答案 盐城市届高三上学期期中考试数学试题.docx

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答案盐城市届高三上学期期中考试数学试题

江苏省盐城市2020届高三上学期期中考试

数学试题

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）

1．已知集合A＝，B＝[0，），则AB＝．

答案：

{1}

考点：

集合的交集运算

解析：

∵集合A＝，∴集合A＝{﹣1，1}

∵B＝[0，），∴AB＝{1}．

2．已知角的始边为x轴的正半轴，点P（1，2）是其终边上一点，则cos的值为．

答案：

考点：

三角函数的定义

解析：

cos．

3．“m＞1”是“m＞2”的条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）．

答案：

必要不充分

考点：

充分条件、必要条件以及充要条件的判断

解析：

∵“m＞2”能推出“m＞1”，但是“m＞1”推不出“m＞2”

∴“m＞1”是“m＞2”的必要不充分条件．

4．若向量＝（l，m），＝（3，2），∥，则实数m的值为．

答案：

考点：

平行（共线）向量坐标运算

解析：

∵量＝（l，m），＝（3，2），∥，

∴1×2﹣3m＝0，求得m＝．

5．函数的定义域为．

答案：

[2，）

考点：

函数的定义域

解析：

∵

∴，解得x≥2，故函数的定义域为[2，）．

6．若函数为奇函数，当x＞0时，，则的值为．

答案：

﹣3

考点：

奇函数的性质

解析：

∵函数为奇函数，

∴．

7．设为等差数列的前n项和，若，且公差d≠0，则的值为．

答案：

考点：

等差数列及其前n项和

解析：

∵为等差数列的前n项和，且，

∴，即，故．

8．若sin（＋）＝﹣，则cos2的值为．

答案：

考点：

诱导公式，倍角公式

解析：

∵sin（＋）＝﹣，∴

∴cos2．

9．若函数的图象关于直线x＝a对称，则的最小值是．

答案：

考点：

三角函数的图像与性质

解析：

，其对称轴为，当k＝﹣1时，最小为．

10．若函数在（﹣1，）上是增函数，则实数a的取值范围是．

答案：

[0，1]

考点：

函数的单调性

解析：

由题意得：

或解得a＝0或0＜a≤1，即0≤a≤1，

故实数a的取值范围是[0，1]．

11．若数列满足，＝2，则数列是等比数列，则数列的前19项和的值为．

答案：

1534

考点：

等比数列的定义及前n项和

解析：

由题意知，，则数列是以1为首项，2为公比的等比数列，

则，，

则，故，

，

∴．

12．如图，在△ABC中，AB＝，AC＝，，，，，若MN⊥BC，则cosA的值为．

答案：

考点：

平面向量数量积

解析：

，，因为MN⊥BC，

所以，即，

化简得：

，又AB＝，AC＝，

计算得＝1，则cosA＝．

13．在△ABC中，AC＝1，AB＝，D为BC的中点，∠CAD＝2∠BAD，则BC的长为．

答案：

考点：

解三角形（面积法与余弦定理）

解析：

因为D为BC的中点，所以S△ACD＝S△ABD，

故，

因为sin∠CAD＝sin2∠BAD＝2sin∠BADcos∠BAD，AC＝1，AB＝代入上式，

得cos∠BAD＝，∵0＜∠BAD＜π，故∠BAD＝，∠BAC＝，

．

14．设函数，若对任意的实数a，总存在[0，2]，使得，则实数m的取值范围是．

答案：

（，]

考点：

函数与不等式（讨论最值解决恒成立、存在性问题）

解析：

令，，

故在[0，1]单调递减，在[1，2]单调递增，

求得，，，

当时，的最大值为，

故恒成立，；

当时，的最大值为，

故恒成立，．

综上所述，对任意的实数a，总存在[0，2]，使得，则实数m的取值范围是，即（，]．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15．（本题满分14分）

若函数（＞0，0＜＜）的图象经过点（0，），且相邻的两个零点差的绝对值为6．

（1）求函数的解析式；

（2）若将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象，当[﹣1，5]时，求的值域．

解：

（1）相邻的两个零点差的绝对值为6，

记的周期为，则,

又，................................................................................2分

;

的图象经过点，

，，..................................................4分

函数的解析式为..................................................6分

（2）将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象,

由

（1）得，，

函数的解析式为；.............10分

当时，，则.

综上，当时，的值域为...................................14分

16．（本题满分14分）

设p：

“，”；q：

“在区间[﹣1，1]上有零点”．

（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；

（2）若pq为真命题，且pq为假命题，求实数a的取值范围．

解：

（1）为真命题，则,；...........................4分

（2）为真命题，为假命题,

则一真一假......................................6分

若为真命题，则在在有解，

又的值域为，...........................8分

真假,

则..............................10分

假真,则无解......................................12分

综上，实数a的取值范围是................................14分

17．（本题满分14分）

如图所示是某社区公园的平面图，ABCD为矩形，AB＝200米，BC＝100米，为了便于居民观赏花草，现欲在矩形ABCD内修建5条道路AE，DE，EF，BF，CF，道路的宽度忽略不计，考虑对称美，要求直线EF垂直平分边AD，且线段EF的中点是矩形的中心，求这5条路总长度的最小值．

解：

（法一）设，过作于，

垂直平分，（米），

（米），（米），

又的中点是矩形的中心，

（米），

记这5条路总长度为（米），

则，..................................6分

即，

，.................................8分

化简得，由，可得，.........................10分

列表如下：

↘

↗

由上表可知，当时，取最小值（米）..................13分

答：

5条道路的总长度的最小值为（米）............................14分

（法二）过作于，设（米）（）

因垂直平分，故（米），

又的中点是矩形的中心，（米）；

在中，（米），

由对称性可得，（米）；

记这5条路总长度为（米），

................................6分

...............................8分

令解得（负值舍）..............................10分

列表如下：

↘

↗

由上表可知，当时，取最小值............................13分

答：

5条道路的总长度的最小值为米............................14分

（法三）同方法二得到，以下可用判别式法.

18．（本题满分16分）

如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，点D为△ABC内一点，满足BD＝CD＝2，且．

（1）求的值；

（2）求边BC的长．

解：

（1）设，，，

由，

所以，即，............................2分

又为三角形的内角，所以，..............................4分

在中，，所以，.......................6分

同理，.................................8分

所以，................................10分

（2）在中，，......................12分

同理，.................................14分

由

（1）可得，解得................................16分

19．（本题满分16分）

在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次拓展．如数列1，2，经过第1次拓展得到数列1，3，2；经过第2次拓展得到数列1，4，3，5，2；设数列a，b，c经过第n次拓展后所得数列的项数记为，所有项的和记为．

（1）求P1，P2，P3；

（2）若≥2019，求n的最小值；

（3）是否存在实数a，b，c使得数列为等比数列，若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，请说明理由．

解：

（1）因原数列有3项，经第1次拓展后的项数；

经第2次拓展后的项数；

经第3次拓展后的项数...............................3分

（2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，

由数列经第次拓展后的项数为，则经第次拓展后增加的项数为，

所以，..............................5分

所以，

由

（1）知，所以，，.....................7分

由，即，解得，

所以的最小值为10.................................8分

（3）设第次拓展后数列的各项为，

所以，

因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，

所以，

即，所以，........................12分

得，，，

因为数列为等比数列，所以，可得，.............................14分

则，由得，

反之，当且时，，，，所以数列为等比数列，

综上，满足的条件为且..........................16分

20．（本题满分16分）

设函数，为常数．

（1）当a＝0时，求函数的图象在点P（0，）处的切线方程；

（2）若函数有两个不同的零点，，①当时，求的最小值；②当＝1时，求的值．

解：

（1）当时，，，，，

故所求切线的方程为，即......................2分

（2）①，令，则，

当时恒成立，故在上递减，

令得，故在上递增，又，，的图象在上连续不间断，所以存在唯一实数使得，...............4分

故时，时，所以在上递减，在上递增，

∴，由得，

∴，........................6分

因为函数有两个不同的零点,，所以，得，

由易得，故整数,

当时，，满足题意，

故整数的最小值为.（也可以用零点存在性定理给出证明）................10分

注：

由得，不能得到.

②法一：

当时，，由得，，

两式相乘得，

得（※）.......................12分

不妨设，由及的单调性可知，..........14分

故，

当时（※）式成立；

当时（※）式左边大于1，右边小于1，（※）式不成立；

当时（※）式左边小于1，右边