新概念学生.docx

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新概念学生

1在数学课上，同学们研究图形的拼接问题．

比如：

两个全等的等腰直角三角形纸片既能拼成一个大的等腰直角三角形（如图1），也能拼成一个正方形（如图2）．

（1）现有两个相似的直角三角形纸片，各有一个角为30°，恰好可以拼成另一个含有30°角的直角三角形，那么在原来的两个三角形纸片中，较大的与较小的纸片的相似比为　　，请画出拼接的示意图；

（2）现有一个矩形恰好由三个各有一个角为30°的直角三角形纸片拼成，请你画出两种不同拼法的示意图．在拼成这个矩形的三角形中，若每种拼法中最小的三角形的斜边长为a，请直接写出每种拼法中最大三角形的斜边长．

2小明遇到这样一个问题：

如图1，五个正方形的边长都为1，将这五个正方形分割为四部分，再拼接为一个大正方形．

小明研究发现：

如图2，拼接的大正方形的边长为

，“日”字形的对角线长都为

，五个正方形被两条互相垂直的线段AB，CD分割为四部分，将这四部分图形分别标号，以CD为一边画大正方形，把这四部分图形分别移入正方形内，就解决问题．

请你参考小明的画法，完成下列问题：

（1）如图3，边长分别为a，b的两个正方形被两条互相垂直的线段AB，CD分割为四部分图形，现将这四部分图形拼接成一个大正方形，请画出拼接示意图

（2）如图4，一个八角形纸板有个个角都是直角，所有的边都相等，将这个纸板沿虚线分割为八部分，再拼接成一个正方形，如图5所示，画出拼接示意图；若拼接后的正方形的面积为

，则八角形纸板的边长为　1　．

3如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB和直线MN，点A、B、M、N均在小正方形的顶点上．

（1）在方格纸中画四边形ABCD（四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使四边形ABCD是以直线MN为对称轴的轴对称图形，点A的对称点为点D，点B的对称点为点C；

（2）若直线MN上存在点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出PA的长度．

4如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：

对折，展平，得折痕EF（如图①）；沿CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如图⑥）．

（1）求图②中∠BCB′的大小；

（2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？

请说明理由．

5我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：

如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．

我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB′．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB′，与直线l的交点，就是要求的点P．

有很多问题都可用类似的方法去思考解决．

探究：

（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连结EP，CP，则EP+CP的最小值是　；

（2）如图4，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小；（不写作法，保留作图痕迹）

（3）如图5，平面直角坐标系中有两点A（6，4）、B（4，6），在y轴上找一点C，在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点C的坐标应该是　　，点D的坐标应该是　　．

6小明同学遇到了这样一个问题：

如图，M是边长为a的正方形ABCD内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积分割成面积相等的四个部分．

小明是这样思考的：

数学课曾经做过一道类似的题目．如图2，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将以点O为顶点的直角绕点O任意旋转，且直角两边与BA，CB相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值．可以类比此问题解决．

（1）请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为　

a2　；

参考小明同学的想法，解答问题：

　连接BO，

∵O是边长为a的正方形ABCD的中心，

∴BO=CO，∠ABO=∠ACB=45°，

∵∠CON+∠BON=90°，∠MOB+∠BON=90°，

∴∠MOB=∠CON，

在△BOM和△CON中

，

∴△BOM≌△CON（ASA），

∴重叠部分的面积为：

S△BOC=

S正方形ABCD=

；　

（2）请你在图3中，解决原问题　如图所示　

（3）如图4．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，保留作图痕迹．

1对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：

若⊙P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧．

（1）当r=

时，

①在P1（0，﹣3），P2（4，6），P3（

，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是　　；

②若点P在直线y=﹣x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为　　；

（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方．

①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P在y轴上截得的弦长；

②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是多少？

2在平面直角坐标系xOy中，对于⊙A上一点B及⊙A外一点P，给出如下定义：

若直线PB与x轴有公共点（记作M），则称直线PB为⊙A的“x关联直线”，记作lPBM．

（1）已知⊙O是以原点为圆心，1为半径的圆，点P（0，2），

①直线l1：

y=2，直线l2：

y=x+2，直线l3：

，直线l4：

y=﹣2x+2都经过点P，在直线l1，l2，l3，l4中，是⊙O的“x关联直线”的是　；

②若直线lPBM是⊙O的“x关联直线”，则点M的横坐标xM的最大值是　；

（2）点A（2，0），⊙A的半径为1，

①若P（﹣1，2），⊙A的“x关联直线”lPBM：

y=kx+k+2，点M的横坐标为xM，当xM最大时，求k的值；

②若P是y轴上一个动点，且点P的纵坐标yp＞2，⊙A的两条“x关联直线”lPCM，lPDN是⊙A的两条切线，切点分别为C，D，作直线CD与x轴交于点E，当点P的位置发生变化时，AE的长度是否发生改变？

并说明理由．

3设a、b是任意两个不等实数，我们规定：

满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：

当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．

（1）反比例函数y=

是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗？

请判断并说明理由；

（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；

（3）若二次函数y=

x2﹣

x﹣

是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．

4按如图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：

（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；

（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大．

（1）若y与x的关系是y=x+p（100﹣x），请说明：

当p=

时，这种变换满足上述两个要求；

（2）若按关系式y=a（x﹣h）2+k（a＞0）将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式．（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）

5定义：

对于数轴上的任意两点A，B分别表示数x1，x2，用|x1﹣x2|表示他们之间的距离；对于平面直角坐标系中的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做A，B两点之间的直角距离，记作d（A，B）．

（1）已知O为坐标原点，若点P坐标为（﹣1，3），则d（O，P）=　4　；

（2）已知C是直线上y=x+2的一个动点，

①若D（1，0），求点C与点D的直角距离的最小值；

②若E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，请直接写出点C与点E的直角距离的最小值．

6在平面直角坐标系xOy中，射线l：

．点A是第一象限内一定点，

，射线OA与射线l的夹角为30°．射线l上有一动点P从点O出发，以每秒

个单位长度的速度沿射线l匀速运动，同时x轴上有一动点Q从点O出发，以相同的速度沿x轴正方向匀速运动，设运动时间为t秒．

（1）用含t的代数式表示PQ的长．

（2）若当P、Q运动某一时刻时，点A恰巧在线段PQ上，求出此时的t值．

（3）定义M抛物线：

顶点为P，且经过Q点的抛物线叫做“M抛物线”．若当P、Q运动t秒时，将△PQA绕其某边中点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在“M抛物线”上，求此时t的值．