中考数学试题分类汇编 八上 第1章《勾股定理》 北师大版.docx

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中考数学试题分类汇编八上第1章《勾股定理》北师大版

北师版数学八年级上册第1章《勾股定理》

考点一：

勾股定理

1.（2018•滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（　　）

A．5B．6C．7D．8

【分析】直接根据勾股定理求解即可．

【解答】解：

∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦的平方为32+42=25，弦长为5．

故选：

A．

2.（2018•模拟）如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（　　）

A．4B．8C．16D．64

【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．

【解答】解：

∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2=225，

∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2=289，

又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：

PR2=PQ2+QR2，

∴QR2=PR2﹣PQ2=289﹣225=64，则正方形QMNR的面积为64．

故选：

D．

3.（2018•模拟）如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB=3cm，CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（　　）

A．5cmB．12cmC．16cmD．20cm

【分析】解答此题只要把原来的图形补全，构造出直角三角形解答．

【解答】解：

延长AB、DC相交于F，则BFC构成直角三角形，

运用勾股定理得：

BC2=（15﹣3）2+（20﹣4）2=122+162=400，所以BC=20．

则剪去的直角三角形的斜边长为20cm．故选：

D．

4.（2018•模拟）如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分∠BAC，AB=5，BC=6，则AD=（　　）

A．3B．4C．5D．6

【分析】先判定△ABC为等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求得BD，在Rt△ABD中利用勾股定理可求得AD的长．

【解答】解：

∵∠B=∠C，∴AB=AC，

∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD=

BC=3，

在Rt△ABD中，AB=5，BD=3，∴AD=4，

故选：

B．

考点二：

勾股定理得证明

1.（2018•泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（　　）

A．9B．6C．4D．3

【分析】由题意可知：

中间小正方形的边长为：

a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．

【解答】解：

由题意可知：

中间小正方形的边长为：

a﹣b，

∵每一个直角三角形的面积为：

ab=

×8=4，∴4×ab+（a﹣b）2=25，

∴（a﹣b）2=25﹣16=9，∴a﹣b=3，

故选：

D．

2.（2018•期中）如图是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你用它验证勾股定理．

【分析】通过图中小正方形面积证明勾股定理．

【解答】解：

S小正方形=（b﹣a）2=b2﹣2ab+a2，另一方面S小正方形=c2﹣4×ab=c2﹣2ab，

即b2﹣2ab+a2=c2﹣2ab，∴a2+b2=c2．

3.（2018•期中）如图：

在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠C=90°，∠D=90°，AC=BD=a，BC=DE=b，AB=BE=c，试利用图形证明勾股定理．

【分析】由图知，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即证明勾股定理．

【解答】证明：

∵∠C=90°，∠D=90°，AC=BD=a，BC=DE=b，AB=BE=c，

∵Rt△ACB≌Rt△BDE，∴∠ABC=∠BED，∠BAC=∠EBD，

∵∠ABC+∠DBE=90°，∴∠ABE=90°，

三个Rt△其面积分别为

ab，

ab和

c2．

直角梯形的面积为

（a+b）（a+b）．

由图形可知：

（a+b）（a+b）=

ab+

ab+

c2，

整理得（a+b）2=2ab+c2，a2+b2+2ab=2ab+c2，

∴a2+b2=c2．

4.（2018•模拟）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：

将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：

a2+b2=c2

证明：

连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a

∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=

b2+

ab．

又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=

c2+

a（b﹣a），

∴

b2+

ab=

c2+

a（b﹣a），

∴a2+b2=c2．

请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．

将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：

a2+b2=c2．

【分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．

【解答】证明：

连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，

∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=

ab+

b2+

ab，

又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=

ab+

c2+

a（b﹣a），

∴

ab+

b2+

ab=

ab+

c2+

a（b﹣a），∴a2+b2=c2．

考点三：

勾股定理的逆定理

1.（2018•南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）

A．3，4，5B．2，3，4C．4，6，7D．5，11，12

【分析】利用勾股定理的逆定理：

如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．

【解答】解：

A、∵32+42=52，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；

B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；

C、∵42+62≠72，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；

D、∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误；

故选：

A．

2.（2018•模拟）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（　　）

A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm

【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．

【解答】解：

Rt△ACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm；

根据勾股定理，得：

AD2=AC2+CD2=25，CD=5cm；

∴AD+BD﹣AB=2AD﹣AB=10﹣8=2cm；故橡皮筋被拉长了2cm．

故选：

A．

3.（2018•期中）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（　　）

A．1.5，2，3B．6，8，10C．5，12，13D．15，20，25

【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断三角形是不是直角三角形，据此进行判断．

【解答】解：

A、（1.5）2+22≠32，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；

B、62+82=100=102，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

C、52+122=169=132，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

D、152+202=252，能构成直角三角形，故本选项符合题意；

故选：

A．

4.（2018•期末）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）

A．b2﹣c2=a2B．a：

b：

c=3：

4：

5

C．∠C=∠A﹣∠BD．∠A：

∠B：

∠C=9：

12：

15

【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可．

【解答】解：

A.b2﹣c2=a2，则b2=a2+c2，△ABC是直角三角形；

B.a：

b：

c=3：

4：

5，设a=3x，b=4x，c=5x，a2+b2=c2，△ABC是直角三角形；

C.∠C=∠A﹣∠B，则∠B=∠A+∠C，∠B=90°，△ABC是直角三角形；

D.∠A：

∠B：

∠C=9：

12：

15，设∠A、∠B、∠C分别为9x、12x、15x，则9x+12x+15x=180°，解得，x=5°，则∠A、∠B、∠C分别为45°，60°，75°，△ABC不是直角三角形；

故选：

D．

5.（2018•期中）已知△ABC的三边分别是6，8，10，则△ABC的面积是（　　）

A．24B．30C．40D．48

【分析】因为△ABC的三边分别是6，8，10，根据勾股定理的逆定理可求出此三角形为直角三角形，根据三角形面积公式可求出面积．

【解答】解：

∵62+82=102，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积=×6×8=24．

故选：

A．

6.（2018•期中）已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b=10，ab=18，c=8，则此三角形为三角形．

【分析】对原式进行变形，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状．

【解答】解：

∵a+b=10，ab=18，c=8，

∴（a+b）2﹣2ab=100﹣36=64，c2=64，

∴a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形．

故答案为：

直角．

7.（2018•期末）观察以下几组勾股数，并寻找规律：

①3，4，5；

②5，12，13；

③7，24，25；

④9，40，41；…

请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：

．

【分析】勾股定理和了解数的规律变化是解题关键．

【解答】解：

从上边可以发现第一个数是奇数，且逐步递增2，

故第5组第一个数是11，又发现第二、第三个数相差为一，

故设第二个数为x，则第三个数为x+1，

根据勾股定理得：

112+x2=（x+1）2，解得x=60，

则得第5组数是：

11、60、61．

故答案为：

11、60、61．

8.（2018•期中）如图，△ABC中，D是BC上的一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面积．

【分析】根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．

【解答】解：

∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，

∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BC，

在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=225，CD=15，

∴S△ABC=

BC•AD=

（BD+CD）•AD=

×21×8=84，

因此△ABC的面积为84．

答：

△ABC的面积是84．

考点四：

勾股定理的应用

1.（2018•期末）如图：

在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2等于（　　）

A．75B．100C．120D．125

【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2，进而可求出CE2+CF2的值．

【解答】解：

∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°，

∴△EFC为直角三角形，

又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，

∴CM=EM=MF=5，EF=10，

由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100．

故选：

B．

2.（2018•模拟）一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此时在3.9m远处耍的身高为1m的小明（　　）

A．没有危险B．有危险C．可能有危险D．无法判断

【分析】由勾股定理求出BC=4＞3.9，即可得出结论．

【解答】解：

如图所示：

AB=9﹣4=5，AC=4﹣1=3，

由勾股定理得：

BC=4＞3.9，∴此时在3.9m远处耍的身高为1m的小明有危险，

故选：

B．

3.（2018•模拟）如图所示，在长方形纸片ABCD中，AB=32cm，把长方形纸片沿AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，AF=25cm，则AD的长为（　　）

A．16cmB．20cmC．24cmD．28cm

【分析】首先根据平行线的性质以及折叠的性质证明∠EAC=∠DCA，根据等角对等边证明FC=AF，则DF即可求得，然后在直角△ADF中利用勾股定理求解．

【解答】解：

∵长方形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，

又∵∠BAC=∠EAC，∴∠EAC=∠DCA，∴FC=AF=25cm，

又∵长方形ABCD中，DC=AB=32cm，

∴DF=DC﹣FC=32﹣25=7cm，

在直角△ADF中，AD=24（cm）．

故选：

C．

4.（2018•湘潭）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：

“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？

”翻译成数学问题是：

如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为．

【分析】设AC=x，可知AB=10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．

【解答】解：

设AC=x，∵AC+AB=10，∴AB=10﹣x．

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10﹣x）2．

故答案为：

x2+32=（10﹣x）2．

5.（2018•包头）如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为　　．

【分析】根据网格，利用勾股定理求出AC的长，AB的长，以及AB边上的高，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积，而三角形ABC面积可以由AC与BD乘积的一半来求，利用面积法即可求出BD的长．

【解答】解：

根据勾股定理得：

AC=5，

由网格得：

S△ABC=

×2×4=4，且S△ABC=

AC•BD=

×5BD，

∴

×5BD=4，解得：

BD=

．

故答案为：

6.（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．

【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．

【解答】解：

如图：

将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，

连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B2=A′D2+BD2=400，A′B=20（cm）．

故答案为20．

7.（2018•期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：

“今有池方两丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？

”这个数学问题的意思是说：

“有一个水池是边长为2丈（1丈=10尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面2尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度分别是多少？

”答：

这个水池的深度和这根芦苇的长度分别是．

【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理可得x2+（

）2=（x+1）2，再解答即可．

【解答】解；设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，

根据勾股定理得：

x2+（

）2=（x+1）2，解得：

x=12，

芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），

答：

水池深12尺，芦苇长13尺．

故答案是：

12尺；13尺．

8.（2018•期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，求EB′的长．

【分析】根据折叠得到BE=EB′，AB′=AB=3，设BE=EB′=x，则EC=4﹣x，根据勾股定理求得AC的值，再由勾股定理可得方程x2+22=（4﹣x）2，再解方程即可算出答案．

【解答】解：

根据折叠可得BE=EB′，AB′=AB=3，

设BE=EB′=x，则EC=4﹣x，

∵∠B=90°，AB=3，BC=4，

∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=5，∴B′C=5﹣3=2，

在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+22=（4﹣x）2，

解得x=1.5．