作y=f（t）。

下面是某日水深的数据：

t/h03691215182124y/m10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看成函数y=Asint+b的图象。

（1）试根据以上数据求出函数y=f（t）的近似表达式；

（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）。

某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它最多能在港内停留多少时间（忽进出港所需的时间）？

题型5：

不等式型例9（2009年上海卷理）有时可用函数描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。

（1）证明当时，掌握程度的增加量总是下降；

（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为,。

当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。

例10（2008湖北，文、理19）（本不题满分12分）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：

cm），能使矩形广告面积最小？

题型6：

指数、对数型函数例11有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。

现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合用，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数（我们称其湖水污染质量分数），表示湖水污染初始质量分数。

（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；

（2）分析时，湖水的污染程度如何。

例12现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过个？

（参考数据：

）.五【思维总结】1将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

2怎样选择数学模型分析解决实际问题数学应用问题形式多样，解法灵活。

在应用题的各种题型中，有这样一类题型：

信息由表格数据的形式给出，要求对数据进行合理的转化处理，建立数学模型，解答有关的实际问题。

解答此类题型主要有如下三种方法：

（1）直接法：

若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解；

（2）列式比较法：

若题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较；（3）描点观察法：

若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决。

下面举例进行说