山财自考37线性代数考核作业已填好答案.docx

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山财自考山财自考37线性代数考核作业已填好答案线性代数考核作业已填好答案线性代数（经管类）综合试题一（课程代码4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将A.2MB.2MC.6MD.6M2.设A、B、C为同阶方阵，若由AB=AC必能推出B=C,则B.A=OC.|A二0D.|H工0-2引込1-口12%-勿曲现J1阳2%1.设D=吗1码9=M0则D1=-吗1吗厂如其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

3.设A,B均为n阶方阵，则A.|A+AB=O，则冏=0或|E+B|=0B.（A+B）2=A2+2AE+B2C.当AB=O时，有A=0或B=0D.（AB）-1二BK14.二阶矩阵A匕刃，|A|=1，则A1二di（B）.fdtiA.U可B.LoD.、炖，贝y下列说法正确的是（B）.A.若两向量组等价，则s=t.B.若两向量组等价，则（%厂心）二丫丹屈）C.若s=t，则两向量组等价.D.若r（丐吒炉=）二r（理屁则两向量组等价.6.向量组6叫线性相关的充分必要条件是（C）.A.%叫疤中至少有一个零向量B.%叫#%中至少有两个向量对应分量成比例C.丐吗中至少有一个向量可由其余向量线性表示D.鸣可由叫线性表示7.设向量组弓r%有两个极大无关组r%与吟，咛超n则下列成立的是（C）.A.r与s未必相等B.r+s=mD.C.r=s8.对方程组Ax=b与其导出组Ax=o，下列命题正确的是（D）.A.Ax=o有解时，Ax=b必有解.B.Ax=o有无穷多解时，Ax=b有无穷多解.C.Ax=b无解时，Ax=o也无解.D.Ax=b有惟一解时，Ax=o只有零解.9.设方程组十马一巧=0号+兀=0円5=有非零解，则k=（D）.A.2B.3C.-1D.110.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是（D）.A.|A|0B.存在n阶方阵C使A=CTCC.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.四阶行列式D中第3列元素依次为-1,2,0，1，它们的余子式的值依次为5，3,-7,4D=-15q02-1.3115.设向量=（6,8,0）,0=（4,35），则（在戸）二016.设n元齐次线性方程组Ax=o,r（A）=rn,则基础解系含有12.若方阵A满足A2=A，且A吒，则IH=0I上卜一13.若A为3阶方阵，且2，则|2=4-I2、-2614.设矩阵打的秩为2,则t=_3解向量的个数为n-r个.17.1），码=（0,0,1）是R的基,设叽（1,1,0），叫=（0,1,则Q=（1,2,3）在此基下的坐标为（1,1,2）18.设A为三阶方阵，其特征值为1,-1,2,则A2的特征值为1,1,4.19.二次型/（巧齐，与=2斗+3理-此-4X匹+2T占的矩阵A220231011ri020.若矩阵A与B=l三、计算题（本大题共21.求行列式解:

=xyl+I111-x苗丿相似，则A的特征值为1,2,36小题，每小题9分,共54分）的值1x1111x11111x11xx00111y1111y11111y00yyx100x00011100110=xy0=x2y2001y100y000110011122.解矩阵方程:

1解：

令A=21（AE）广II-p-2I1X=3J1o11211，B=3116111100211010111001121213130A112121313013161213130131612由AX=B#X=A1B=121223求向量组叫=（1,1,2,3）,%=（-1,-1,1,1），吗=（1,3,3,5）,=（4,-2,5,6）的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.解：

将已知向量按列构成矩阵,并对其进行行变换:

10001010121246361000103412124636100010101212463610001100111043301000010000107030所以,=3,极大无关组为4=71-33I巧勺+勺亠可=1jq42勺一号+41=224.a取何值时，方程组.九*兀-仁+1%力有解？

并求其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）解：

对方程组的增广矩阵施以初等变换:

114211a若方程有解，则r（A）=r（A）,故a=5当a=5时,继续施以初等行变换得:

15350453,原方程组的同解方程组为:

50x1X2453515X335X36x45,X3,X4为自由未知量，令X3=X4=0得原方5X4程组的一个特解:

453-与导出组同解的方程组为:

500X1X215X335X365X475X4X3，X4为自由未知量令X：

得到导出组的基础解系:

15351065I，所以,01方程组的全部解为v=453500+C1153510+C657501,其中Ci,C2为任意常数。

25.已知0-1儿求A的特征值及特征向量，并判断A能否对角化，若能，求可逆矩阵P,使P-AP二A（对角形矩阵）.解：

矩阵A的特征多项式为:

所以,A的特征值为:

对于:

2EA的对应于特征值全为零。

=

（2）2（22，31）2，求齐次线性方程组（2EA）xO的基础解系,000,得基础解系:

02的全部特征向量为:

0C11010C1,C2不对于3求齐次线性性方程组（E-A）x=O的基础解系,01,从而矩阵,得基础解系:

00的对应于特征值1的全部特征向量为：

c1c1因为三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量0以，A相似于对角矩阵，且P1026.用配方法将下列二次型化为标准形:

Xj=彳+2忙一+4龙息-4斗召-4牛解：

f（X1，X2，X3）x：

2x2x24x1x24x1X34X2X3=X124Xi（x2X3）4（X2X3）24（X2X3）2c222X2X3=（X12x22x3）22x；-4x2X35x；=（X12x22x3）2Nx；2x2X3xf）3x1=（X12X22X3）22x2X3）23x；y1X12x22x3x1y2y2令y2X2X3，即X2y2y3y3X3X3y34X2X3得二次型的标准型为：

yi22y；3y2.四、证明题（本大题共6分）27.设向量坷=亿-3心=厲13）吗=（映1），证明向量组码理鸣是R3空间中的一个基.110110证：

因为11002011100112120，所以3线性无关,所以向量组3是R3空间的一个基。

线性代数（经管类）综合试题二（课程代码4184）、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请将在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.若131Jt21=0,则（C）.C.-1D.-22.设A、B为n阶方阵，则（3才即成立的充要条件是（D）.3.设A可逆B.B可逆C.|A|=|BD.AB二BA阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵，则（A）.C.=|舛舛11r2134.矩A+lj（B）.C.0Ax=o的5.设3W矩阵A的秩r（A）=1严庆T是齐次线性方程组三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为（D）.D.虚+屈ff+Q+p6.向量丐=仇Z族叫=（厶2=2、兮Q*）线性相关则（C）.A.C.k=-3k=-47.设ui,U2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解，若勺叫_叽是其（B）.A.C1+C2=1B.Ci=C2C.ci+C2=0D.Ci=2c28.设A为n（n2阶方阵，且A=E,则必有（B）.导出组Ax=o的解，则有A.A的行列式等于1B.A的秩等于nC.A的逆矩阵等于ED.A的特征值均为9.设三阶矩阵A的特征值为2,1,1,A1的特征值为（D）.A.1,2B.2,1,110.1D.空,1,1=斗+2X；+玩是A.正定的B.半正定的C.负定的D.不定的（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.12.设A为三阶方阵，且|A|=4,则|2A|=3213.设A=J11小002002丿则Ab14.设A0010f2-512e250315.向量花耳表示为向量组可=亿40岭=（必KOL石=（0,0,的线性组合式为A坯+升一=03jq+5玉玉2x=016.如果方程组严0有非零解，则k-117.设向量位=也-2）与Q=（码正交，则a=2r3x32x1x23X4X33丿，写出矩阵A对应的二次型19已知矩阵A与对角矩阵0-100、0U相似，则a=20.设实二次型02耳吋的矩阵A是满秩矩阵，且二次型的正惯性指数为3,则其规范形为_y12y壮y2三、计算题（本大题共6小题，每小题9分,共54分）21.计算行列式yyyX的值.1yyy0Xy0000Xy0000Xy=（x3y）（y）3X3yyyy1yyy解：

原式二x3yXyy=（X3y）1XyyX3yyXy1yXyX3yyyX1yyX厂I-1qP-1210222.设矩阵A=23丿B=少2丿D.21C.5.向量组（D）.A.线性无关B.至少有两个向量成比例C.只有一个向量能由其余向量线性表示D.至少有两个向量可由其余向量线性表示6.设A为mn矩阵，且mvn,则齐次线性方程组Ax=o必（C）.A.无解B.只有唯一零解C.有非零解D.不能确定7.已知4元线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为3,又屿=aw/.碍=是Ax=b的两个解贝JAx=b的通解是（D）.A.CU2.3,4/4丸幼B.D.0,2.3,47+tCUAl产产8.如果矩阵A与B满足（D），则矩阵A与B相似.A.有相同的行列式B.有相同的特征多项式C.有相同的秩D.有相同的特征值，且这些特征值各不相同9.设A是n阶实对称矩阵，则A是正定矩阵的充要条件是（D）.B.A的每一个元素都大于零D.A的正惯性指数为n10.设A,B为同阶方阵,且r（A）=r（B），则A.A与B相似B.A与B合同C.A与B等价D.|A=IB二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案错填、不填均无分。

11.行列式330-344402412.设A为三阶矩阵，|A|=-2，将矩阵A按列分块为4=如二），其中0=1,2.3）是A的第j列，亦=C4s-2/4山3?

扫4i），则|B|=6.5丿，B=UD丿，则X=1313.已知矩阵方程AX=B,其中A=lI1112.14.已知向量组6码=（1的秩为2k=-215.向量圧=山5的长度回1=16.向量声=在基珥=00）心=0.0.0）下的坐标为34317.设珥亍丐，码是4元齐次线性方程组Ax=o的基础解系，则矩阵A的秩r（A）=118.设兄=0是三阶矩阵A100200flj的特征值，则a=19.若=xf+2jc+4jqx,+ejyr是正定二次型，则乂满足20.设三阶矩阵A的特征值为1,2,3,矩阵B=A2+2A,则B|=360三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.设三阶矩阵A=-0a1023j求：

（1）矩阵A-2E及IA2E，E为三阶单位矩阵.3-20】.解:

（1）A2E2E（A2E）122.已知向量组厲=魚乙21禺=2%4丄吗=04现4=（04-2）求：

（1）向量组的秩;

（2）向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.解:

（1）将所给向量按列构成矩阵A,然后实施初等行变换：

所以,向量组的秩r（4）向量组的一个极大无关组为:

3，且有21,4212323.讨论a为何值时，线性方程组一2弓+2习=2乃吗些=1X1十毛J-眄+301=a.一十可十于E二一1有解?

当方程组有解时，求出方程组的通解.解：

对方程组的增广矩阵实施初等行变换:

1A011100021002111210021112100213521a021a1100010000100211301002113410021130010若方程组有解，则r（A）r（A）2,从而a=1.2123当a=1时，原方程组的通解方程组为:

X2X11x4X4，X3，X4为自由未知量.令X3=X4=0，得原方程组的一个特解：

（0,1,0,0）.导出组的同解方程组为:

Xi4x4X2X3X4X3，X4为自由未知量.令X4，分别取00，得导出组的基础解系：

（0,1,1,0）T1（-4,1,0,1）T所以，方程组的通解为：

（0,1,0,0）T+c1（0,1,1,0）T+C2（-4,1,O,1）t，其中，Ci，C2为任意常数.24.已知向量组珥=0场町=（-2码0丐=（-1，讨论该向量组的线性相关性.121121解：

因为1a10a2224a08a2当a=2或a=-6时,向量组线性相关,（a2）（a6）当a2且a-6时，向量组线性无关,-I1小-43025.已知矩阵A=v02J

（1）求矩阵A的特征值与特征向量;

（2）判断A可否与对角矩阵相似,若可以，求一可逆矩阵P及相应的对角形矩阵A解：

矩阵A的特征多项式为:

2）

（1）2所以，A的特征值1,对于121,求齐次线性方程组（EA）xO的基础解系,阵A的对应于特征值12,得基础解系:

012，从而矩111,的全部特征值为：

c2,（c0）1对于32，求齐次线性方程组（2EA）xO的基础解系,32EA41100010，得基础解系:

00100，从而矩阵1A的对应于特征值02,的全部特征值为：

c0,（c10）因为三阶矩阵A只有两个线性无关的特征向量，所以，A不能相似于对角矩阵。

26.设二次型=时+-虹1看+-to产!

-珥

（1）将二次型化为标准形;

（2）求二次型的秩和正惯性指数.得二次型的标准形为:

f（x1,x2,x3）X；2x1x22x1x32x；4x2x33x1（X1X2X3）2X；2X2X34x1（X1X2X3）2（X；2X2X3xf）5x3（X1X2X3）2（X2X3）25xfy1X1X2X3X1y1y2y2X2X30即X2y2y3y3X3X3y3令x；22厂2y1y25y32Xi（X2X3）（X2X3）2（X2X3）22x；4X2X33x3

（2）由上述标准形知：

二次型的秩为3,正惯性指数为2四、证明题（本大题共6分）27.已知A是n阶方阵，且，证明矩阵A可逆，并求d-证：

由（A+E）2=0,得：

A2+2A=-E,从而A（A+2E）二-E,A（-A-2E）二E所以A可逆，且A1=-A-2E线性代数（经管类）综合试题四（课程代码4184）、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.（）.A.2B.3C.2.设A，B均为n5-2-2阶非零方阵，=0D.-3下列选项正确的是（）.A.（A+B）（A-B）=A2-B2B.（AB-1=B11C.若AB=O则A=O或B=OD.|3）严阴是齐次线性方程Ax=o的三个线性无关的解向量,则方程组Ax=o的基础解系为）.A.B.C.D.的特征值为）.A.3，5B.1,C.1,1,2D.3，3，5（）.a.EB.存在n阶矩阵P,使得A=FtPC.负惯性指数为0D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.12.设为三阶方阵，且|A|=2,A是其伴随矩阵，则|2A*|13.设矩阵A014.设庄=山42）5=（230），则内积（gQ=15.若向量丐不能由吗丁吗线性表示，且r（%6）=2，则r（坷疤，码）二+3x斗=3十2Xj+4可=416.设线性方程组匕】4廷+冇+斥有解，则t17.方程组人1+2无4陷+4斗=0的基础解系含有解向量的个数18.设二阶矩阵A与B相似，A的特征值为-1,2,则B|=19.设二次型的矩阵20.用正交变换将二次型a宀0=忌化为标准形为处曲-丈，则矩阵A的最小特征值为.三、计算题（本大题共6小题,9分，共54分）21.计算n阶行列式Xy0000Xy0000X00VFV000.Xyy000X每小题=广11小1P121X=20021J3b22.解矩阵方程:

23.验证q=一码=32吗=0A1）是r3的一个基，并求向量=（72）在此基-下的坐标.24.设向量组%线性无关，令=+=吗一吗揖=坷_于吗+込,试确定向量组此凤厲的线性相关性.34+弓一弓一3弓一弓一=03Ij+43x+号暫=025.求线性方程组阿+屯2777些二。

的基础解系，并表示其通解.2A=I26.求矩阵I的特征值和全部特征向量.四、证明题（本大题共6分）27.设%咛吗是三维向量组，证明:

%鸣线性无关的充分必要条件是任一三维向量都可由它线性表示.线性代数（经管类）综合试题五（课程代码4184）、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内错选、多选或未选均无分。

=01.行）.A.1B.4C.-1或4D.-12.设A，B，C均为n阶非零方阵，下列选项正确的是）.A.若AB=AC，贝JB=CB.（A-Q2二A2-2AC+C2C.ABC=BCAD.|ABC|=A|B|C|A-b2成立的充分）.A.A=ED.AB=BA码1如11%13%吆如二4%呱眄1畋如JB.B=OC.A=B4.若,则初等矩阵P=）.广0110（P00010胪1A.001丿B.00丿0小q0胪020012C.0bD.0Q1丿5.设向量s（-l1,厶尊P=G010）,则g2p=）.A.（-1,3,8,9）B.（1,3,8,9）C.（-1,0,8,6）D.（-1,3,9,8）（）.6.下列结论正确的是A.若存在一组数ki,k2,，km,使得若+比四+M応=0成立，则向量组珥疤f%线性相关.B.当k1=k2=二km=O时，耐耳+龙+4上几力，则向量组线性无关.C.若向量%咛吗线性相关，则弓丐，吗线性相关.D.若向量%吗疤线性无关，则码疤吗皿线性无关.7.设ui,U2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解，若C1U1+C2U2（）.A.C1+C2=0B.C1=C2C.C1=2c2D.C1+C2=18.线性方程组Ax=o只有零解的充分必要条件是是其导出组Ax=0的解，则（）.A.A的行向量组线性无关B.A的行向量组线性相关C.A的列向量组线性无关D.A的列向量组线性相关（）.9.设12丿，则42的特征值为A.=&=2b.A=A=-210.设二次型丁耳心4）的矩阵A是满秩矩阵，且二次型的正惯性指数为3,则二次型的规范形为（）.A.別小冗-必C.X+冗+天B.-*+54此*y；D.才4小*+以二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案错填、不填均无分。

11.行列式-12233354412.设A为三阶方阵，|A|=2,则|2A-1|=0-13-205j14.设215.向量习的单位化向量为丿，则（AB）-1二J13-f3一22J，则2A+b=16.设向量组丐亍吗严“兀的两个极大无关组分别是和吩吟,r和t的关系是17.设向量组01,2A的秩为2,则t=18.设向量圧=山-2丁厶0）与Q=（比丄0亍-2）正交，则k=19.已知二次型r（功=X4禺Z+4叮-4jCjEZj馮一8x占，写出二次型f的矩阵A=20.设三阶实对称矩阵的特征值为3,3,0，则A的秩三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式22.已知矩阵q2A=lo-3a100,且A+XXA求Xq323.设A=l厅-I巧,已知r（A）=2，求a,b的值.可-习=耳24.已知线性方程组L兀1-兀1-吗，

（1）问常数ai，32，a3满足什么条件时，方程组有解？

（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解（用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.0P01t,求正交矩阵Q使得C-1AC=A25.设实对称矩阵A=U*2丿其中，A是对角矩阵.26.设二次型n吗齐H+眄是正定二次型，求a的取值范围.四、证明题（本大题共6分）27.设向量组线性无关，再可由吟咛线性表示，而盛不能由理hrd线性表示.证明：

向量组塔丁+/5线性无关.1318.已知实对称矩阵A=l2At口心3=f（x1,x2,x3）X1123I+=02习4缸工一号+2=0+%-52+7习二0的基础解系，并