李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社.docx

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李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社第一章绪论1设x0,x的相对误差为，求Inx的误差解：

近似值x*的相对误差为e*x*xx*x*而Inx的误差为eInx*Inx*Inx1x*e*进而有（Inx*）2.设x的相对误差为2%，求xn的相对误差。

xf（x）解：

设f（x）xn，则函数的条件数为Cp|f（x）n1xnxn1又Qf（x）nx,Cp|nn又Qr（x*）n）Cpr（x*）且er（x*）为2r（x*）n）0.02n3下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：

x；1.1021,x20.031,x3385.6,x456.430,x；71.0.解：

x*1.1021是五位有效数字；x20.031是二位有效数字；X3385.6是四位有效数字；x456.430是五位有效数字；x；71.0.是二位有效数字。

4.利用公式（2.3）求下列各近似值的误差限：

X；X；X；,

（2）x；x；x；,（3）x；/x4.其中x；,x2,x3,x4均为第3题所给的数。

解:

*14（X1）210*1,亠3（X2）210*11（X3）210*1,亠3（X4）210*11（X5）102

（1）（X1*（X1）11021.0510X2X4）*（X2）412310（X4）3X2X3*X1X3（x2）

（2）（x；x；x；）*X1X2（X3）1.10210.03110110.031385.6-1041.1021385.6100.215（X；/X；）*I*X2I（X4）X4（X2）n1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少?

&0.031131310356.4301032210556.43056.4305计算球体积要使相对误差限为43解：

球体体积为V-R3Rg/V则何种函数的条件数为Cpr（V*）Cpgr（R*）3r（R*）又Qr（V*）1故度量半径R时允许的相对误差限为r（R*）-310.3316.设Y028，按递推公式Yn丫7783100（n=1,2,）计算到丫00。

若取.78327.982（5位有效数字），试问计算Yoo将有多大误差?

1解：

QY,Yn1.7831001论0丫99“冠1001丫987831001.丫97.783100丫99丫98丫11丫0100茨1/783100即丫00Y）、783,若取,78327.982，丫00（丫0。

）（丫0）（27.982）143丫100的误差限为10。

依次代入后,Yo27.9827.求方程X21103有论。

绻10056x10的两个根,使它至少具有4位有效数字（.78327.982）。

故方程的根应为X1,228、783故X1287832827.98255.982x1具有5位有效数字x228、78328、7832827.9820.01786355.982X2具有5位有效数字8.当N充分大时，怎样求N1dx?

1x2pdxarctan（N1）arctanNxarctan（N1）,arctanN。

则tanN1,tanN.111x2dxarctan（tan（）丄tantanarctan1tangtan丄N1Narctan1（N1）Narctan亍N2N129.正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm?

解：

正方形的面积函数为A（x）x2（A）2A*g（x*）.当x*100时，若（A*）1,12则（x*）1022故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过1cm21210设S-gt2，假定g是准确的，而对t的测量有0.1秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。

12解：

QS-gt2,t02（S*）gt2g（t*）当t*增加时，S*的绝对误差增加r（S*）（S*）S*gt2g（t*）当t*增加时，（t*）保持不变，则S*的相对误差减少。

11序列y满足递推关系ynI0yn11（n=1,2,），若y0,21.41（三位有效数字），计算到y10时误差有多大？

这个计算过程稳定吗?

解：

Qy021.4112（yo*）102又Qyn10yn11y110y01S）10（y。

*）又Qy210%1（y2*）10S）（y2*）102（y。

*）10（Y10*）10（y*）101011022110821计算到ye时误差为?

108，这个计算过程不稳定。

12计算fC-.21）6，取.2，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好?

1（/21）6（32）3,1,9970.2。

（32、2）3解：

设y（x1）6,I*I若x.2,x1.4，贝Ux102若通过（,，21）6计算y值，则（x1）76*7yx（x1）若通过（32.2）3计算y值，则*2（32x）gx若通过（33计算y值，则2.2）31（32x）41*7yx（32x）通过3计算后得到的结果最好。

（32、2）313.f（x）ln（x.x21）,求f（30）的值。

若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？

若改用另一等价公式。

ln（xx21）ln（x.x21）计算，求对数时误差有多大？

解Qf（x）ln（xJx21）,f（30）In（307899）设u.899,yf（30）则u*gu0.01673若改用等价公式ln（x、x21）In（x.x21）则f（30）In（30.899）此时，*yuu1*u59.98337第二章插值法1当x1,1,2时，f（x）0,3,4，求f（x）的二次插值多项式。

解：

x01,x1hx22,f（x。

）0,f（X1）3,f（X2）4;l0（x）产x1）（x企|（x1）（x2）（xxj（x。

X2）2（xx0）（xx2）1h（x）02（x1）（x2）（人沧）任X2）6（xx0）（xx1）1l2（x）01（x1）（x1）（X2X）（X2xj3则二次拉格朗日插值多项式为2L2（x）yk（x）k0X2X/V1-22）（X4-32.给出f（x）Inx的数值表X0.40.50.60.70.8Inx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算In0.54的近似值。

解：

由表格知，x00.4,x10.5,x20.6,x30.7,x4f（x。

）0.916291,f（x1）0.693147f（X2）0.510826,f（x3）0.356675f（X4）0.223144若采用线性插值法计算In0.54即f（0.54）,则0.50.540.6h（x）XXIX2X210（x0.6）J（x）XX2X1X110（x0.5）Li（x）f（xjli（x）f（X2）2（x）6.93147（x0.6）5.10826（x0.5）L1（0.54）0.62021860.620219l（x）（xX1）（xX2）（X。

X1）（XX2）h（x）（XX0）（XX2）（X1X0）（X1X2）若采用二次插值法计算In0.54时,50（x0.5）（x0.6）100（x0.4）（x0.6）l2（x）（xx0）（xx1）50（x0.4）（x0.5）（X2X0）（X2X1）L2（x）f（x）l（x）f（X1）h（X）f（X2）2（X）500.916291（x0.5）（x0.6）69.3147（x0.4）（x0.6）0.51082650（x0.4）（x0.5）（1/60）,若函数表具有5位有效数字，研L2（0.54）0.615319840.6153203.给全cosx,0ox90o的函数表，步长h1究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。

解：

求解cosx近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cosx的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0,也会有一定的误差。

因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。

当0ox90时,令f（x）cosx取Xo110,h（60r60面而00令xx0ih,i0,1,.,5400则x5400290当xXk,xki时，线性插值多项式为Li（x）f（Xk）xxk1f（xki）xxkxkxk1xk1xk插值余项为R（x）cosxL1（x）12f（）（xxk）（xxk1）又Q在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且cosx0,1，故计算中有误差传播过程。

*15（f（xk）2105R2（x）（f（f*g）（Xk）（XkxXkXk1Xk1Xk1xk1（f*（Xk1）XXk1Xk1XkXXk1Xk1XkRR（x）甩（x）I*2（cos）（xxk）（xXk1）（f（xk）1*（xXk）（Xkix）（f（Xk）2（222108i1.0610-250.50106104.设为互异节点，求证:

nkk

（1）Xjlj（x）x（k0,1L,n）;j0nk

（2）（XjX）lj（x）0（k0,1L,n）;j0证明

（1）令f（x）xkn若插值节点为xj,j0,1,L,n，则函数f（x）的n次插值多项式为Ln（x）x：

lj（x）。

j0插值余项为R,（x）f（x）Ln（x）（n1）（）（n1）!

n1（X）又Qkn,f（n1）（）0Rn（x）0nkkXjlj（x）x（k0,1,L,n）;j0nk（XjX）lj（x）j0nn（Cxj（x）ki）lj（x）j0i0nnikiiCk（X）（Xjlj（x）i0j0又Q0in由上题结论可知原式i（XX）k0Ck（x）kixi0得证。

5设f（x）2Ca,b且f（a）f（b）0,求证:

maxf（x）8（ba）2maxlf（X）.解：

令x0a,Xi以此为插值节点，则线性插值多项式为f（X1）jXX0xL_1（x）f（X0）X0X1f（a）af（b）xa又Qf（a）f（b）J（x）0插值余项为R（x）f（x）J（x）1-f（x）（xXo）（XXi）f（x）12f（x）（xxo）（xXi）又Q（xxo）（xXi）2（x8%8（bXo）X0）2a）2maxaxbf（x）8（b6.在4x截断误差不超过2X）a）2maxf（x）4上给出f（x）ex的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使106，问使用函数表的步长h应取多少?

解：

若插值节点为x1,xi和xi1，则分段二次插值多项式的插值余项为R（x）石f（）（xXi1）（xx）（xXi1）3!

1（xXi1）（X6R2（x）x）（xxjmaxf（x）设步长为h,即xi1xih,Xi1XihR2（X）63y324h3.27若截断误差不超过106,R2（x）106e4h310627h0.0065.7.若yn2n,求4yn及4yn.，解：

根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。

yn2n4yn（E1）4yn4yn4（j04（j04（j01）j1）j1）j（2yn2n1E4jyny4nj24jyn1）4yn1E2）4yn1（E2）4（E1）4yn24Eynyn22“28如果f（x）是m次多项式，记f（x）f（xh）f（x），证明f（x）的k阶差分kf（x）（0km）是mk次多项式，并且m1f（x）0（l为正整数）。

解：

函数f（x）的Taylor展式为f（xh）f（x）f（x）h-f（x）h2L2（m1）!

（m1）m1（）h其中（x,xh）f（x）是次数为m的多项式（m1）（）0f（x）f（xh）f（x）f（x）h1f（x）h2Lf（m）（x）hm2m!

f（x）为m1阶多项式f（x）（f（x）2f（x）为m2阶多项式依此过程递推，得kf（x）是mk次多项式mf（x）是常数当I为正整数时,m1f（x）09证明（fkgk）fkgkgk1fk证明（fkgk）fk1gk1fkgkfk1gk1fkgk1fkgk1fkgkgk1（fk1fk）fk（gk1gk）gk1fkfkgkfkgkgk1fk得证n1n110.证明fkgkfngnf0g0gk1fkk0k0证明：

由上题结论可知fkgk（fkgk）gk1fkfkgkk0n1（fkgk）gk1fk）k0n1n1（fkgk）gk1fkk0k0Q（fkgk）fk1gk1fkgkn1（fkgk）（f1g1fngnfog。

）（f2g2f1f0g0g1）Ln1n1fkk0gkfngnf0g0gk1k0得证。

n111.证明2yjj0yny。

n1n1证明2yj（yj1yj）j0j0（y1y0）yny（y2得证。

12.若f（x）a。

a1XLn1an1Xn证明：

kXj0,0kn2;j1f（Xj）n,kn1k0（fngnfn1gn1）fkydL（yny1）anXn有n个不同实根X1,X2,L,Xn,证明：

Qf（x）有个不同实根x1,X2,L,Xn且f（x）a0a1XLan1xn1anxnf（X）an（xXj（XX2）L（XXn）令n（X）（xXj（xX2）L（XXn）XjXj而n（X）（XX2）（XX3）L（XXn）（XXJ（XX3）L（XX.）L（XXi）（XX2）L（XXni）n（Xj）（XXi）（XjX2）L（XjXji）（XjXji）L（XjXn）令g（x）gXi,X2丄,XnkXjin（Xj）Xi,X2,L,XnnkXjjin（Xj）nknXjjif（Xj）gXi,X2丄,XnankXjjif（Xj）0,0kn2;ino,kni得证。

i3.证明n阶均差有下列性质:

（2）若F（x）f（X）g（X），则FXo,Xi,L,XnfXo,Xi丄，XngXo,Xi,L,Xn.证明:

）QfXi,X2,L,Xnf（Xj）j0（XjX。

）L（XjXji）（XjXji）L（XjXn）FXi,X2,L,XnF（Xj）j0（XjXo）L（XjXji）（XjXji）L（XjXn）cf（xj）j0（XjXo）L（XjXji）（XjXji）L（XjXn）f（Xj）nC（）j0（XjXo）L（XjXji）（XjXji）L（XjXn）CfXo,Xi,L,Xn得证。

（i）若F（x）cf（x），则FXo,Xi,L,XncfXo,Xi丄，Xn;FXo,L,XnF（xj）jo（XjXo）L（XjXjJ（XjXjJL（XjXn）f（xj）g（xj）jo（XjXo）L（XjXjJ（XjXjJL（XjXn）f（xj）jo（XjXo）L（XjXjJ（XjXjJL（XjXn）jo（XjXo）L（Xjg（xj）Xj1）（XjXj1）L（XjXn）得证。

14.f（X）X7解：

Qf（x）若x2i,i则fXo,x,Lfx,xLfXo,L,XngXo,L,XnX4X70,1,L,Xn,XyfXo,x,L,x3x1,求FX43x1,8（n）（）n!

（7）（）7!

7!

20,21,L,27及F20,21,L,28。

17!

Ao8!

15证明两点三次埃尔米特插值余项是（Xk,XkJR3（x）f（）（xXk）2（xXk1）2/4!

解:

若Xxk,xk1，且插值多项式满足条件Ha（Xk）f（Xk）H（Xk）f（Xk）H3（Xki）f（Xk1）,H3（Xk1）f（Xk1）且R（xJR（XkJ022R（x）可写成R（x）g（x）（xXk）（xXki）其中g（x）是关于x的待定函数，现把x看成Xk,Xk1上的一个固定点，作函数22（t）f（t）H3（t）g（x）（tXk）（tXki）根据余项性质，有（Xk）0,（Xki）0（X）f（X）H3（x）g（x）（xXk）（XXki）f（x）H3（x）R（X）022（t）f（t）H3（t）g（x）2（tXk）（tXki）2（tXk1）（tXk）（Xk）0（Xki）0由罗尔定理可知，存在（xk,x）和（x,xk1），使（i）0，

（2）0即（x）在xk,i上有四个互异零点。

根据罗尔定理，（t）在（t）的两个零点间至少有一个零点，故（t）在（xk,xki）内至少有三个互异零点，依此类推，（t）在（xk,xkJ内至少有一个零点。

记为（Xk,Xki）使（4）（）f（4）（）H3（4）（）4!

g（x）0又QH3（t）0f（4）（）g（x）,（Xk,Xki）4!

其中依赖于xR（x）（xx$（xxki）24!

分段三次埃尔米特插值时，若节点为xk（k0,1,L,n），设步长为h，即XkXokh,k0,1,L,n在小区间兀入上R（x）（）（x4!

R（x）Xk）2（xXki）2）（xXk）2（xXki）2（XXk）2（Xk14!

1xXkXk14!

（Tx）2maxf（x）axbv-）22maxf（4）（x）axb16.P（0）丄4!

h4-h4maxf（4）（x）24axbvmaxf（x）384axb）求一个次数不高于4次的多项式P（0）0,P

（1）P

（1）0,P

（2）0P（x）,使它满足解：

利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式X0,X11y。

0,y11m00,mi1（x）1yjj00（X）（12（12x）（x1（X）（12（32x）x20（X）x（xj（x）1）21）2X%XX0）（XX1）2XX1X0X1）2X1X0X1X0mjj（x）j03H3（x）（32x）x（x1）xx2x22设P（x）H3（x）A（xXo）（xX1）其中，A为待定常数QP

（2）1P（x）x32x2Ax2（x1）2a*从而P（x）124X（X3）17.设f（x）1/（1x2），在5x5上取n10，按等距节点求分段线性插值函数lh（x）,计算各节点间中点处的|h（x）与f（x）值，并估计误差。

解：

右右Xo5,X105则步长h1,人xoih,i0,1,L,10f（x）11x2在小区间xi,x1上，分段线性插值函数为lh（x）f（Xi）XiXi1xxiX1Xf（Xi1）（X1X）1x2（xX）11各节点间中点处的lh（X）与f（x）的值为当x4.5时，f（x）0.0471,Ih（x）0.0486当x3.5时，f（x）0.0755,Ih（x）0.0794当x2.5时，f（x）0.1379,h（x）0.1500当x1.5时，f（x）0.3077,Ih（x）0.3500当x0.5时，f（x）0.8000,Ih（x）0.75002Xi14早圭误差maxf（x）XixX.1h2max85x5）又Qf（x）11x2f（x）2xf（x）f（x）6x2223（1x）24x24x3（1x2）4令f（x）0得f（x）的驻点为X1,21和x301f（X1,2）2,f（X3）maxf（x）lh（x）5x518.求f（x）x2在a,b上分段线性插值函数lh（x）,解：

在区间a,b上，x0a,xnb,h.x.1x.,i0,1,Lhmaxh.0in1.2Qf（x）x函数f（x）在小区间x,x.上分段线性插值函数为并估计误差。

n1,lh（x）f（x.）x.x.1xx.x1xf（x.1）122x.（x.1x）x.1（xx.）h.误差为maxxxXi1f（x）lh（x）1max8abf（）ghi2Qf（x）f（x）2X2x,f（x）maxaxbf（x）lh（x）19求f（x）x4在a,b上分段埃尔米特插值，并估计误差。

在a,b区间上,解:

X0a,Xnb,hiXi1Xi,i0,1,L,n1,令hmaxhi0in1Qf（x）x4,f（x）4x函数f（x）在区间xi,xi1上的分段埃尔米特插值函数为lh（x）（X1）2（121Xi1XXiXi1片XX1幷Xi1XXi）2（1（）2（x（JXi）f（x）Xi1）f（X1）4%hx14（r（xh34x3匸（xh4x34（xhxJ2（hxj2（hXi1）2（xG2（X2x2xi）2x2xi1）xjXi1）误差为f（X）Ih（x）f（4）（）（xX）2（xX1）2丄4!

一maxf（4）（）124axb又Qf（x）x444hhmax0in11616f（x）4!

24maxf（x）lh（xaxb20.给定数据表如下:

Xj0.250.300.390.450.53Yj0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值，并满足条件:

（1）S（0.25）1.0000,S（0.53）0.6868;S（0.25）S（0.53）0.hxX00.05h1xX10.09h2X3X20.06h3x4x30.08解:

1hjhjhjhjhjhj914,225,3f（xj47,0f（X）x,X1X1X0X1,X20.8533X2,X30.771712314