专题04 利用导数证明函数不等式一高考数学尖子生辅导专题.docx

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专题专题04利用导数证明函数不等式一高考数学尖子生辅导利用导数证明函数不等式一高考数学尖子生辅导专题专题专题四利用导数证明函数不等式

（一）函数不等式的证明由于其形式多变，方法灵活，成为了近几年高考的一个热点与难点，它一般出现在压轴题的位置，解决起来比较困难利用导数作为工具进行证明是证明函数不等式的一种常见方法，本专题总结了利用导数证明一个未知数的函数不等式的常见方法，希望同学们看后有所收获，提升利用导数证明函数不等式的能力模块模块1整理方法整理方法提升能力提升能力对于一个未知数的函数不等式问题，其关键在于将所给的不等式进行对于一个未知数的函数不等式问题，其关键在于将所给的不等式进行“改造改造”，得，得到一平到一平一曲、两曲两种模式中的一种一曲、两曲两种模式中的一种当出现一平一曲时，只需运用导数求出“曲”的最值，将其与“平”进行比较即可当出现两曲时，如果两个函数的凸性相同，则可以考虑通过曲线进行隔离由于隔离曲线的寻找难度较大，所以我们一般希望两个函数的凸性相反当两个函数的凸性相反时，则可以寻找直线（常选择公切线或切线）实现隔离放缩，当然最理想的直线状态是该直线与x轴平行或重合当改造的过程中出现一斜一曲时，一般要将其继续改造，要么将其化归到一边，转化为一平一曲，要么将其转化为两曲常用不等式的生成在不等式“改造”或证明的过程中，可借助题目的已知结论、均值不等式、函数单调性、与ex、lnx有关的常用不等式等方法进行适当的放缩，再进行证明下面着重谈谈与ex、lnx有关的常用不等式的生成生成一：

利用曲线的切线进行放缩生成一：

利用曲线的切线进行放缩设y=ex上任一点P的横坐标为m，则过该点的切线方程为y-em=em（x-m），即y=em（x+1）-mem，由此可得与ex有关的不等式：

exem（x+1）-mem，其中xR，mR，等号当且仅当x=m时成立特别地，当m=0时，有ex1+x；当m=1时，有exex设y=lnx上任一点Q的横坐标为n，则过该点的切线方程为y-lnn=1（x-n），即ny=1x-1+lnn，由此可得与lnx有关的不等式：

lnx1x-1+lnn，其中x0，n0，等nn号当且仅当x=n时成立特别地，当n=1时，有lnxx-1；当n=e时，有lnx1xe利用切线进行放缩，能实现以直代曲，化超越函数为一次函数生成二：

利用曲线的相切曲线进行放缩x-112（x-1）由图1可得lnx；由图2可得lnx-；由图3可得，lnx（0x1），xexx+1lnx2（x-1）（x1）；由图4可得，lnx1x-1（00）；x

（2）-1exlnx1x（x0）；e2（x-1）2（x-1）（3）lnxx+1（0x1），lnxx+1（x1）；（4）lnx1x-1（01elnx+1x由于f（x）混合了指数函数、对数函数和幂函数，比较复杂，所以可以考虑将指数函数、对数函数进行分离，改造为lnx+2ex1ex令g（x）=lnx+2，则g（x）=1-2=ex-2，exxex2ex2由g（x）0可得x2，由g（x）0可得0x0可得x1，由k（x）0可得0x0可得x1，由s（x）0可得0x1exx2ex-1法2：

（寻找公切线隔离）由

（1）知，f（x）=elnx+，于是xx2ex-12xf（x）1elnx+1，将不等式改造为xlnx+xxee令m（x）=xlnx+2，则m（x）=1+lnx由m（x）0可得x1，由m（x）0可得ee0x1，所以m（x）在0,1上递减，在1,+eeeee上递增，所以m（x）=m1=1令n（x）=x，minex则n（x）=1-x由n（x）1，由n（x）0ex可得0xxeex例2【解析】

（1）f（x）=-ax2+（2a-1）x+2ex，因为（0,-1）在曲线y=f（x）上，且f（0）=2，所以切线方程为y-（-1）=2（x-0），即2x-y-1=0ax2+x-12x+1【证明】

（2）法1：

f（x）+e0+e0axex+x-1+e0当a1时，ax2+x-1+ex+1x2+x-1+ex+1，令g（x）=x2+x-1+ex+1，则g（x）=2x+1+ex+1，g（x）=2+ex+10，于是g（x）在R上递增又因为g（-1）=0，由g（x）0可得x0可得x-1，所以g（x）在（-,-1）上递减，在（-1,+）上递增，所以g（x）g（-1）=0法2：

f（x）+e0ax2+x-1ex+e0ax2+x-1+ex+10当a1时，ax2+x-1+ex+1x2+x-1+ex+1，由常见不等式ex1+x（xR），可得ex+12+x，所以x2+x-1+ex+1x2+x-1+（2+x）=（x+1）205原创精品资源学科网独家享有版权，XX！

法3：

令F（x）=f（x）+e=ax2+x-1ex+e，则F（x）=-ax2+（2a-1）x+2ex-（x-2）（ax+1），由F（x）0可得-1x2，由F（x）0可得x2，所以F（x）exaa在-,-1上递减，在-1,2上递增，在（2,+）上递减aa11F（x）的极小值为F-=-ea+e0x+ex+ex+e法4：

f（x）+e0ax2+x-1ex+e0ax2+x-1+ex+10令G（x）=ax2+x-1+ex+1，则G（x）=2ax-1+ex+1，G（x）=2a+ex+10，所以G（x）在R上递增，又因为G（0）=0，由G（x）0可得x0可得x0，所以G（x）在（-,0）上递减，在（0,+）上递增，所以G（x）G（0）=0法5：

f（x）+e0ax2+x-1ex+e0ax2+x-1+ex+10当x=0时，不等式成立，当x0时，ax2+x-1+ex+10a-ex+1-x+1x2=k（x）k（x）=（-ex+1-1）x2-2x（-ex+1-x+1）4-xex+1+x+2ex+1-23-（x-2）（ex+1-1）3，由xxxk（x）0可得x-1或0x2，由k（x）0可得-1x2，所以k（x）在（-,-1）上递增，在（-1,0）上递减，在（0,2）上递增，在（2,+）上递减e3+1因为k（-1）=1，k

（2）=-4f（x）+e0，所以k（x）max=1，而a1，所以ak（x），即法6：

f（x）+e0ax2+x-1ex+e0ax2+x-1-ex+1令m（x）=ax2+x-1，则m（x）是以x=-12a为对称轴，开口方向向上的抛物线令n（x）=-ex+1，则n（x）递减由于两个函数的凸性相反，因此我们可以通过寻找两个曲线的公切线将两个函数进行隔离，但由于公切线不容有版权，XX！

6原创精品资源学科网独家享易寻找，又因为两个函数处于相离的状态，因此我们可以选择在n（x）=-ex+1上找切线，通过该切线将两个函数隔离，从而实现证明由常见不等式exx+1可得ex+1x+2，容易想到隔离切线y=-x-2，下面进行证明ax2+x-1-x-2ax2+2x+10（a-1）x2+（x+1）20，而-x-2-ex+1，命题获证例3【解析】

（1）f（x）的定义域为（0,+）法1：

（分离参数法）当x=1时，有f

（1）=0，成立当x1时，x-1-alnx0ax-1，令h（x）=x-1，则h（x）=lnx-1+1x，令lnxlnxln2xk（x）=lnx-1+1，则k（x）=x-10，所以k（x）在（1,+）上递增，于是k（x）k

（1）=0，xx2所以h（x）0，所以h（x）在（1,+）上递增由洛必达法则可得limx-1=lim1=1，所以a1x1+lnxx1+1x当0x0时，由f（x）0可得xa，由f（x）0可得0x0可得xa，由f（x）0可得0xa，所以f（x）在（0,a）上递减，在（a,+）上递增，而f

（1）=0，所以a=1

（2）当a=1时f（x）=x-1-lnx0，即lnxx-1，则有ln（x+1）x，当且仅当x=0时等号成立，所以ln1+12k1，kN*，于是2kln1+1+2ln1+122+ln1+12n1+1+L+1=1-11，所以1+11+1L1+12，于是m的最小值为32222324864模块2练习巩固整合提升练习1：

已知函数f（x）=alnx+b，曲线y=f（x）在点（1,f

（1）处的切线方程为x+1xx+2y-3=0

（1）求a、b的值；

（2）证明：

当x0，且x1时，f（x）lnxx-1ax+1-lnxxb1【解析】

（1）f（x）=f

（1）=1-（x+1）2x2b=1由于直线x+2y-3=0的斜率为-，且过2点（1,1），所以f

（1）=-a-b=-1，解得a=1，b=1222【证明】

（2）由

（1）知f（x）=lnx+1，所以f（x）lnxlnx+1lnxx+1xx-1x+1xx-12lnx+10Hx=2-1x-10hx111-x2x（）1-x2lnx2x构造函数（）=lnx-2x-x111（x-1）2（x0），则h（x）=x-21+x2=-2x20，于是h（x）在（0,+）上递减当0xh

（1）=0，于是H（x）=11-x2h（x）0；当x1时，h（x）递减，所以h（x）0综上所述，当x0，且x1时，f（x）lnxx-1练习2：

已知函数f（x）=（ax+1）lnx-1ax2-bx+b（a、bR）2ex

（1）若a=b=1，求函数F（x）=f（x）-axlnx-b2ex的单调区间；

（2）若a=1，b=-1，求证：

f（x）+1ax2+bxlnx-1-2e-22【解析】

（1）当a=b=1，F（x）=lnx-1x2-1x，F（x）=1-1x-1=-（x+2）（x-1）242x222x由F（x）0可得0x1，由F（x）1，所以F（x）的递增区间为（0,1），递减区间为（1,+）【证明】

（2）若a=1，b=-1，f（x）+1ax2+bxlnx-1-2e-2xlnx-12ex-1-2令e21111ex-xxG（x）=xlnx-，则G（x）=lnx+1+eex，G（x）=-xexxex设h（x）=e-x，则h（x）=ex-10，所以h（x）在（0,+）上递增，所以h（x）h（0）=1，所以G（x）0，所以1-11-1G（x）在（0,+）上递增又因为G=ee0，G=ee2-10，所以G（x）恰有一ee2个零点x1,1，即G（x）=lnx+1+1=0，且当0xx时，G（x）x时，0e2e00ex000G（x）0，所以G（x）在（0,x0）上递减，在（x0,+）上递增，所以G（x）G（x）=xlnx-1=xlnx+lnx+1000ex0000设（x）=xlnx+lnx+1，x1,1，则（x）=1+lnx+11-1+e0，所以（x）在e2ex1,1上递增，所以（x）1=1ln1+ln1+1=-2-1命题获证e2e0e2e2e2e2e2练习3：

已知函数f（x）=ex+exlnx

（1）求曲线y=f（x）在（1,f

（1）处的切线方程；

（2）求证：

f（x）ex2【解析】

（1）f（x）=ex+e（1+lnx），所以f

（1）=2e，又f

（1）=e，所以y=f（x）在（1,f

（1）处的切线方程为y-e=2e（x-1），即y=2ex-e【证明】

（2）法1：

f（x）ex2ex+exlnxex2ex-1+xlnx-x20，构造函数g（x）=ex-1+xlnx-x2，则g（x）=ex-1+1+lnx-2x，g（x）=ex-1+1-2，xg（x）=ex-1-1x2因为g（x）在（0,+）上递增，且g

（1）=0，所以当0x1时，g（x）1时，g（x）0，所以g（x）在（0,1）上递减，在（1,+）上递增，所以g（x）g

（1）=0，于是g（x）在（0,+）上递增，又因为g

（1）=0，所以当0x1时，g（x）1时，g（x）0，g（x）递增，所以g（x）g

（1）=0，命题获证2x2ex-1ex-1法2：

f（x）exe+exlnxex+lnx-x0，构造函数G（x）=+lnx-x，ex-1（x-1）1xex-1（x-1）+x-x2x（x-1）（ex-1-x）则G（x）=+-1=令H（x）=ex-1-x，则x2xx2x2H（x）=ex-1-1，由H（x）0可得x1，由H（x）0可得0x1，于是H（x）在（0,1）上递减，在（1,+）上递增，于是H（x）H

（1）=0于是当0x1时，G（x）1时，G（x）0，所以G（x）在（0,1）上递减，在（1,+）上递增，于是G（x）G

（1）=0，命题获证练习4：

设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf（x），x0，其中f（x）是f（x）的导函数

（1）若f（x）ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；

（2）设nN*，比较g

（1）+g

（2）+L+g（n）与n-f（n）的大小，并加以证明【解析】

（1）f（x）=11+x，所以g（x）=x1+x法1：

（分离参数法）当x=0时，f（x）ag（x）恒成立f（x）（1+x）ln（1+x）当x0时，f（x）ag（x）在（0,+）上恒成立a=F（x）在g（x）x（0,+）上恒成立F（x）=x-ln（1+x），令G（x）=x-ln（1+x），则G（x）=x0，所以x21+xG（x）在（0,+）上递增，于是G（x）G（0）=0，即F（x）0，所以F（x）在（0,+）上递增由洛必达法则，可得limx0+（1+x）ln（1+x）x=limx0+1+ln（1+x）1=1，所以a1，于是实数a的取值范围为（-,1法2：

（不猜想直接用最值法）令h（x）=f（x）-ag（x）=ln（1+x）-h（x）=1-a（1+x）-ax=x-a+1，令h（x）=0，得x=a-1ax，则1+x1+x（1+x）2（1+x）2当a-10，即a1时，h（x）0在0,+）上恒成立，所以h（x）在0,+）上递增，所以h（x）h（0）=0，所以当a1时，h（x）0在0,+）上恒成立当a-10，即a1时，h（x）在（0,a-1）上递减，在（a-1,+）上递增，所以当x=a-1时h（x）取到最小值，于是h（x）h（a-1）=lna-a+1设（a）=lna-a+1，a1，则（a）=1-10，所以函数（a）在（1,+）上递减，所以（a）

（1）=0，即h（a-1）n-f（n）证明如下上述不等式等价于ln（n+1）1+1+L23+1n+1为证明该式子，我们首先证明lni+11ii+1法1：

在

（1）中取a=1，可得ln（1+x）x1i+11，令x=，可得ln令i=1,2,n2131n+111+xiii+1111可得ln证，ln12，ln23nn+1，相加可得ln（n+1）+L23+n+1，命题获法2：

令t=1，则lni+11ln（1+t）t，构造函数F（t）=ln（1+t）-t，iii+11+t1+t0t0，于是F（t）在（0,1）上递增，所以F（t）F（0）=0，于是lni+11下同法1ii+1练习5：

已知函数f（x）=（x-a）lnx+1x（其中aR）2

（1）若曲线y=f（x）在点（x0,f（x0）处的切线方程为y=1x，求a的值；2

（2）若12ea0y=1x0【解析】

（1）f（x）=lnx-a+3，依题意，有y2=（x0-a）lnx+1xx0=1，解得或x200020a=1lnx-a+3=1x0=aa=1，所以a=1x022

（2）法1：

令g（x）=f（x），则g（x）=1+a，因为1a0，即xx22eg（x）在（0,+）上递增因为ga=lna-a+3=lna-1ln1+1=0，所以g（x）在a,a上有唯一零点x当a222e2200xx0时，g（x）x0时，g（x）0，所以f（x）在（0,x0）上递减，在（x0,+）上递增，所以当x=x时，f（x）取到最小值f（x）=（x-a）lnx+1x因为000020a3a3a31g（x0）=lnx0-+=0，所以lnx0=-，所以f（x0）=（x0-a）-+x0=x02x02x022-a205a=-122x0（2x2-5ax+2a2）=-12x0（2x-a）（x-2a），因为xa,a，所以f（x0）0，所以当12ea0法2：

当x=a时，f（a）=a02当xa时，f（x）=（x-a）lnx+1x0（x-a）lnx+x0令22（x-a）x1a2x2-5ax+2a2=（2x-a）（x-2a）F（x）=lnx+2（x-a），则F（x）=-x2（x-a）2=2x（x-a）2，由2x（x-a）2F（x）0可得0x2a，由F（x）0可得axa或ax2a，所以F（x）在220,a上递增，在a,a上递减，在（a,2a）上递减，在（2a,+）上递增22a因为Fa=lna+2=lna-1ln1+1=0，所以当0xa时，F（x）0，当xa时，F（x）0，所以f（x）=（x-a）F（x）0