运筹学 第6章 决策分析.docx
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运筹学第6章决策分析
第六章决策分析
决策就是人们在从事各种活动过程中所采取的决定或者选择。
经济生活中，一项成功的决策可以带来巨大的财富，一项错误的决策会造成巨大的损失。
许多决策问题受到不确定性因素的影响，因而需要进行科学的分析，以利于作出正确的决策。
决策分析就是分析在各种条件下不同的决策行动的合理性以及在多种可能方案中选择最佳方案的过程。
决策问题通常分为：
确定性决策、风险性决策和不确定性决策。
所谓确定性决策就是在决策环境完全确定的情况下进行的决策，因而所作的决策应是合理的。
如线性规划问题、需求确定的库存问题等。
而风险决策和不确定性决策是在决策环境不完全确定的情况下进行的决策，其中，风险决策对于其面临的自然状态发生的概率，决策者可以预先计算或估计出来；而不确定性决策对于其所面临的自然状态发生的概率，决策者完全不知，只能靠决策者的主观倾向进行决策。
第一节决策分析问题及其一般性描述
一、决策分析问题举例
例6.1某食品店牛奶的月需求量为25至28箱，每箱牛奶的进价为16元，售价为22元。
若牛奶当月为售完，则因过期而每箱损失16元。
试制定食品店每月牛奶的订购箱数。
该问题的基本分析可用如下两个表格来描述。
（1）收益（利润）
此处的收益表示利润。
食品店在各种决策（订货25～28箱）下的收益如下表。
表6—1不同决策下的收益表单位：
元
需求
订货
25箱
26箱
27箱
28箱
25箱
150
150
150
150
26箱
134
156
156
156
27箱
118
140
162
162
28箱
102
124
146
168
（2）损失
食品店的损失分两种情况。
第一种情况是订货大于需求时，牛奶因过期而损失，损失价值为损失的箱数乘以每箱进价；第二种情况是当需求大于订货量时，因失去获取利润机会的机会损失，其损失值为需求超过订货的箱数乘以每箱利润。
食品店在各种决策下的损失如下表。
表6—2不同决策下的损失表单位：
元
需求
订货
25箱
26箱
27箱
28箱
25箱
0
6
12
18
26箱
16
0
6
12
27箱
32
16
0
6
28箱
48
32
16
0
有了上述表格，就有了关于决策问题的描述。
在此基础上，决策者可以根据某种准则来作出自己满意的决策。
值得注意的是，上述两个表格是从不同的角度来描述同一个决策问题。
如果是用收益描述决策问题，决策的准则就是收益最大；相反如果是用损失描述决策问题，则决策达到准则为损失最小。
例6.2某公司需要对某种新产品的批量作出决策。
市场对该种产品的需求有三种可能，即需求量大、需求一般和需求量小。
现有三种决策方案，即大批量生产、中批量生产和小批量生产。
经估算，各行动方案在各种需求的情况下的收益值情况如下表，问哪种行动方案为最好？
表6—3收益表单位：
万元
自然状态
损益值
需求量大
S1
需求量一般
S2
需求量小
S3
行动方案
大批量生产A1
36
14
-8
中批量生产A2
20
16
0
小批量生产A3
14
10
3
二、决策问题的一般性描述
（一）决策问题的基本要素
从以上两个例子可以总结出，决策问题一般包括三个基本要素：
行动方案、自然状态和损益函数。
首先，任何决策问题都必须具有两个或两个以上的行动方案。
显然，只有一个方案就无须决策。
行动方案也称方案或决策，通常用Ai（i=1，…，m）表示某一具体的可行方案，用A=｛A1，A2，…，Am｝表示方案集。
其次，任何决策问题，无论采取何种方案，都面临着一种或几种自然状态。
自然状态简称状态，也称事件。
决策问题中的自然状态是不可控制因素，因而是随机事件。
通常用Si（j=1，…，n）表示某一具体的状态，用S=｛S1，S2，…，Sn｝表示状态集。
决策问题中，某一确定的时间条件下，各种可能的自然状态只可能出现其中的一种，由概率论的知识可知，各Sj是互斥事件，而所有的Sj构成的集合S是一个必然事件。
第三，在某一具体的状态下，作出某一具体的行动方案（决策），必然会生产相应的效果，这种效果通常用损益函数来描述。
设在状态Sj下，作出决策为Ai，则其产生的效果可用函数rij=R（Ai，Sj）来表示。
根据决策者的目标，损益函数可以描述收益，也可以描述损失，其取值就是损益值。
损益值可以用货币的形式表示，也可以用时间、产量等来描述，在考虑决策者主观因素的情况下，还可以用“效用值”来描述。
（二）决策问题的基本条件
一个决策问题必须具备以下基本条件：
（1）决策者有一个明确的预期达到的目标，如收益最大或损失最小；
（2）存在着两个或两个以上的可供选择的行动方案；
（3）各行动方案所面临的可能的自然状态完全可知；
（4）各行动方案在不同的状态下的损益值可以计算或能够定量地估计出来。
决策问题可以用损益矩阵或损益值表来描述，即决策问题的模型。
（1）损益矩阵：
R=（rij）m×ni=1，2，…，m；j=1，2，…，n
（2）损益值表：
表6—4损益表
自然状态
损益值
S1
S2
…
Sn
行动方案
A1
r11
r12
…
r1n
A2
r21
r22
…
r2n
┆
┆
┆
┆
Am
rm1
rm2
…
rmn
上述是决策问题的一般性描述，决策者要作出满意的决策必须分析问题的类型并确定正确的决策方法，这些是下面所要讲述的内容。
第二节不确定性决策
前已述及，不确定性决策是在决策者已知决策可能面临的自然状态，但各状态出现的概率完全不知的情况下的决策。
当然，既然是决策问题，必满足第一节中的基本条件。
由于缺乏自然状态的进一步信息，决策者只能根据自己的主观判断，采用某一准则进行决策。
以下是不确定性决策的几个准则，决策者可以根据具体情况，选用最为合适的准则进行决策。
除特别说明外，以下所说损益值均为收益。
若损益值为损失，则各决策准则需要作相应地调整。
一、悲观准则（Walddecisioncriterion）
决策者总是从最不利的角度去考虑问题。
认为，不论作出什么决策，总会出现最不利的状态与之对应。
这样，决策者只能对各决策方案的最小损益值进行比较，从中选择最大者对应的方案为满意方案。
因此，该准则也称最大最小准则。
这是一种万无一失的保守型决策者的选择准则。
其数学描述如下：
则r*所对应的方案为所选方案。
二、乐观准则
与悲观准则相反，在该准则下，决策者总是从最有利的角度去考虑问题，即认为，无论采取何种决策，总会出现最有利的自然状态与之对应。
这样，决策者可以对各决策方案的最大损益值进行比较，从种选择最大值，相应的方案为最优方案。
其数学描述如下：
则r*所对应的方案为所选方案。
这种决策方法是一种偏于冒险的决策方法，在客观条件一无所知的情况下，一般不宜采用这种方法进行决策。
三、乐观系数准则（Hurwiczdecisioncriterion）
这是一种折中的准则，即决策者对客观条件的估计既不乐观也不悲观，主张一种平衡。
通常用一个表示乐观程度的系数来进行这种平衡。
其数学描述如下：
则r*所对应的方案为所选方案。
其中，α为乐观系数（0≤α≤1），当α=1时，就是乐观准则，当α=0时，就是悲观准则。
di为第i方案的折中损益值。
四、后悔值准则（Savagedecisioncriterion）
该准则认为，决策者制定决策之后，如果实际情况没有达到理想的结果，决策者必后悔。
该准则将各自然状态下的最大损益值确定为理想目标，将该状态下的各方案的损益值与理想值的差值称为相应方案的后悔值（或称为机会损失值），然后在各方案的最大后悔值中选择一个最小的，相应的方案为最优方案。
因此，该原则也称为最小后悔值准则。
其数学描述如下：
则h*所对应的方案为所选方案。
式中，hij为在状态Sj下采取方案Ai的后悔值；h*为最小最大后悔值。
五、等可能准则（Laplacedecisioncriterion）
等可能准则的思想是：
认为各自然状态发生的可能性均相同，即若有n个自然状态，则每个自然状态出现的概率均为1/n。
这样，就可以求各方案损益值的期望值，取期望值最大所对应的方案为最优方案。
其数学描述如下：
则r*所对应的方案为所选方案。
若有几个方案的期望损益值均为最大，则需要另用悲观准则在这几个方案中选择。
式中，ER（Ai）为方案Ai的期望损益值。
例6.3用上述准则对例6.2进行分析决策。
（一）悲观法
在各行中找出损益值最小的值，列于表6—5中第五列，然后在该列中找出最大值，对应方案为所选方案。
表6—5悲观法与乐观法决策表单位：
万元
自然状态
损益值
需求量大
S1
需求一般
S2
需求量小
S3
悲观法
乐观法
行动方案
大批量生产A1
36
14
-8
-8
36
中批量生产A2
20
16
0
0
20
小批量生产A3
14
10
3
3
14
故应选择方案A3。
（二）乐观法
在各行中找出损益值最大的值，列于上表中第六列，然后在该列中找出最大值，对应方案为所选方案。
故应选择方案A1。
（三）乐观系数法
选乐观系数为α=0.6，则有：
=18.4
d2=0.6×20+0.4×0=12
d3=0.6×14+0.4×3=9.6
故选方案A1。
（四）后悔值法
首先按公式
（i=1，…，m；j=1，…，n）计算后悔值，结果如下表：
表6—6后悔值决策表
自然状态
后悔值
需求量大
S1
需求一般
S2
需求量小
S3
行动方案
大批量生产A1
0
2
11
11
中批量生产A2
16
0
3
16
小批量生产A3
22
6
0
22
根据表中数据有：
=11，因此，按此方法应选方案A1。
（五）等可能准则
因为自然状态只有三个，按各自然状态出现的概率均为1/3来计算各方案的期望损益值，有
故应选方案A1。
综上所述，对于非确定性决策问题，采用不同的决策方法所得结果可能会不同，而且也难以判断各方法的优劣。
之所以这样，是因为这些方法之间没有一个统一的评判标准。
因此，实际应用中选择何种方法，取决于决策者对自然状态所持的主观态度。
若态度悲观，则选用悲观法；若重视机会，则采用后悔值法；若认为各状态出现的机会相等，则可采用等可能准则。
第三节风险分析
为了提高决策的客观性，决策者通常需要对决策所面临的自然状态所出现的概率进行统计分析。
此时，决策者虽然知道自然状态出现的概率，但仍然不知道哪种自然状态肯定会出现，因此决策仍然具有一定的风险。
所以这种条件下的决策称为风险决策。
本章例6.1中，为了获得每月牛奶不同需求量的概率，食品对过去20个月的牛奶需求进行了统计，结果如下表。
表6—7各种需求量的概率统计分析表
每月需求量（箱数）
各种需求出现次数的统计
各种需求出现的概率
25
2次
0.1
26
6次
0.3
27
10次
0.5
28
2次
0.1
Σ
20次
1.0
这样，就得到如下表所示的决策信息（风险决策表）。
表6—8
状态
损益值
25箱（S1）
26箱（S2）
27箱（S3）
28箱（S4）
方案
P（S1）=0.1
P（S2）=0.3
P（S3）=0.5
P（S4）=0.1
25箱（A1）
150
150
150
150
26箱（A2）
134
156
156
156
27箱（A3）
118
140
162
162
28箱（A4）
102
124
146
168
一、最大可能准则
由概率论的知识可知，一个事件的概率越大，则该事件发生的概率就越大。
最大可能准则就是在风险决策的情况下，选择一个概率最大的自然状态进行决策，而不考虑其它自然状态，这样，就将风险决策问题变成了一个确定性的决策。
该准则的数学描述如下：
则r*所对应的方案为所选方案。
例6.4用最大可能准则对表6—8所表述的问题进行决策。
=0.5
故应选方案A3。
显然，此方法简单易行，且应用较广。
但要注意的是，该方法适用于有一个自然状态的概率明显大于其它状态的概率，且收益矩阵中的元素相差不大的情况。
当各自然状态的概率相差不大时，不宜使用该方法。
二、期望值准则
（一）最大期望收益准则
最大期望收益准则就是先计算各方案的期望收益值，然后加以比较，期望收益最大值所对应的方案为最优方案。
其数学描述为
则方案Ak为最优方案。
例6.5用最大期望收益准则对表6—8所表述的问题进行决策。
解：
各方案的期望收益值计算如下
ER（A1）=0.1×150+0.3×150+0.5×150+0.1×150=150.0（元）
ER（A2）=0.1×134+0.3×156+0.5×156+0.1×156=153.8（元）
ER（A3）=0.1×118+0.3×140+0.5×162+0.1×162=151.0（元）
ER（A4）=0.1×102+0.3×124+0.5×146+0.1×168=137.2（元）
（元）
故方案A2为最优方案。
（二）期望损失准则
最小期望损失准则就是先计算各方案的期望损失值，然后加以比较，期望损失最小值所对应的方案为最优方案。
其数学描述为
则方案Ak为最优方案。
式中hij为在状态为Sj下作出决策为Ai的机会损失。
例6.6用最小期望损失准则例6.1所描述的决策问题进行决策。
由于有了各状态的出现概率，对照表6—2有如下决策表。
表6—9期望损失决策信息
状态
损失值
25箱（S1）
26箱（S2）
27箱（S3）
28箱（S4）
方案
P（S1）=0.1
P（S2）=0.3
P（S3）=0.5
P（S4）=0.1
25箱（A1）
0
6
12
18
26箱（A2）
16
0
6
12
27箱（A3）
32
16
0
6
28箱（A4）
48
32
16
0
解：
各方案的期望收益值计算如下
EL（A1）=0.1×0+0.3×6+0.5×12+0.1×18=9.6（元）
EL（A2）=0.1×16+0.3×0+0.5×6+0.1×12=5.8（元）
EL（A3）=0.1×32+0.3×16+0.5×0+0.1×6=8.6（元）
EL（A4）=0.1×48+0.3×32+0.5×16+0.1×0=22.4（元）
（元）
故方案A2为最优方案，与最大期望收益准则所得结论相同。
可以证明，对于同一问题，用最大期望准则和最小期望损失准则进行决策，其结果是完全相同的。
具体如下
由于
对于某一具体的问题，
为常数，因此，当ER（Ai）为最大时，EL（Ai）必为最小。
三、决策树法
决策树法就是用一种树状的网络图形（即决策树）进行决策分析，其决策准则是期望值准则，这就是决策树法。
决策树法不仅直观形象、思路清晰，而且能很好地解决较为复杂的风险决策问题，例如多级决策问题。
（一）决策树法步骤
为了说明决策树法的决策过程，我们用决策树法对例6.2所提出的问题进行决策。
决策收益及各状态的概率如表6—10
表6—10单位：
万元
自然状态
收益值
需求量大S1
需求量一般S2
需求量小S3
ER（Ai）
行动方案
P（S1）=0.3
P（S2）=0.5
P（S3）=0.2
大批量生产A1
36
14
-8
16.2
中批量生产A2
20
16
0
14
小批量生产A3
14
10
3
9.8
该问题的决策树如下图所示。
图中符号意义如下：
□——表示决策点。
从该点引出方案分支，每一个分支表示一个行动方案，分支上注明方案名（如大批量生产）或代号（如A1）。
○——每个方案分支的端点都对应一个“○”，称为方案节点。
节点上方的数字表示该方案的期望收益值。
从各方案节点引出的分支称为状态分支（也称概率分支），每一个分支代表一个状态，分支上注明状态名（如需求量大）或代号（如S1）及其出现的概率（写在括号内）。
△——表示结果点（或称为树梢），其旁边的数字表示各方案在相应状态下的损益值（收益或机会损失）。
利用决策树进行决策的具体步骤如下：
（1）画出决策树。
按从左到右的顺序画决策树，画决策树的过程本身就是对决策问题的再分析过程。
（2）按从右到左的顺序计算各方案的期望值，并将结果写在相应方案节点的上方。
（3）选择期望收益最大（或期望损失最小）的方案作为最优方案，并将其对应的期望值写在决策点上。
图1所描述的是一个单级决策问题。
有些决策问题包括两级以上的决策，即所谓的多级决策（也称序贯决策）问题。
这类决策问题用决策树法可以费用有效地加以解决。
（二）决策树法举例
例6.7某企业需要在是否引进新产品之间进行决策，即开始时有引进新产品和不引进新产品两种方案。
若引进新产品，又面临其它企业的竞争。
估计有其他企业参与竞争的概率为0.8，没有企业参与竞争的概率为0.2。
在无竞争的情况下，企业有给产品确定高价、中价和低价三种方案，其相应的收益分别为500、300和100万元。
在有竞争情况下，企业也有给产品确定高价、中价和低价三种方案，但此时各方案的收益大小要受到竞争企业的产品定价的影响，有关数据如表6—11。
表6—11
竞争企业定价方案
高价
中价
低价
本企业
定价方
案
高价
概率
收益（万元）
0.3
150
0.5
0
0.2
-200
中价
概率
收益（万元）
0.1
250
0.6
100
0.3
-50
低价
概率
收益（万元）
0.1
100
0.2
50
0.7
-100
试用决策树法进行决策。
解：
首先画出决策树如图2
决策计算从右向左进行，具体如下：
节点5：
0.3×150+0.5×0+0.2×（－200）=5（万元）
节点6：
0.1×250+0.6×100+0.3×（－50）=70（万元）
节点7：
0.1×100+0.2×50+0.7×（－100）=－50（万元）
节点3（二级决策点）：
max{5，70，－50}=70（万元）。
即在有竞争的情况下，本企业给产品制定中价为最优方案，期望收益为70万元。
节点4（二级决策点）：
max{500，300，100}=500（万元）。
即在无竞争的情况下，本企业给产品制定高价为最优方案，收益为500万元。
节点2：
0.8×70+0.2×500=156（万元）
节点1（一级决策点）：
max{156，0}=156（万元），即企业应采取引进新产品的方案，该方案相应的期望收益为156万元。
从上述讨论可以看出，决策树方法可以通过一个简单的决策过程，使决策者可以有顺序、有步骤地周密考虑各有关因素，从而进行决策。
对于较复杂的多级决策问题，可以画出树形图，以便集体讨论、集体决策。
第四节信息的价值与贝叶斯决策
一、全信息的价值
所谓全信息就是关于自然状态的准确信息。
当决策者获得了全信息，决策者就能正确地作出决策。
例如，在表6—10所描述的决策中，当决策者已知会出现状态S1（需求量大）时，就是作出大批量生产的决策方案（A1），当决策者准确知道将出现需求量一般时，就会作出中批量生产的决策，当决策者准确知道将出现需求量小时，就会作出小批量生产的决策。
若决策者掌握了全信息，就会给决策者带来额外的收益，这个额外的收益就是全信息的价值。
全信息的价值来源于决策者总能作出正确的决策，从不会后悔。
在这种情况下，决策者的期望收益称为全信息期望收益，其数学描述为
式中，rj*为在状态Sj下作出正确决策的收益值。
EPPI就是全信息期望收益。
在决策者未获得全信息的情况下，决策只能根据期望收益最大准则来选择方案。
若所选方案的期望收益为ER*，则全信息的价值为
EPVI=EPPI－ER*
例6.8对于表6—10所描述的决策问题，计算其全信息的价值。
r1*=36；r2*=16；r3*=3
EPPI=0.3×36+0.5×16+0.2×3=19.4（万元）
在未获得信息的情况下，只能作出方案A1的决策，其期望收益为
ER*=max{16.2，14，9.8}=16.2=ER（A1）
这样EPVI=EPPI－ER*=19.4－16.2=3.2（万元）
这3.2万元就是本问题完全信息的价值，它一方面说明完全信息能给决策者带来更大的收益，另一方面说明决策在现有情况下，无论怎样去补充信息，最大能增加3.2万元的收益。
而这3.2万元正好是最小期望损失准则下的最小期望损失值，读者可以根据表6—6中数据进行验证。
既然信息可以给决策者带来额外的收益，决策者当然想尽可能的获取全面的信息。
然而获取信息往往要付出代价，若获取完全信息的代价小于全信息价值，决策者就应投资获取全信息，反之，决策者就不应投资获取全信息。
对于随机事件，要知道其全部信息，需要知道该事件的总体。
而这往往是不可能的，因此全信息实际上是不存在的。
一般说来，研究或购买只能得到部分信息，然而这一部分信息也是有价值的。
在具有部分信息的情况下应如何决策，这就是下面要说的贝叶斯决策。
二、贝叶斯决策
在实际决策中人们为了获取信息，往往采取各种“试验”手段（抽样调查、抽样检验、购买信息、专家咨询等），但这样获取的信息不能准确预测未来将出现的状态，因此称这种信息为不完全信息或样本信息。
一般来说，样本信息也可以给决策者带来额外收益，该额外收益就是样本信息的价值。
对于风险决策问题，根据以往的经验或统计资料可以估计出各自然状态出现的概率，如表6—10中各自然状态的概率。
这种由过去经验或专家估计所获得的各自然状态的概率称为先验概率。
如果决策者通过“试验”等手段，获得了自然状态出现概率的新信息作为补充信息，用它来修正原来的先验概率估计，得到修正后的各状态的概率，这种概率称之为后验概率。
后验概率通常要比先验概率准确可靠，可作为决策者进行决策分析的依据。
由于这种概率的修正是借助于贝叶斯定理完成的，所以这种情况下的决策称之为贝叶斯决策。
具体步骤是：
（1）先由过去的资料和经验获得状态发生的先验概率；
（2）根据调查或试验得到各状态下试验事件的条件概率，并利用贝叶斯公式计算出各状态的后验概率，即
式中P（Sj）为状态Sj的先验概率；P（Bk|Sj）为试验获取的信息，其意义为在状态为Sj条件下出现事件Bk的概率；P（Sj|Bk）为试验事件为Bk时状态Sj的后验概率（条件概率）。
为全概率公式。
（3）利用后验概率代替先验概率进行决策分析。
例6.9对于表6—10所描述的决策问题，决策者为了掌握更多的信息，决定花费1.5万元请咨询公司调查该新产品的销路情况。
调查结果为：
在需求量大的情况下，该新产品销路好与不好的概率分别为0.8和0.2；在需求量一般的情况下，该新产品销路好与不好的概率各为0.5；在需求量小的情况下，该新产品销路好与不好的概率分别为0.3和0.7。
这些数据列于表6—12。
问：
（1）花费1.5万元进行调查是否合算；
（2）应如何根据调查结果
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